2022-2023學(xué)年福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷  一、選擇題（本大題共10小題，共40分）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 下列命題是真命題的是(    )A. 相等的角是對(duì)頂角 B. 如果，那么，
C. 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D. 若，則若多項(xiàng)式分解因式為，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 小瑩計(jì)算時(shí)，得出的正確結(jié)果是，則是(    )A.  B.  C.  D. 如圖所示，，要說(shuō)明，需添加的條件不能是(    )
 A.
B.
C.
D. 如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，中，，，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，，與，分別交于點(diǎn)，，則的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則該三角形的周長(zhǎng)是(    )A.  B. 或 C. 或 D. 如圖，中，，是上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則值為(    )
A.  B.  C.  D. 已知，均為正整數(shù)且滿足，則的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24分）的公因式是______．如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫(huà)出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是______．
 如圖，≌，，，則______．
 若，則______．如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)，是小正方形的頂點(diǎn)，如果點(diǎn)是小正方形的頂點(diǎn)，且使是等腰三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______．
 如圖，在中，是高，，，在邊上取點(diǎn)，連接，，若，，則的長(zhǎng)為______．三、解答題（本大題共9小題，共86分）計(jì)算：
；
．因式分解
；
；
；
．已知，滿足先化簡(jiǎn)，再求值：
．已知，如圖，在三角形中，是邊上的高．
尺規(guī)作圖：作的平分線保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，不寫(xiě)結(jié)論；
在已作圖形中，若與交于點(diǎn)，且，，求證：．
求證：等腰三角形底邊高上任一點(diǎn)到兩腰的距離相等，結(jié)合所給圖形，把“已知”、“求證”補(bǔ)充完整，并完成證明過(guò)程．
已知：在中，______，為邊上的______，為上一點(diǎn)且滿足， ______．
求證：______．
閱讀材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：
已知，求的值；
已知，，求的值．在等腰直角三角形中，已知，點(diǎn)、分別在、上．
______；
如圖中，若，，證明是等腰三角形；
如圖中，若，點(diǎn)在上移動(dòng)，且滿足，于點(diǎn)，試問(wèn)：此時(shí)的長(zhǎng)度是否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出的長(zhǎng)．
 定義：對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)，如果滿足個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為“巴渝數(shù)“將一個(gè)“巴渝數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這個(gè)兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與的商記為例如：，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和與的商為，所以根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：
填空：
下列兩位數(shù)：、、中，“巴渝數(shù)”為______；
計(jì)算______．
如果一個(gè)“巴渝數(shù)”的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，且，請(qǐng)求出“巴渝數(shù)”；
如果一個(gè)“巴渝數(shù)”，滿足，求滿足條件的的值．在等邊中，點(diǎn)和點(diǎn)分別在邊，上，以為邊向右作等邊，連接．
如圖，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求的大??；
如圖，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．
求證：；
如圖，連接，當(dāng)最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，本選項(xiàng)不符合題意；
B.右邊不是積的形式，不屬于因式分解，本選項(xiàng)不符合題意；
C.從左到右的變形，屬于因式分解，本選項(xiàng)符合題意；
D.右邊不是積的形式，不屬于因式分解，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
根據(jù)分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的定義判斷即可．
本題考查了因式分解的意義，這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于是否正確應(yīng)用分解因式的定義來(lái)判斷．
 2.【答案】 【解析】解：，相等的角不一定是對(duì)頂角，故錯(cuò)誤，不符合題意，
，也可能，都小于，故錯(cuò)誤，不符合題意，
，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，正確符合題意，
，，故錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：．
根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，平行的判定，絕對(duì)值的含義進(jìn)行解答即可．
本題考查對(duì)頂角的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，平行的判定，絕對(duì)值的含義，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：多項(xiàng)式分解因式為，
即，
，系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，
，
故選：．
利用十字相乘法很容易確定的值．
本題考查了因式分解的十字相乘法，解題的關(guān)鍵是掌握十字相乘法．
 4.【答案】 【解析】解：計(jì)算時(shí)，得出的正確結(jié)果是，
又，
，
故選：．
根據(jù)完全平方公式得出，進(jìn)而得出選項(xiàng)．
本題考查了完全平方公式，熟練應(yīng)用完全平方公式，等式兩邊平方及整體思想應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是和不能作為判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)．
和中，已知的條件有，；要判定兩三角形全等只需條件：一組對(duì)應(yīng)角相等，或即可．可據(jù)此進(jìn)行判斷，兩邊及一邊的對(duì)角相等是不能判定兩個(gè)三角形全等的．
【解答】
解：已知，，
A、當(dāng)時(shí)，符合的判定條件，故A正確；
B、當(dāng)時(shí)，符合的判定條件，故B正確；
C、當(dāng)時(shí)，符合的判定條件，故C正確；
D、當(dāng)時(shí)，給出的條件是，不能判定兩個(gè)三角形全等，故D錯(cuò)誤．  6.【答案】 【解析】解：由作圖痕跡得平分，垂直平分，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

