?重慶八中2022-2023學(xué)年度（上）定時(shí)練習(xí)初三年級(jí)
數(shù)學(xué)試題
（全卷共四個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
一、選擇題：（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．
1. 等于（　　）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)零次冪可進(jìn)行求解．
【詳解】解：；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查零次冪，熟練掌握零次冪是解題的關(guān)鍵．
2. 下列圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形是（　?。?br /> A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，結(jié)合圖形的特點(diǎn)求解．
【詳解】A、該圖形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、該圖形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
C、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的判定，判定軸對(duì)稱圖像關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸對(duì)折后可重合；判定中心對(duì)稱圖形是尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原形重合．
3. 下列圖中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同位角的定義：兩直線被第三條直線所截形成的兩個(gè)角中，在被截兩直線的同側(cè)，在截線的同側(cè)，像這樣的兩個(gè)角叫做同位角，即可判斷得出結(jié)論．
【詳解】選項(xiàng)D：∵不是兩直線被第三條直線所截形成的角，即截線不同，∴與不是同位角的位置關(guān)系，故該選項(xiàng)符合題意．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了同位角的定義，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握同位角的定義．
4. 估計(jì)的值應(yīng)在（　?。?br /> A. 1和2之間 B. 2和3之間 C. 3和4之間 D. 4和5之間
【答案】D
【解析】
【分析】先利用二次根式的乘法計(jì)算，再估算出，即可求解．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值應(yīng)在4和5之間．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，以A為位似中心，把在點(diǎn)A同側(cè)按相似比放大，放大后的圖形記作，則的坐標(biāo)為（　?。?br />
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將的橫、縱坐標(biāo)乘以2，即可求解．
【詳解】解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，，，，以A為位似中心，把在點(diǎn)A同側(cè)按相似比放大，
∴的坐標(biāo)為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 小明在游樂場坐過山車，在某一段秒時(shí)間內(nèi)過山車的高度h（米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 過山車距水平地面的最高高度為98米
C. 在范圍內(nèi)，當(dāng)過山車高度是80米時(shí)，t的值只能等于30
D. 當(dāng)時(shí)，高度h（米）隨時(shí)間t（秒）的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)某一分鐘內(nèi)過山車高度h（米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. 結(jié)合圖象，當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
B. 結(jié)合圖象，過山車距水平地面的最高高度為98米，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
C. 在范圍內(nèi)，當(dāng)過山車高度是80米時(shí)，的值有3個(gè)，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；
D. 當(dāng)時(shí)，高度h（米）隨時(shí)間t（秒）的增大而增大，故該選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，解決本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想．
7. 食堂的存煤計(jì)劃用若干天，若每天用130kg，則缺少60kg；若每天用120kg，則還剩余60kg．設(shè)食堂的存煤共有xkg，計(jì)劃用y天，則下面所列方程組正確的是（ ）
A. {x+60=130yx-60=120y B. {x-60=130yx+60=120y
C. {y+60=130xy-60=120x D. {y-60=130xy+60=120x
【答案】A
【解析】
【詳解】根據(jù)題意，（1）由“若每天用130kg，則缺少60kg”可得：；（2）由“若每天用120kg，則還剩余60kg”可得：；
綜上可得，正確的方程組是： .
故選A.
8. 如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，連接．若，菱形的面積為54，則的長為（　?。?br />
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由菱形的面積得可得，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求得是解題的關(guān)鍵．
9. 已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x分別取0，，3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為，，，則，，，的大小關(guān)系正確的是（　?。?br /> A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)解析式求得對(duì)稱軸，根據(jù)，得出開口向上，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越大，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，
∵，當(dāng)自變量x分別取0，，3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為，，，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長線上，，與相切于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)B交的延長線于點(diǎn)C，若的半徑為1，的長是（　?。?br />
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接，根據(jù)切線長定理得 ，根據(jù)切線的性質(zhì)求出 ，再根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出．
【詳解】如圖，連接，

