2022-2023學(xué)年山西省長治市、忻州市高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意明確圖中陰影部分表示的含義，即可根據(jù)集合的運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意知：圖中陰影部分表示，而 ，故，故選：D．2．“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.【詳解】由推不出，反之，由可以推出所以“”是“”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是充分條件和必要條件的判斷，較簡單.3．已知，，則的非空真子集的個數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由補(bǔ)集的定義求解，列出其非空真子集，即可得答案.【詳解】由已知，則非空真子集為，所以非空真子集有個.故選：A4．下列說法中正確的是（    ）①某高級中學(xué)高一年級所有高個子男生能組成一個集合；②；③不等式的解集為；④在平面直角坐標(biāo)系中，第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為.A．①② B．②④ C．②③④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)集合中元素的確定性判斷①，由元素與集合的關(guān)系判斷②，由不等式的解集的形式判斷③，根據(jù)點(diǎn)所在的位置可知坐標(biāo)滿足的條件判斷④.【詳解】①“高個子男生”標(biāo)準(zhǔn)不確定，不滿足集合的確定性，故①錯誤；②是有理數(shù)，故正確，故②正確；③描述法中缺少代表元素，應(yīng)該為，故③錯誤；④因為第二、第四象限點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)符號相反，故點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為，故④正確.故選：B.5．已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（    ）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】由不等式的解集是可得，，從而不等式可化為.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，，，可化為，即，關(guān)于的不等式的解集是.故選：D.6．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（    ）①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“，”是全稱量詞命題；③命題“，”是真命題；④命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”是真命題.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①命題是全稱量詞命題；②命題是全稱量詞命題；③④，通過舉例得到命題是真命題.【詳解】①命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，不是存在量詞命題，所以該命題是假命題；②命題“，”是全稱量詞命題，所以該命題是真命題；③命題，，如，所以該命題是真命題；④命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”是真命題，如2，所以該命題是真命題.故選：D7．已知，，若集合，則的值為（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)集合相等的定義求出，即可得解.【詳解】解：因為，所以解得或當(dāng)時，不滿足集合元素的互異性，故，，.故選：B.8．已知實(shí)數(shù)，，則的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將不等式變形并計算得，再將其化簡之后利用基本不等式求解判斷.【詳解】因為，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)，則時取等號，所以的最小值是.故選：C. 二、多選題9．已知集合，，，則下列結(jié)論中錯誤的是（    ）A． B．C． D． ?【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，用列舉法表示出集合，再逐項計算判斷作答.【詳解】，而，，顯然，A不正確；，B正確；，C不正確；因，則?，D正確.故選：AC10．有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一個充分條件的序號為（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】BCD【分析】先解出，然后根據(jù)充分條件的定義即可選出答案.【詳解】，，②③④是的充分條件，故選:BCD.11．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（    ）A．的最小值為2 B．的最小值為1C．的最大值為4 D．的最小值為2【答案】AD【分析】利用基本不等式得到選項AD正確；的最大值為1，所以選項B錯誤；的最大值為2，所以選項C錯誤.【詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選項A正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故選項B錯誤；設(shè)，所以，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，最大值為2，故選項C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項D正確.故選：AD.12．整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，其中，記為，即.以下判斷正確的是（    ）A．B．C．D．若，則整數(shù)，屬于同一個“類”【答案】ACD【分析】對選項A，余數(shù)為2，所以該選項正確；對選項B，余數(shù)為1，所以該選項錯誤；對選項C，根據(jù)定義得該選項正確；對選項D，則，分別被4除的余數(shù)相同，所以該選項正確.