2023屆河南省洛陽市新安縣第一高級中學(xué)高三上學(xué)期9月階段診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析

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2023屆河南省洛陽市新安縣第一高級中學(xué)高三上學(xué)期9月階段診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，則中的元素個(gè)數(shù)為（   ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】解一元二次不等式化簡集合B，再根據(jù)已知列出不等式，求解判斷作答.【詳解】解不等式得：，即，而，由解得：，又，顯然滿足的自然數(shù)有9個(gè)，所以中的元素個(gè)數(shù)為9.故選：B2．已知復(fù)數(shù)，則（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，因此，.故選：C.3．已知非零向量、滿足，且，則（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出的值，結(jié)合平面向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，則，，可得，因?yàn)?/span>，因此，.故選：C.4．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由，利用正弦定理得，然后結(jié)合已知條件利用余弦定理可求出【詳解】．由正弦定理可得．又∵，，∴由余弦定理，可得，解得或（舍去）．故選：B．5．已知函數(shù)在處取得最大值，則（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根輔助角公式和正弦函數(shù)最值求解即可.【詳解】，其中為銳角，.因?yàn)楫?dāng)處取得最大值，所以，，即，，所以.故選：A6．已知定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 （   ）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，探討出函數(shù)的周期，再結(jié)合已知函數(shù)式求解作答.【詳解】因上的偶函數(shù)滿足，即有，則，因此，函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，.故選：D7．我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:“今有圓堡壔（d?o），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一個(gè)圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的外接球的表面積約為（   ）（注:1丈=10尺，取3）A．1185 平方尺 B．1131 平方尺 C．674 平方尺 D．337 平方尺【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，再由底面周長求得底面半徑，連接上下底面圓心，取中點(diǎn)為外接圓的圓心，根據(jù)勾股定理，可得外接圓半徑，可得答案.【詳解】由1丈=10尺，則4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下圖：則，即，假設(shè)點(diǎn)為圓柱外接圓的圓心，即為外接圓的半徑，且，在中，，解得，則外接球的表面積，故選：B.8．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三個(gè)不同的小區(qū)參加新冠疫情防控志愿服務(wù)，每個(gè)小區(qū)至少去1人，每人只去1個(gè)小區(qū)，且甲、乙去同一個(gè)小區(qū)，則不同的安排方法有（   ）A．28 種 B．32 種 C．36 種 D．42 種【答案】C【分析】先將甲、乙看成一個(gè)元素，然后先分組后排列可得.【詳解】將甲、乙看成一個(gè)元素A，然后將A、丙、丁、戊四個(gè)元素分為3組，共有種，再將3組分到3個(gè)不同小區(qū)有種，所以滿足條件的安排方法共有種.故選：C9．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，其中，若 ，則（   ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)定義求出，再利用二倍角的余弦公式結(jié)合齊次式法求解作答.【詳解】依題意，，又，解得，從而得，所以.故選：D10．過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交于、（其中在軸上方）兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長公式求出的值，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平面間兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，則，可得，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，因此，.故選：D.11．已知是奇函數(shù)，則過點(diǎn)向曲線可作的切線條數(shù)是（   ）A．1 B．2 C．3 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出a，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求解作答.【詳解】因函數(shù)是奇函數(shù)，則由得恒成立，則，即有，，設(shè)過點(diǎn)向曲線所作切線與曲線相切的切點(diǎn)為，而點(diǎn)不在曲線上，則，整理得，即，解得或，即符合條件的切點(diǎn)有3個(gè)，所以過點(diǎn)向曲線可作的切線條數(shù)是3.故選：C12．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若 ，且直線的斜率為 3，則的離心率為（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過題意可以得到直線和直線的方程，兩條方程聯(lián)立可以得到的坐標(biāo)，代入雙曲線即可求出答案【詳解】解：由題意可得直線的方程為，直線的方程為，所以，解得，即，將代入雙曲線可得即，所以，因?yàn)?/span>所以故選：B 二、填空題13．曲線在處的切線方程是________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，，所以切線方程為，即．故答案為：14．的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】135【分析】根據(jù)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和求得的值，再利用展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則，解得；展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得；展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：135．15．已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，則通項(xiàng)______．【答案】【分析】先根據(jù)成等差數(shù)列求出公比，結(jié)合求出首項(xiàng)，結(jié)合選項(xiàng)可得．