與相切于點(diǎn)E

的半徑為1



為直徑

在 中，

與相切于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)B

設(shè)，
在中，


．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線長定理等，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
11. 若整數(shù)a使關(guān)于y的不等式組至少有3個(gè)整數(shù)解，且使得關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則所有符合條件的整數(shù)a的和為（　　）
A. -6 B. -9 C. -11 D. -14
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式組，根據(jù)不等式組至少有三個(gè)整數(shù)解，得出，再解分式方程，根據(jù)分式方程有非負(fù)數(shù)解，得到且，進(jìn)而得到所有符合條件的整數(shù)a的和．
【詳解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式組至少有三個(gè)整數(shù)解，
∴，即；
解分式方程，
解的，
∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，
∴，且
∴且，
∴，且，
則所有整數(shù)a有：，，，，0，1
∴所有符合條件的整數(shù)a的和為
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程．解題關(guān)鍵是由不等式組有三個(gè)整數(shù)解得出不等式解集.
12. 定義：對(duì)于確定順序的三個(gè)數(shù)a，b，c，計(jì)算，，，將這三個(gè)計(jì)算結(jié)果的最大值稱為a，b，c的“極數(shù)”：例如：1，-3，1，因?yàn)?，，，所?，2，3的“極數(shù)”為，下列說法正確的個(gè)數(shù)為（　?。?br /> ①3，1，-4的“極數(shù)”是36；
②若x，y，0的“極數(shù)”為0，則x和y中至少有1個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)；
③存在2個(gè)數(shù)m，使得m，-6，2的極數(shù)為；
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)極數(shù)定義分別求值即可判斷①對(duì)錯(cuò)；根據(jù)極數(shù)定義分別求值，得到，即可判斷②對(duì)錯(cuò)；根據(jù)極數(shù)定義分別求值，列出分式方程并求解即可判斷對(duì)錯(cuò)．
【詳解】解：，，，
3，1，-4的“極數(shù)”是36，①正確；
，，，
若x，y，0的“極數(shù)”為0，則，
和不能同時(shí)為正數(shù)，
和中至少有1個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，②正確；
，，，
若m，-6，2的極數(shù)為，
或，
解得：或（不合題意舍），
存在2個(gè)數(shù)m，使得m，-6，2的極數(shù)為說法錯(cuò)誤，③錯(cuò)誤，
綜上所述，說法正確的個(gè)數(shù)為2，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式方程，正確理解“極數(shù)”定義是解題關(guān)鍵．
二、填空題：（本大題4個(gè)小題，每小題4分，共16分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
13. 計(jì)算：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對(duì)值，進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：


．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
14. 有三張背面完全相同的卡片，正面上分別標(biāo)有數(shù)字．把這三張卡片背面朝上，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字為a；不放回，在剩余的卡片中再隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字為b，則方程有解的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)列表法列出所有可能，根據(jù)一元二次方程有解的情況數(shù)，根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：列表如下，
















共有9種等可能結(jié)果，其中的結(jié)果有3中，
∴方程有解概率是
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．
15. 如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑在矩形內(nèi)畫弧，交邊于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則圖中陰影部分面積為__________．

【答案】
【解析】
【分析】先利用解直角三角形求得∠BAE＝30°，進(jìn)而可求得扇形DAE的面積，再通過相似三角形求得，進(jìn)而可得S△DAF＝S△DAB，最后根據(jù)陰影部分面積＝S扇形DAE－S△DAF得解．
【詳解】解：由題意可知：AE＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
在Rt△ABE中，cos∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∴sin∠BAE＝
∴BE＝2，
∵∠BAD＝90°，∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°，
∴S扇形DAE＝，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴
∴S△DAF＝S△DAB＝
∴陰影部分面積＝S扇形DAE－S△DAF＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及扇形的面積、解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定及性質(zhì)以及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
16. 某書店開始銷售A、B、C三種書籍，最初這三種書籍的庫存總數(shù)量大于700本且小于1100本．過了一段時(shí)間后，第一次補(bǔ)充了三種書籍，補(bǔ)充后庫存總數(shù)量比最初時(shí)多了280本，且此時(shí)A、B、C三種書籍的庫存數(shù)量之比為．又過了一段時(shí)間，第二次補(bǔ)充了三種書籍，補(bǔ)充后庫存總數(shù)量比第一次補(bǔ)充后多了230本，且此時(shí)A、B、C三種書籍的庫存數(shù)量之比為．則第二次補(bǔ)充后，A種書籍的庫存數(shù)量是___________本．
【答案】360
【解析】
【分析】設(shè)第一次補(bǔ)充后A書籍有本，B書籍有本，C書籍有本，第二次補(bǔ)充后A書籍有本，B書籍有本，C書籍有本，根據(jù)第一次補(bǔ)充了三種書籍，補(bǔ)充后庫存總數(shù)量比最初時(shí)多了280本，可得最初時(shí)三種書籍的數(shù)量為本，再由最初這三種書籍的庫存總數(shù)量大于700本且小于1100本，可得，然后根據(jù)第二次補(bǔ)充了三種書籍，補(bǔ)充后庫存總數(shù)量比第一次補(bǔ)充后多了230本，可得，然后根據(jù)x，y均為正整數(shù)，即可求解．
【詳解】解：設(shè)第一次補(bǔ)充后A書籍有本，B書籍有本，C書籍有本，第二次補(bǔ)充后A書籍有本，B書籍有本，C書籍有本，
∵第一次補(bǔ)充了三種書籍，補(bǔ)充后庫存總數(shù)量比最初時(shí)多了280本，
∴最初時(shí)三種書籍的數(shù)量為本，
∵最初這三種書籍的庫存總數(shù)量大于700本且小于1100本，
∴，
解得：，
∵第二次補(bǔ)充了三種書籍，補(bǔ)充后庫存總數(shù)量比第一次補(bǔ)充后多了230本，
∴，
∴，
∵x，y均為正整數(shù)，，
∴當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)第二次補(bǔ)充后，A種書籍的庫存數(shù)量是本．
故答案為：360
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題2個(gè)小題，每小題8分，共16分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
17. （1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：（1）

