一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知為非零實(shí)數(shù)，，若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．無線電在傳播過程中會進(jìn)行衰減，假設(shè)某5G基站的電磁波功率衰減量L（單位：dB）與發(fā)射器的發(fā)射功率P（單位：W/mW）之間的關(guān)系式為，取，則P從5變化到10時(shí)，衰減量的增加值約為（ ）
A．2dBB．3dBC．4dBD．5dB
4．在數(shù)列中，已知，且，則其前項(xiàng)和的值為（ ）
A．B．C．D．
5．若，則的值為（ ）
A．B．2C．D．
6．在等差數(shù)列中，為前n項(xiàng)和，若，則（ ）
A．11B．19C．25D．33
7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
9．已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．4
10．等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，滿足 ，，則使的n的值為（ ）
A．9B．11C．10D．12
11．如圖，三棱錐的展開圖為四邊形，已知，，，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
12．設(shè)，，，則a，b，c之間的大小關(guān)系為（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．a(chǎn)＜c＜b
二、填空題
13．已知向量，，若，則______.
14．已知x，y滿足，則的最大值為______．
15．對給定的數(shù)列，記，則稱數(shù)列為數(shù)列的一階商數(shù)列；記，則稱數(shù)列為數(shù)列的二階商數(shù)列；以此類推，可得數(shù)列的P階商數(shù)列，已知數(shù)列的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為，且，則___________．
16．如圖，在正四棱臺中，，分別是正方形，的中心.若以為球心，為半徑的球與平面相切，且是該四棱臺的外接球的球心，則該四棱臺的體積與其外接球的體積之比為______.
三、解答題
17．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，且的外接圓的半徑為．
(1)證明：；
(2)若，求的面積．
18．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
19．已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）不等式的最小值為，若，為正數(shù)，且，證明：.
20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，底面AB，且分別為中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面所成角的正弦值.
21．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：.
22．已知函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
(3)已知函數(shù)，其中，記在區(qū)間上的最大值為N，最小值為n，求的取值范圍．
參考答案：
1．D
【分析】先解不等式把集合求出來，然后利用集合的基本運(yùn)算得到結(jié)果.
【詳解】∵，∴.
故選D.
2．D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，可舉反例說明不等式是錯(cuò)誤的．
【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，不成立，所以A錯(cuò)誤；
對B，當(dāng)時(shí)，不成立，所以B錯(cuò)誤；
對C，當(dāng)時(shí)，不成立，所以C錯(cuò)誤；
對D，因?yàn)?，所以，即，正確.
故選：D．
3．B
【分析】根據(jù)題中關(guān)系式，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【詳解】當(dāng)P＝5時(shí)，；當(dāng)P＝10時(shí)，.
∴衰減量的增加值為.
故選：B.
4．C
【分析】采用并項(xiàng)求和的方式，自第二項(xiàng)起每兩項(xiàng)作和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.
【詳解】.
故選：C.
5．D
【分析】根據(jù)倍角公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化齊次，弦化切即可求解.
【詳解】，
故選：D
6．D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后利用等差數(shù)列的求和公式即得.
【詳解】∵，
∴，即，
∴.
故選：D.
7．A
【分析】首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)題意得出，通過計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得，的取值范圍為，
故選：A.
8．C
【分析】分別在、和的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得：，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，為開口方向向上的二次函數(shù)，
只需，即；
③當(dāng)時(shí)，為開口方向向下的二次函數(shù)，
則必存在實(shí)數(shù)，使得成立；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
9．B
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及函數(shù)表達(dá)式可得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式乘“1”法，即可求解.
【詳解】∵，∴是周期為6的周期函數(shù).
又，∴.∴.
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號.
故選：B.
10．B
【分析】根據(jù)可得，再結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得答案.
【詳解】由題意，，，
故使的n的n=11，
故選：B
11．D
【分析】連接，，根據(jù)三角形相關(guān)性質(zhì)可得各棱長，進(jìn)而可得平面，可得三棱錐體積.
