河南省新鄉(xiāng)市2022-2023學(xué)年高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B．C．或 D．2．若，則的虛部為（    ）A． B．1 C． D．3．若，則（    ）A． B． C． D．4．對(duì)2021年某地某款汽車(chē)的銷(xiāo)售價(jià)格（單價(jià)：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)選取1000臺(tái)汽車(chē)的信息，這1000臺(tái)汽車(chē)的銷(xiāo)售價(jià)格都不低于5萬(wàn)元，低于30萬(wàn)元，將銷(xiāo)售價(jià)格分為，，，，這五組，統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖，則在選取的1000臺(tái)汽車(chē)中，銷(xiāo)售價(jià)格在內(nèi)的車(chē)輛臺(tái)數(shù)為（    ）A．175 B．375 C．75 D．5505．在△中，，分別為邊，的中點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，記，，則（    ）A． B． C． D．6．年詹希元?jiǎng)?chuàng)制了“五輪沙漏”，流沙從漏斗形的沙池流到初輪邊上的沙斗里，驅(qū)動(dòng)初輪，從而帶動(dòng)各級(jí)機(jī)械齒輪旋轉(zhuǎn)．最后一級(jí)齒輪帶動(dòng)在水平面上旋轉(zhuǎn)的中輪，中輪的軸心上有一根指針，指針則在一個(gè)有刻線的儀器圓盤(pán)上轉(zhuǎn)動(dòng)，以此顯示時(shí)刻，這種顯示方法幾乎與現(xiàn)代時(shí)鐘的表面結(jié)構(gòu)完全相同．已知一個(gè)沙漏的沙池形狀為圓雉形，滿沙池的沙漏完正好一小時(shí)（假設(shè)沙勻速漏下），當(dāng)沙池中沙的高度漏至一半時(shí)，記時(shí)時(shí)間為（    ）A．小時(shí) B．小時(shí) C．小時(shí) D．小時(shí)7．從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．8．已知，，則（    ）A． B． C． D．9．函數(shù)（，，）的部分圖像如圖所示，則（    ）A．0 B．2 C． D．10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為，M是線段AB的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，則下列選項(xiàng)不正確的是（    ）A．B．若，則M到x軸的距離為3C．若，則D．的最小值為411．已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，若該正三棱柱的外接球體積為，當(dāng)最大時(shí)，該正三棱柱的體積為（    ）A． B． C． D．12．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，．現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空題13．若，則______．14．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，則的面積為______．15．已知函數(shù)在定義域內(nèi)不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______． 三、雙空題16．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為M，N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4b，則橢圓C的離心率為______；若橢圓C過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值與最小值的和為______． 四、解答題17．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．18．如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，．(1)求五面體ABCDE的體積；(2)求二面角的正弦值．19．乒乓球被稱(chēng)為中國(guó)的“國(guó)球”．甲、乙兩位乒乓球愛(ài)好者決定進(jìn)行一場(chǎng)友誼賽，制定如下比賽規(guī)則：比賽分兩天進(jìn)行，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局者獲得該天的勝利．若兩天比賽中一方連續(xù)勝利，則該方獲得勝利；若兩天比賽中雙方各勝一天，則第三天加賽一局，一局定勝負(fù)．設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立，沒(méi)有平局．(1)當(dāng)時(shí)，求第一天比賽甲獲勝的概率；(2)記比賽結(jié)束時(shí)的總局?jǐn)?shù)為，當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，動(dòng)點(diǎn)C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3．(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程E．(2)過(guò)點(diǎn)作直線l交曲線E于P，Q兩點(diǎn)（P，Q在y軸兩側(cè)），過(guò)原點(diǎn)O作直線的平行線交曲線E于M，N兩點(diǎn)（M，N在y軸兩側(cè)），試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)寫(xiě)出曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若，且直線l與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．23．已知關(guān)于的不等式有解．(1)求實(shí)數(shù)的最大值；(2)在（1）的條件下，已知為正數(shù)，且，求的最小值．
參考答案：1．D【分析】計(jì)算，或，再計(jì)算交集即可.【詳解】，或，故．故選：D2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以的虛部為1．故選：B3．A【分析】根據(jù)兩角差的正切公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以,故選：A4．B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中各組頻率和為1可求出，從而可求出銷(xiāo)售價(jià)格在內(nèi)的頻率，進(jìn)而可求出銷(xiāo)售價(jià)格在內(nèi)的車(chē)輛臺(tái)數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖知，，所以，所以銷(xiāo)售價(jià)格在內(nèi)的頻率為，故銷(xiāo)售價(jià)格在內(nèi)的車(chē)輛臺(tái)數(shù)為．故選：B5．A【分析】根據(jù)重心的幾何特點(diǎn)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得點(diǎn)G為△的重心，所以．故選：A.6．