；
（2）



．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法，分式的混合運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對(duì)角線．

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作的垂直平分線，分別交于點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，連接，，猜想四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．
解：猜想四邊形的形狀為菱形，證明如下：
∵_(dá)__________①___________
∴，，___________②___________
又∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴___________③___________
∴．
在和中，

∴（）
∴___________④___________．
∴．
∴四邊形是菱形．
【答案】（1）見解析 （2）是的垂直平分線； ；；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)作線段垂直平分線的作法即可；
（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到，證明，
【小問1詳解】
解：如圖，直線即為所求作的的垂直平分線；
【小問2詳解】
解：猜想四邊形的形狀為菱形，證明如下：
∵是的垂直平分線，
∴，，．
∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
∴四邊形是菱形．
故答案為：是的垂直平分線； ；；．
【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖方法，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
四、解答題：（本大題7個(gè)小題，每小題10分，共70分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19. 我校在七、八年級(jí)學(xué)生中開展“國家安全法”知識(shí)競賽，并從七、八年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績得分用x表示，共分成四組：A．，B．，C．，D．），下面給出了部分信息：
七年級(jí)抽取10名學(xué)生的競賽成績：98，81，98，85，98，97，91，100，88，84．
八年級(jí)10名學(xué)生的競賽成績?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是93，90，94，93．
七、八年級(jí)抽取的學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計(jì)表
年級(jí)
七年級(jí)
八年級(jí)
平均數(shù)
92
92
中位數(shù)
94
b
眾數(shù)
c
93
八年級(jí)抽取的學(xué)生的競賽成績扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為我校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生競賽成績較好？請(qǐng)說明理由（一條理由即可）；
（3）我校七、八年級(jí)分別有780名、620學(xué)生參加了此次競賽，請(qǐng)估計(jì)成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生共有多少名？
【答案】（1），93，98
（2）七年級(jí)學(xué)生掌握疫情防控安全知識(shí)較好，理由見解析
（3）902
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)七年級(jí)的中位數(shù)和眾數(shù)均高于八年級(jí)于是得到七年級(jí)學(xué)生掌握疫情防控安全知識(shí)較好；
（3）利用樣本估計(jì)總體思想求解可得．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得：；
八年級(jí)A組和B組的人數(shù)共有人，
∵八年級(jí)10名學(xué)生的競賽成績?cè)贑組中的數(shù)據(jù)按從小到大排列為是90，93，93， 94，
∴位于第5位和第6位均為93，
∴；
根據(jù)題意得：七年級(jí)抽取的10名學(xué)生的競賽成績中98出現(xiàn)3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴；
故答案為：，93，98
【小問2詳解】
解：七年級(jí)學(xué)生掌握疫情防控安全知識(shí)較好，理由：
雖然七、八年級(jí)的平均分均為92分，但七年級(jí)的中位數(shù)和眾數(shù)均高于七年級(jí)．
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意得：名，
答：成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生共有902名．
【點(diǎn)睛】本題考查讀扇形統(tǒng)計(jì)圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
20. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)的解析式，并畫出一次函數(shù)的圖象；
（2）結(jié)合圖象，請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式的解集：___________；
（3）點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）一次函數(shù)解析式為，圖象見解析
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）先將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式求得，然后將 代入反比例函數(shù)解析式求得的值，即可求得點(diǎn)的值，待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式，根據(jù)的坐標(biāo)，畫出一次函數(shù)的圖象即可求解；
（2）根據(jù)直線在雙曲線下方時(shí)的取值范圍，即可求得不等式的解集；
（3）設(shè)，根據(jù)列出方程，解方程即可求解．
【小問1詳解】
解：將點(diǎn)代入，
得，
∴反比例函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)代入，得，
∴，
將，,代入得，
，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為，
畫出一次函數(shù)圖象如圖，
【小問2詳解】
解：∵，，
根據(jù)函數(shù)圖象可得：當(dāng)或時(shí)，，
∴關(guān)于x的不等式的解集為：或，
故答案為：或；
【小問3詳解】
解：如圖，
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，