，
，
．
故選：．
由作圖痕跡得平分，垂直平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，則利用垂線段最短得到，所以．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．
 7.【答案】 【解析】解：垂直平分，垂直平分，
，，
，，
中，，
，
，
；
故選：．
由垂直平分，垂直平分，可得，，又由等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，可求得度數(shù)，繼而求得答案．
此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
 8.【答案】 【解析】解：當(dāng)為底時(shí)，其它兩邊都為，、、不能構(gòu)成三角形，
當(dāng)為腰時(shí)，其它兩邊為和，因?yàn)?/span>，所以能構(gòu)成三角形，
所以該三角形的周長(zhǎng)是：．
故選：．
因?yàn)榈妊切蔚膬蛇叿謩e為和，但沒(méi)有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．
 9.【答案】 【解析】解：如圖所示，連接，則，

于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，，
又，，
，
即，
，
故選：．
連接，則，依據(jù)，，代入計(jì)算即可得到．
本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線將等腰三角形分割成兩個(gè)三角形，利用面積法進(jìn)行計(jì)算．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，均為正整數(shù)，
，或，
，，，，
，，，，
的最小值為．
故選：．
利用因式分解把等式變形為，再討論各種可能情況，求出、的值，判斷出最小值．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的各種方法．
 11.【答案】 【解析】解：的公因式是．
故答案為：．
確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式或相同多項(xiàng)式因式；定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式或相同多項(xiàng)式因式的指數(shù)的最低次冪．
本題主要考查了公因式，多項(xiàng)式中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式，因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．
 12.【答案】 【解析】解：由圖得：遮擋住的三角形中露出兩個(gè)角及其夾邊．
根據(jù)三角形的判定方法可解決此題．
故答案為：．
根據(jù)全等三角形的判定方法解決此題．
本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：≌，，，
，，
，
故答案為：．
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，代入求出即可．
本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．
 14.【答案】 【解析】解：，
，






，
故答案為：．
利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，再整體代入，即可得出結(jié)果．
本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：如圖：

分三種情況：
當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交小正方形的格點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交小正方形的格點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，交小正方形的格點(diǎn)為，；
綜上所述：是等腰三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，
故答案為：．
分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可解答．
本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
：：，
，
：：，
，
，
，
，
故答案為：．
過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，先證≌，再證≌，得，，然后由高相等的兩個(gè)三角形面積比等于底之比解決問(wèn)題．
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式；

原式

． 【解析】直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；
直接利用平方差公式以及完全平方公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)得出答案．
此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：

；



；
；


；


． 【解析】先提公因式，再利用公式法；
先整理變形，提公因式，再利用平方差公式；
先利用平方差公式，再利用十字相乘法；
連續(xù)兩次利用十字相乘法分解因式．
本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的各種方法．
 19.【答案】解：原式