【詳解】解：由成等差數(shù)列，得，設(shè)的公比為，則，解得或（舍去），所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.16．微型航空遙感技術(shù)以無人機(jī)為空中遙感平臺，為城市經(jīng)濟(jì)和文化建設(shè)提供了有效的技術(shù)服務(wù)手段.如圖所示，有一架無人機(jī)在空中處進(jìn)行航拍，水平地面上甲、乙兩人分別在處觀察該無人機(jī)（兩人的身高忽略不計(jì)），為無人機(jī)在水平地面上的正投影.已知甲乙兩人相距100 m，甲觀察無人機(jī)的仰角為，若再測量兩個(gè)角的大小就可以確定無人機(jī)的飛行高度，則這兩個(gè)角可以是_____ .（寫出所有符合要求的編號）①和；②和;③和；④和.【答案】①③④【分析】①：根據(jù)已知先解得AC，然后可得；②：根據(jù)已知直接判斷可知；③：先解得PA，然后可得；④：先由最小角定理的，解可得AC，然后可得.【詳解】①：當(dāng)已知和時(shí)，在利用內(nèi)角和定理和正弦定理可得AC，然后在中，由三角函數(shù)定義可得PC，故①正確；②：當(dāng)已知和時(shí)，在已知一角一邊，在中已知一角一邊，顯然無法求解，故②錯(cuò)誤；③：當(dāng)已知和時(shí)，在中已知兩角一邊，可解出PA，然后在中，由三角函數(shù)定義可得PC，故③正確；④：當(dāng)已知和時(shí)，可先由最小角定理求得，然后解可得AC，最后在中，由三角函數(shù)定義可得PC，故④正確.故答案為：①③④ 三、解答題17．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程組直接求解可得；（2）由錯(cuò)位相減法可得.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題設(shè)可得 解得所以.（2）由（1）知，所以可得 ，所以①②②減①可得: 18．中在邊上,且．(1)求的長;(2)若于,求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先在中由余弦定理求得的長,再由求得的長,由可求,最后在中由余弦定理即可得的長;（2）由（1）可得,,的長,即有的長,在中由余弦定理可得,再求,又有,又有,則有,將寫為,根據(jù)兩角差的余弦公式代入即可求出結(jié)果.【詳解】（1）解:由題知是等腰三角形,,在中,由余弦定理得:,即,,,,在中,由余弦定理得:,即,;（2）由（1）知,,在中,由余弦定理得:,,,,,故.19．如圖，在直三棱柱中，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且直線平面.(1)求的長;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】(1) 在上取一點(diǎn)，使得，根據(jù)面面平行判定定理證明平面平面，再根據(jù)面面平行性質(zhì)定理確定的長即可，(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面，平面的法向量，根據(jù)二面角向量公式求二面角的余弦值.【詳解】（1）在上取一點(diǎn)，使得，連接.由已知得 ，所以所以.因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.又因?yàn)?/span>平面 ，平面，所以平面平面.平面平面，平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知.在矩形中，可得，所以，所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系.則. ，，設(shè)平面的法向量為 ，則，所以，取得設(shè)平面的法向量為，則所以取，得所以結(jié)合圖可知二面角的余弦值為.20．過橢圓上任意一點(diǎn)作直線(1)證明:;(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過作的平行線與交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)證明見解析(2). 【分析】（1）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，消元整理一元二次方程，由題意，該方程有解，則判別式大于等于零，可得答案.（2）設(shè)出題目中的兩點(diǎn)，根據(jù)平行，設(shè)出另一條直線，根據(jù)中點(diǎn)，找出兩直線的截距之間的關(guān)系，聯(lián)立橢圓方程與直線方程，消元整理一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)三角形的等積變換，利用分割法，整理函數(shù)，根據(jù)（1），可得答案.【詳解】（1）聯(lián)立，消去整理得：，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以化簡得.（2）設(shè)，點(diǎn)，則.由已知得，所以，即點(diǎn)滿足方程，所以.由 得 ，設(shè)，則.所以所以，令，因?yàn)?/span>，所以.所以所以面積的最大值為.21．設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)和，設(shè)，證明：（為的導(dǎo)函數(shù)）.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由函數(shù)零點(diǎn)的定義可得出，可得出，將所證不等式等價(jià)變形為，令，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，則，若，對任意的，則，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；若，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：不妨令，由題設(shè)可得，兩式相減整理可得.所以，要證，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)若，求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角．【答案】(1)直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)或 【分析】（1）消去參數(shù)后可得直線的普通方程，利用可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程可為：，將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義可求傾斜角.【詳解】（1）若，則，消去后可得即，由曲線的極坐標(biāo)方程為可得，即，即為.故直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），而，故在直線上，設(shè)為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程可為：，其中為的長度（）.設(shè)，其中且為方程的兩個(gè)根，而該方程可整理為，因，故，故，因?yàn)?/span>，故或.23．已知均為正實(shí)數(shù)，且.(1)求的最小值;(2)證明: .【答案】(1)6(2)證明見解析 【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式證明即可得到答案.【詳解】（1）由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號成立，所以的最小值為 6 .（2）因?yàn)?/span>，所以..同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以，即