由，令，解得，
∴,
∴，
∵，
設(shè)，
∴，
解得，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，直線圍成的三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
21. 某學(xué)校利用寒假維護(hù)其教學(xué)樓，若甲、乙兩工程隊(duì)合作天可完成；若甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工天也可完成．
（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？
（2）現(xiàn)將該教學(xué)樓工程分成兩部分，甲工程隊(duì)做其中一部分工程用了天，每天需付施工費(fèi)萬元，乙工程隊(duì)做另一部分工程用了天，每天需付施工費(fèi)萬元，若都是正整數(shù)，乙工程隊(duì)做的時(shí)間不到天，求出此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用的最小值．
【答案】（1）甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要15天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天
（2）此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用的最小值為萬元
【解析】
【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天，則甲工程隊(duì)的工作效率為，乙工程隊(duì)的工作效率為，依題意可列出分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）依題意，，得出，設(shè)此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用為，依題意可函數(shù)關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求得最小值即可求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天，則甲工程隊(duì)的工作效率為，乙工程隊(duì)的工作效率為，依題意得，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴乙工程隊(duì)需要：（天），
答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要15天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天．
【小問2詳解】
解：依題意，，
∴，
即，
設(shè)此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用為，
則

，
∵，隨的增大而減小，
又，當(dāng)時(shí)，取得最小值，
(萬元)，
∴此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用的最小值為萬元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程和函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，海上有一座小島C，一艘漁船在海中自西向東航行，速度為60海里/小時(shí)，船在A處測得小島C在北偏東方向，1小時(shí)后漁船到達(dá)B處，測得小島C在北偏東方向．（參考數(shù)據(jù)：，，）

（1）求的距離；（結(jié)果保留整數(shù)）
（2）漁船在B處改變航行線路，沿北偏東方向繼續(xù)航行，此航行路線記為l，但此時(shí)發(fā)現(xiàn)剩余油量不足，于是當(dāng)漁船航行到l上與小島C最近的D處時(shí)，立即沿方向前往小島C加油，加油時(shí)間為18分鐘，在小島C加油后，再沿南偏東方向航行至l上的點(diǎn)E處．若小船在D處時(shí)恰好是上午11點(diǎn)，問漁船能否在下午5點(diǎn)之前到達(dá)E處？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）164海里
（2）不能
【解析】
【分析】（1）由題意先得到，，利用和中的三角函數(shù)表示，進(jìn)行求解即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意可得，利用和中的三角函數(shù)求得和的長度，由路程=時(shí)間×速度求得時(shí)間，再進(jìn)行比較即可．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)作，由題意得(海里)，