D【分析】設(shè)沙漏的底面半徑為，高為，然后根據(jù)題求出當(dāng)沙池中沙的高度漏至一半時(shí)，所剩余的沙的體積，從而可求出漏下的沙子體積與總體積的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)沙漏的底面半徑為，高為，則沙的體積為，當(dāng)沙池中沙的高度漏至一半時(shí)，所剩余的沙形成的圓錐的高為，底面半徑為，所以所剩余的沙的體積為所以漏下的沙子體積為總體積的，故記時(shí)時(shí)間為小時(shí)．故選：D7．B【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)即可得解.【詳解】2至8這7個(gè)數(shù)中質(zhì)數(shù)有4個(gè)，從7個(gè)數(shù)中取2個(gè)，共有個(gè)結(jié)果，取出2個(gè)數(shù)都為質(zhì)數(shù)，有個(gè)結(jié)果，所以所求概率．故選：B8．C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)式的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式、指數(shù)與對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以，故．故選：C9．C【分析】根據(jù)圖像最高點(diǎn)和最低點(diǎn)得到,由周期得到，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式得到，將代入即可求解.【詳解】由圖可知，，所以，因?yàn)?/span>，解得，將代入得，結(jié)合已知范圍，解得，所以，故，故選：C10．C【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合平面向量共線性質(zhì)、兩點(diǎn)間線段最短逐一判斷即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，．該拋物線的準(zhǔn)線為，因?yàn)?/span>，所以的最小值為，所以，故A正確．若，則，所以M到x軸的距離為，故B正確．由向量共線可得AB過(guò)F點(diǎn)，設(shè)AB的方程為，與聯(lián)立可得，則．由，，得，所以或（舍去），所以，故C錯(cuò)誤．過(guò)點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線l：的垂線，垂足為點(diǎn)E，由拋物線的定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，E三點(diǎn)共線，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.11．B【分析】由外接球半徑體積可得外接球半徑，根據(jù)勾股定理，設(shè)，根據(jù)可行域可得當(dāng)直線與曲線相切時(shí)最大，聯(lián)立令解出的值即可.【詳解】因?yàn)檎庵饨忧虻捏w積為，所以，設(shè)球心為，底面外接圓圓心為，由正三棱錐可得，底面外接圓半徑，所以由勾股定理得，設(shè)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，最大，聯(lián)立方程組得，由，得或（舍去），此時(shí)，，所以正三棱柱的體積，故選：B  12．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性三者之間的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)相等即其他等式，綜合運(yùn)用各式之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以，得，所以，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，故①正確．因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，且．因?yàn)?/span>，所以，則的周期，所以，故③錯(cuò)誤．因?yàn)?/span>，所以的周期也為4，所以，，所以，故②正確．因?yàn)?/span>，，，，所以，所以④正確．故選:D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①若兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)相等，則這兩個(gè)函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)；②函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性三個(gè)性質(zhì)之間，其中任意兩個(gè)性質(zhì)可以推出第三個(gè)性質(zhì).13．－100【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，是的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行運(yùn)算即可得出.【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.14．【分析】由余弦定理及已知條件可得，再由三角形的面積公式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以，得，故．故答案為：15．【分析】由題可得或在上恒成立，然后根據(jù)參變分離及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)不存在極值點(diǎn)，所以或在上恒成立，即或在上恒成立，因?yàn)?/span>在上不可能恒成立，所以在上恒成立，即，所以，故．故答案為：.16．     ##；     ##.【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合三角形的中位線定理可得四邊形OMPN是平行四邊形，再由四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4b，結(jié)合橢圓的定義可得，則，從而可求出橢圓的離心率；設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后計(jì)算化簡(jiǎn)，令，則，再由可求出的范圍，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>M，O分別為，的中點(diǎn)，所以，，則四邊形OMPN是平行四邊形，所以，所以，所以．因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)，所以．因?yàn)?/span>，所以，，，所以橢圓C的方程為．設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，得．設(shè)，，則，．因?yàn)?/span>，所以．令，則．因?yàn)?/span>，所以．設(shè)的最大值與最小值分別為，，則，是方程的兩根，所以．故答案為：；.17．(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由求，用作差法，再集合累乘法即可求解；（2）先表示出，再將裂項(xiàng)可求出的表達(dá)式可證.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得．