【詳解】如圖所示，
連接，，且，，
由已知得，，
故，
則與，均為等腰三角形，且，，
故點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，
所以，
又，
所以，，
故，
還原三棱錐如圖所示，
可得，，，
所以，,
即，，
所以平面，
故.
故選：D.
12．A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，借助函數(shù)的單調(diào)性分別得出c＜b與a＞b，從而得出答案.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)， x＞－1，則，
當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴，∴（當(dāng)x＝0時(shí)等號成立），
∴，則c＜b，
構(gòu)造函數(shù)，0＜x＜1，則，
令，0＜x＜1，∴，單調(diào)遞增，
∴，∴，單調(diào)遞增，
從而，∴，即，則a＞b．
∴c＜b＜a．
故選：A．
13．
【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得的值，即可得向量，從而可求.
【詳解】解：由，得，解得，則，可得.
故答案為：.
14．
【分析】作出約束條件表示的可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合即可得解；
【詳解】解：約束條件所表示的可行域，如圖所示：
由，解得，即，
由，則，平移直線，顯然當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，在軸的截距最大，
所以
故答案為：
15．
【分析】由題意可得，從而得，即，由累乘法即可求得的值.
【詳解】解：由數(shù)列的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為，可知，
而，
故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
即，
即，
即．
所以，
故．
故答案為：
16．
【分析】設(shè)出，，，結(jié)合題干條件得到，，從而求出四棱臺的體積和外接球的體積，得到比值.
【詳解】設(shè)，，，
因?yàn)橐詾榍蛐模瑸榘霃降那蚺c平面相切，所以，
因?yàn)槭窃撍睦馀_的外接球球心，所以，即，
所以四棱臺的體積，
且外接球的體積，則.
故答案為：.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊可證；
（2）先求得，再根據(jù)計(jì)算面積．
【詳解】（1）證明：∵ 外接圓半徑為，且，
∴ ，
由正弦定理得
，
；
（2）解：，由正弦定理得
，
由（1）可知，
，
由余弦定理知
，
，
解得，
所以．
18．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，結(jié)合條件即得；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即得.
【詳解】（1）∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
故等比數(shù)列的公比q＝3，
令n＝1，得，
∴，
∴；
（2）由題可知，
∴，
∵，
∴.
19．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法去絕對值，由此求得不等式的解集.
（2）首先求得，然后利用基本不等式證得不等式成立.
【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，可得，又由，可得；
②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，可得，又由，可得這樣的不存在；
③當(dāng)時(shí)，不等式可化為，可得，又由，可得.
由上知不等式的解集為.
（2）證明：由，
又由，故函數(shù)的最小值為1，可得，
由上知，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
又有，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
故有.
【點(diǎn)睛】基本不等式的運(yùn)用，常見的有，也即，要注意等號成立的條件.
20．(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，又，得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；
(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法分別求出平面、平面的法向量，根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義求出面面角的余弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
在直角梯形中，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面；
（2）由平面，平面，得，又，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，即，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，即，
設(shè)平面與平面所成角為，
則，
所以.
21．(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，,求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到時(shí)，，令，得，從而利用放縮法證明出不等式.
【詳解】（1）令，,
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
在處取得極小值，也是最小值，
∵，
∴的最小值為1；
（2）證明：由（1）知時(shí)，，即，
令，得，
∴.
【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)來證明不等式，常常用到構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法來進(jìn)行證明，常見的構(gòu)造函數(shù)有，，，，等，本題解決第二問，需要用到第一問的結(jié)論：時(shí)，，即，再令，得，再求和即可.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用湊配法，求函數(shù)的解析式；
（2）化簡不等式，并轉(zhuǎn)化為，通過換元轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，即可求的取值范圍；
（3）首先化簡函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值，設(shè)，分情況討論求函數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1），
即；
（2）由
，即
令，則，
設(shè)，則，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，
故t的取值范圍為；
（3），
，由可得，，
由可得，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
又∵，當(dāng)時(shí)，，

令，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，的取值范圍．

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