【詳解】對選項A，，即余數(shù)為2，所以該選項正確；對選項B，，即余數(shù)為1，所以該選項錯誤；對選項C，易知全體整數(shù)被4除的余數(shù)只能是0，1，2，3，所以該選項正確；對選項D，由題意能被4整除，則，分別被4除的余數(shù)相同，所以該選項正確.故選：ACD. 三、填空題13．命題“，”的否定為______.【答案】，【分析】利用全稱量詞命題的否定求解.【詳解】由于全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定為“，”.故答案為：，14．已知，則的取值范圍為__________．【答案】【分析】由不等式的性質(zhì)求解即可【詳解】因為，所以，又，所以，故答案為：15．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個根均大于0，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】或【分析】設(shè)方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根為，由題得，解不等式即得解.【詳解】設(shè)方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根為，由題得或.由題得.綜合得或.故答案為：或16．已知實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】由題得，解不等式即得解.【詳解】，，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.所以，，所以恒成立，.故答案為： 四、解答題17．設(shè)集合，，．求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3) 【分析】由集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算直接得出答案.【詳解】(1)(2)，(3)，，18．求解下列問題：(1)已知，比較和的大?。?/span>(2)已知，比較與的大小.【答案】(1)(2) 【分析】（1）用作差法比較大小；（2）用作差法比較大小．【詳解】(1)－．所以；(2)∵，∴，，∴，所以．19．已知集合，非空集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）由可得，則，再求補(bǔ)集即可；（2）“”是“”的充分條件可知且，分情況討論即可.【詳解】(1)當(dāng)時，，則，所以.(2)，因為“”是“”的充分條件，所以且，故，當(dāng)，即時，，因為，所以不成立，即不符合題意；當(dāng)，即時，，則有解得.綜上，的取值范圍為.20．如圖，計劃依靠一面墻建一個植物角.墻長為18m.用柵欄圍成四個相同的長方形區(qū)域種植若干種植物.(1)若每個長方形區(qū)域的面積為，要使圍成四個 區(qū)域的柵欄總長度最小，每個長方形區(qū)域長和寬分別是多少米？并求柵欄總長度的最小值；(2)若每個長方形區(qū)域的長為m（），寬為長的一半.每米柵欄價格為5元，區(qū)域的重建費(fèi)用為每平方米10元.要使總費(fèi)用不超過180元，求長方形區(qū)域的長的取值范圍.【答案】(1)每個長方形區(qū)域的長和寬分別為6m和4m時，柵欄總長度最小，且最小值為48m(2) 【分析】（1）利用基本不等式即可求得柵欄總長度的最小值；（2）根據(jù)題意可知總費(fèi)用，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)每個長方形區(qū)域的長為m（），則寬為，則柵欄總長為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以每個長方形區(qū)域的長和寬分別為6m和4m時，柵欄總長度最小，且最小值為48m；(2)由題可知每個長方形區(qū)域的長為m，寬為m，，則長方形區(qū)域的面積為，柵欄總長為，總費(fèi)用，又總費(fèi)用不超過180元，，解得：,又，,故當(dāng)時，總費(fèi)用不超過180元.21．（1）若關(guān)于的不等式的解集是，求不等式的解集；（2）已知兩個正實(shí)數(shù)，滿足，并且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【分析】（1）根據(jù)不等式的解集以及韋達(dá)定理即可求得，再解不等式即可.（2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可.【詳解】（1）不等式的解集是，，是方程的兩個根，由韋達(dá)定理得：，，即，解不等式可得：或，故的解集為或（2）恒成立，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，解得，則實(shí)數(shù)的范圍是：.22．設(shè)A是正實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合為集合A的孿生集．(1)當(dāng)時，寫出集合A的孿生集B；(2)若A是由5個正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其孿生集B的子集個數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在4個正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其孿生集，并說明理由．【答案】(1)；(2)128；(3)不存在，理由見解析. 【分析】⑴根據(jù)孿生集的定義寫出集合即可；⑵設(shè)，且，根據(jù)孿生集的定義即可求解；⑶利用反證法來證明.【詳解】(1)∵，∴；(2)設(shè)，不妨設(shè)，因為，所以B中元素個數(shù)大于等于7，取，則，此時B中元素共7個，所以孿生集B中元素個數(shù)的最小值為7，B的子集個數(shù)的最小值為；(3)不存在，理由如下：假設(shè)存在4個正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，其孿生集，不妨設(shè)，則集合A的孿生集，則，，則必有，，其4個正實(shí)數(shù)的乘積；同時，也必有，，其4個正實(shí)數(shù)的乘積，矛盾．所以假設(shè)不成立，故不存在4個正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其孿生集． 

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