在A處測得小島C在北偏東方向，則，
在B處測得小島C在北偏東方向，則，
設(shè)海里，
在中，，則，
，則，
在中，，則，
且，
，
解得，
答：的距離為164海里；
【小問2詳解】
解：與小島C最近的D處，即，
在B處沿北偏東方向繼續(xù)航行，則,
在小島C加油后，再沿南偏東方向航行，則，
，
由（1）得的距離為164海里，
在中，，
，
在中，，
，
漁船所用時(shí)間為：，
答：漁船不能在下午5點(diǎn)之前到達(dá)E處
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
23. 一個(gè)三位數(shù)A各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相等，若將A的個(gè)位上的數(shù)字移到最左邊得到一個(gè)新的三位數(shù)，且被4除余1，再將的個(gè)位上的數(shù)字移到最左邊得到另一個(gè)新的三位數(shù)，且被4除余2，則稱原數(shù)為4的“友誼數(shù)”．例如：三位數(shù)，則，且，，且，所以256是4的“友誼數(shù)”．
（1）分別判斷自然數(shù)和是否是“友誼數(shù)”，并請(qǐng)說明理由．
（2）若“友誼數(shù)”A百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是1，個(gè)位上的數(shù)字是c，其中，重新排列各數(shù)位上的數(shù)字必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，其最大數(shù)與最小數(shù)的差記為，若為整數(shù)，求出所有符合條件的A．
【答案】（1）是4的“友誼數(shù)”， 不是4的“友誼數(shù)”，理由見解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可判斷；
（2）依題意，根據(jù)新定義求得，，根據(jù)整除，確定的值即可求解，進(jìn)而求得符合題意的數(shù)．
【小問1詳解】
解：，則，且，，且，
∴是4的“友誼數(shù)”．
∵，則，且，
∴不是4的“友誼數(shù)”．
【小問2詳解】
依題意，
∵是“友誼數(shù)”，
∴，整數(shù)，
即能被4整除，
∴
，是整數(shù)，
∴能被4整除，
∵，
當(dāng)時(shí)，不能被4整除，舍去
當(dāng)時(shí)，被4整除，則或
當(dāng)時(shí)，被4整除，則
當(dāng)時(shí)，被4整除，則
綜上所述，這些數(shù)為
∵，，，
∴或
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，整除，二元一次方程，確定的值是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點(diǎn)P為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)Q作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)E，求矩形的周長最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）將拋物線沿射線CB方向平移，當(dāng)它對(duì)稱軸左側(cè)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)停止平移，記平移后的拋物線為，設(shè)與x軸交于B、D兩點(diǎn)，作直線CD，點(diǎn)M是直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為直線CD上的一點(diǎn)，當(dāng)以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來．
【答案】（1）
（2）矩形的周長最大值為：，
（3）或
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）求得直線的解析式為，設(shè)，則，，表示出矩形的周長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，以及此時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意求得平移后的拋物線解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分，，聯(lián)立直線解析式即可求解．
【小問1詳解】
解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴解析式為；
【小問2詳解】
由與y軸交于點(diǎn)C，令，解得，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，將，代入得，
，
解得：，
∴直線的解析式為，

設(shè)，則，，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴矩形的周長為：，
∴當(dāng)時(shí)，矩形的周長最大，為，
此時(shí)，
∴；
【小問3詳解】
解：∵，
設(shè)頂點(diǎn)為，則，
設(shè)平行與的直線為，
∴，
解得，
∴，
平移后的拋物線頂點(diǎn)為，設(shè)，
則平移后的拋物線解析式為，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
解得，
∵對(duì)稱軸左側(cè)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，
∴，
∴，
即頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線解析式為，
令，即解得，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∵，，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，

∵在:上，在上，
∵，，
當(dāng)時(shí)，如上圖，
設(shè)的解析式為，代入，
得，
∴直線解析式為，
聯(lián)立，
，
解得：，
即,
同理，當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，
∴直線的解析式為

聯(lián)立，
，
解得，
；
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，線段周長問題，特殊四邊形問題，二次函數(shù)的平移，一次函數(shù)交點(diǎn)問題，綜合運(yùn)用所學(xué)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
25. 已知三角形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到．

（1）如圖，，，，若，，求的長．
（2）如圖，連接，，若且，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，，求證．
（3）如圖，三角形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，若，，，和所在的直線交于點(diǎn)，直接寫出的最大值．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）在上取，連接，如圖所示，可得，則證明，，則在中由勾股定理即可求得，從而求得；
（2）延長到，使，連接，，，，如圖，易證，則，；從而由已知可得，再由，，則可得，從而證得，則可得；再由，，，可得垂直平分，有，則，由等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（3）連接，點(diǎn)在以為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在以為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、與相切時(shí)，圓弧的端點(diǎn)分別為、；顯然當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)與重合，可得四邊形為正方形；在中，由勾股定理可求得的長，則可求得的最大值．
【小問1詳解】
解：在上取，連接，如圖所示，
∴，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴在中，由勾股定理得，
∴；
【小問2詳解】
證明：延長到，使，連接，，，，如圖，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，，
∴，
∴，
∵，，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
由旋轉(zhuǎn)知：，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖3，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，
∵
∴點(diǎn)在以為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在以為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、與相切時(shí)，圓弧的端點(diǎn)分別為、；
當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)與重合，
∵，，
∴四邊形為正方形；
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
即的最大值為．

【點(diǎn)睛】本題是旋轉(zhuǎn)的綜合問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大，構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．

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