，
，
，，
，，
當(dāng)，時(shí)，
原式

． 【解析】本題考查整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，
先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將與的值求出，最后代入化簡(jiǎn)后的式子即可求出答案．
 20.【答案】解：如圖，為所作；

證明：是邊上的高．
，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
． 【解析】利用基本作圖作的平分線；
先根據(jù)”“證明≌，則，再利用角平分線的定義得到，從而得到．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．
 21.【答案】  高     【解析】已知：在中，，為邊上的高，為上一點(diǎn)且滿足，，垂足分別為、，
求證：，
證明：，為高，
平分，
，，
，
故答案為：，高，，．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出平分，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得出答案即可．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，能熟記等腰三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，等腰三角形底邊上的高平分頂角，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
 22.【答案】解：，
，
，
，，
解得，，，
；
，
，
將代入，得
，
，
，
，，
解得，，，
，
． 【解析】根據(jù)題意，可以將題目中的式子化為材料中的形式，從而可以得到、的值，從而可以得到的值；
根據(jù)，，可以得到、、的值，從而可以得到的值．
本題考查因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)偶次方，解題的關(guān)鍵是明確題目中的材料，可以將問(wèn)題中方程轉(zhuǎn)化為材料中的形式．
 23.【答案】解：；
證明：，，

，
由知：，
，
，
，即是等腰三角形；
的值不變，證明如下：
如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

，，
是等腰直角三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，
，
又，，
，
在和中，
，
≌，
，
的值不變，為． 【解析】【分析】
根據(jù)等腰直角三角形的定義可解答；
由，利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求得，，然后利用等角對(duì)等邊可得出結(jié)論；
過(guò)點(diǎn)作于，首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到，，然后證得，進(jìn)而利用證明≌，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得．
本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是正確作出輔助線，并利用證得≌．
【解答】
解：在等腰直角三角形中，

故答案為：；
見(jiàn)答案；
見(jiàn)答案．  24.【答案】   【解析】解：根據(jù)“巴渝數(shù)”的定義知，中個(gè)位為，不是“巴渝數(shù)”，中，不是“巴渝數(shù)”，中，是“巴渝數(shù)”，
故答案為：；
，
故答案為：；
設(shè)任意一個(gè)“巴渝數(shù)”的十位上的數(shù)字是，個(gè)位上的數(shù)字是，
則．
又一個(gè)“巴渝數(shù)”的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，且，
，解得，
．
“巴渝數(shù)”的值為，
設(shè)的十位上的數(shù)字是，個(gè)位上的數(shù)字是，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，或，或；
當(dāng)時(shí)，或或或，或或或；
綜上，滿足條件的的值為：或或或或或．
由“巴渝數(shù)”的定義可得；
根據(jù)定義計(jì)算可得；
由，可求得的值，即可求；
設(shè)的十位上的數(shù)字是，個(gè)位上的數(shù)字是，根據(jù)可列出不等式，即可寫(xiě)出滿足條件的的值．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，解一元一次不等式；理解“巴渝數(shù)”的定義，并按照定義分析是解題關(guān)鍵．
 25.【答案】解：，都是等邊三角形，
，，，
即，
，
在和中，
，
≌，
；
證明：如圖中，連接，取的中點(diǎn)，連接，．

，，，
，
，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
同法可證≌，
，，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
；
解：如圖中，連接，過(guò)、分別作，，其垂足分別為、，

，
點(diǎn)在的垂直平分線上，
當(dāng)時(shí)，的值最小，，
為等邊三角形，，
垂直平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
． 【解析】證明≌，可得；
如圖中，連接，取的中點(diǎn)，連接，證明≌，可得結(jié)論；
如圖中，連接，過(guò)、分別作，，其垂足分別為、，由可知，點(diǎn)在的垂直平分線上，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，證明≌，推出，可得結(jié)論．
本題考查三角形的綜合應(yīng)用，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 

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