當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以，時(shí)也符合，故．（2）證明：由（1）知，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以．得證18．(1)(2) 【分析】（1）可將該五面體分割成多個(gè)簡(jiǎn)單幾何體后進(jìn)行體積求解.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量先求出二面角的余弦值，再求正弦值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>平面ABC，所以．因?yàn)?/span>，平面BCE，平面BCE，所以平面BCE，所以，所以．（2）如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OB，因?yàn)?/span>，所以，作．以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐以標(biāo)系，則，，，，，，，．設(shè)平面CDE的法向量為，則令，得．設(shè)平面ACE的法向量為，則令，得．因?yàn)?/span>，所以，故二面角的正弦值為．19．(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為. 【分析】（1）由題可知甲可能以或獲勝，然后計(jì)算概率即得；（2）由題可得可取4，5，6，7，分別計(jì)算概率可得分布列，再利用期望公式即得.【詳解】（1）第一天比賽甲可能以或獲勝，因?yàn)?/span>，，所以第一天甲獲勝的概率；（2）因?yàn)?/span>，所以第一天和第二天甲以獲勝的概率為，此時(shí)乙以負(fù)，第一天和第二天甲以獲勝的概率為，此時(shí)乙以負(fù)，即第一天和第二天甲、乙各自以和獲勝的概率都是，同樣以和負(fù)的概率都是，所以的所有可能取值為4，5，6，7，，，，，所以隨機(jī)變量Y的分布列為4567 所以．20．(1)(2)為定值2 【分析】（1）設(shè)，則由題意可得，化簡(jiǎn)后可得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；（2）由題意設(shè)直線：，，，將直線方程代入雙曲線方程中化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出，設(shè)的方程為，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)后可表示出，從而可求出的值.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€AC與直線BC的斜率乘積為3，所以，所以，故動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為．（2）易知直線的斜率存在且不為0．設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程組得，則，因?yàn)?/span>P，Q在y軸兩側(cè)，所以，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以的方程為．設(shè)，則，聯(lián)立方程組，得．所以，，所以，所以，即為定值2．21．(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析 【分析】（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)的范圍分類(lèi)討論，根據(jù)的正負(fù)即可得到的單調(diào)性；（2）首先將原式化簡(jiǎn)整理成，令，得.再令，根據(jù)已知條件有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的取值范圍.進(jìn)而要證，即證，即證，只需證．不妨設(shè)，則只要證，即，最后令，，其中，借助導(dǎo)數(shù)求解的最小值即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）方程，即，等價(jià)于．令，其中，則，顯然．令，則，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)榉匠?/span>有兩個(gè)實(shí)根，，所以關(guān)于t的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，，所以．要證，即證，即證，只需證．因?yàn)?/span>，所以，整理可得．不妨設(shè)，則只要證，即．令，，其中，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助同構(gòu)思想將原始等價(jià)為，通過(guò)令，合理構(gòu)造函數(shù)來(lái)確定參數(shù)的取值范圍，第二步的關(guān)鍵點(diǎn)在于將等價(jià)轉(zhuǎn)化為，將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步證明.22．(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為；直線l的直角坐標(biāo)方程為；(2). 【分析】（1）結(jié)合余弦的二倍角公式消去參數(shù)，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，將直線l的極坐標(biāo)方程化簡(jiǎn)后利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可求得直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）將曲線C的參數(shù)方程代入到直線l的直角坐標(biāo)方程化簡(jiǎn)得，則由題意得無(wú)解，令，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最值，再結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，又，所以，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為．因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為，所以，又因?yàn)?/span>，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為，即．（2）聯(lián)立l與C的方程，將代人中，可得，要使l與C沒(méi)有公共點(diǎn)，則無(wú)解．令，，其對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，所以，．因?yàn)?/span>，所以，即，所以m的取值范圍為．23．(1)(2)36 【分析】（1）利用絕對(duì)值不等式得，所以有解只需即可；（2）利用均值不等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)等號(hào)成立所以的最大值為3．因?yàn)椴坏仁?/span>有解，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值．（2）由（1）知，，因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為36． 

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