黑龍江省哈爾濱市巴彥縣2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份黑龍江省哈爾濱市巴彥縣2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共31頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市巴彥縣八年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：（每小題3分，共計(jì)30分）
1．點(diǎn)P（3，2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
2．一個多邊形的外角和比內(nèi)角和大180°，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．3
3．下列疫情防控宣傳圖片中，是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A．勤洗手，勤通風(fēng) B．打噴嚏，捂口鼻
C．有癥狀，早就醫(yī) D．防控疫情，我們在一起
4．如圖，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，則CD的長為（　?。?br />
A．1.5 B．2 C．3 D．5
5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，若BC＝4，則DE的長為（　?。?br />
A．1.5 B．2 C．1 D．
6．到三角形三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（　　）
A．三邊高線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)
C．三條中線的交點(diǎn) D．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
7．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（　　）

A．30° B．50° C．90° D．100°
8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如圖，△ABC中，AB+AC＝6，直線MN為BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，連接BD，則△ABD的周長為（　　）

A．3 B．6 C．4 D．5
10．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長度（　?。?br />
A．EF B．AB C．AC D．BC
二、填空題：（每小題3分，共計(jì)30分
11．已知三角形兩邊長為2和7，則第三邊a的取值范圍為　 ?。?br /> 12．正方形的對稱軸有 　 　條．
13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝100°，∠B＝　 　度．

14．如圖，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，則∠DBF的度數(shù)是 　 　．

15．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿BC所在直線向右平移得到△A′B′C′，連接A′C，若BB′＝2，則線段A′C的長為 　 ?。?br />
16．如圖是由一副三角板拼湊得到的，圖中的∠ABC的度數(shù)為 　 ?。?br />
17．如圖，D是AB延長線上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，AE＝CE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝3，CF＝5，則BD的長是 　 　．

18．如圖三角形紙片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長為 　 　cm．

19．等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長為 　 　．
20．如圖，在△ABC中，過點(diǎn)B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點(diǎn)G，若AB＝4，則線段FG的長為 　 ?。?br />
三、解答題（21、22題各7分，23、24題各8分，25、26、27題各10分，共60分）
21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AC延長線上的一點(diǎn)，連接DF．
（1）求∠CBE的度數(shù)．
（2）若∠F＝27°，求證：BE∥DF．

22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2）．
（1）在圖中作出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸對稱（點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn)分別為A1、B1、C1）．
（2）寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)．

23．某市舊城改造項(xiàng)目計(jì)劃在一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮美化環(huán)境，經(jīng)過測量得AB＝AC＝40m，△ABC的外角∠ACD＝105°．已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮一共需要多少錢？

24．如圖1，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于點(diǎn)F．
（1）求證：BD＝CE；
（2）如圖2，連接AF，請直接寫出圖中所有的全等三角形．


25．如圖，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且AD＝BD，CE平分∠ACB交AD于點(diǎn)E．
（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，交BD于點(diǎn)F，求證：∠FEC＝3∠3．

26．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在AB邊上，AD⊥CE交CE的延長線于點(diǎn)D．
（1）若∠BAC＝2∠DAE，求證：CE＝CB；
（2）如圖2，連接BD，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，延長BF交AC于點(diǎn)G，連接DG，若AG＝DG，求證：BD＝BC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠DBC＝120°，CD＝10，點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，求線段DH的長．


27．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)B、C在x軸上（C左B右），點(diǎn)A在y軸正半軸上，∠BAC＝120°，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，AB＝8．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，AD＝AF，連接DF，∠BDE＝60°，DE交y軸于點(diǎn)E，設(shè)線段AD的長為t，線段OE的長為d，請用含t的式子表示d；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，在CA的延長線上取點(diǎn)G，作GH⊥CA交x軸于點(diǎn)K，若GK＝AC，連接EH，過點(diǎn)A作AM⊥EH于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)．




參考答案
一、選擇題：（每小題3分，共計(jì)30分）
1．點(diǎn)P（3，2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
解：點(diǎn)P（3，2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，﹣2）．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：
（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
2．一個多邊形的外角和比內(nèi)角和大180°，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．3
【分析】由多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3且n為整數(shù)），多邊形的外角和是360°，列出關(guān)于邊數(shù)的方程即可求解．
解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得：360°﹣（n﹣2）×180°＝180°，
∴n＝3，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查多邊形的有關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3且n為整數(shù)），多邊形的外角和是360°．
3．下列疫情防控宣傳圖片中，是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A．勤洗手，勤通風(fēng) B．打噴嚏，捂口鼻
C．有癥狀，早就醫(yī) D．防控疫情，我們在一起
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
解：A．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．
4．如圖，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，則CD的長為（　?。?br />
A．1.5 B．2 C．3 D．5
【分析】在△ABC與△DBE中，由AAS證明兩三角形全等得出BC＝BE＝3，即可求解．
解：在△ABC與△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（AAS），
∴BC＝BE＝3，
∴CD＝BD﹣BC＝5﹣3＝2，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，若BC＝4，則DE的長為（　?。?br />
A．1.5 B．2 C．1 D．
【分析】由AB＝AC，∠A＝120°推出∠B＝30°，從而得到DE＝DB，
解：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD＝BC＝2，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴DE＝BD＝1，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；等腰三角形的兩個底角相等．
6．到三角形三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（　?。?br /> A．三邊高線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)
C．三條中線的交點(diǎn) D．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．
解：到三角形三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．50° C．90° D．100°
【分析】先根據(jù)△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．
解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知關(guān)于軸對稱的兩個圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．
8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計(jì)算即可得解．
解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB?DE＝×10?DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
9．如圖，△ABC中，AB+AC＝6，直線MN為BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，連接BD，則△ABD的周長為（　　）

A．3 B．6 C．4 D．5
【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)，可得DC＝DB，繼而可確定△ABD的周長．
解：∵直線MN是線段BC的垂直平分線，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝6．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．
10．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長度（　?。?br />
A．EF B．AB C．AC D．BC
【分析】連接AK，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AK＝BK，求得BK+CK＝AK+CK，得到AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，于是得到當(dāng)AK+CK＝AC時，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，即可得到結(jié)論．
解：連接AK，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴AK＝BK，
∴BK+CK＝AK+CK，
∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，
∵AK+CK≥AC，
∴當(dāng)AK+CK＝AC時，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，
∴BK+CK的最小值是線段AC的長度，
故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題：（每小題3分，共計(jì)30分
11．已知三角形兩邊長為2和7，則第三邊a的取值范圍為　5＜a＜9?。?br /> 【分析】利用“三角形的兩邊差小于第三邊，三角形兩邊之和大于第三邊”，可求出a的取值范圍．
解：∵7﹣2＝5，2+7＝9，
∴第三邊a的取值范圍為5＜a＜9．
故答案為：5＜a＜9．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形三邊關(guān)系，牢記“三角形的兩邊差小于第三邊，三角形兩邊之和大于第三邊”是解題的關(guān)鍵．
12．正方形的對稱軸有 　4　條．
【分析】根據(jù)正方形的軸對稱性作出圖形以及對稱軸，即可得解．
解：如圖，正方形對稱軸為經(jīng)過對邊中點(diǎn)的直線，兩條對角線所在的直線，共4條．
故答案為：4．

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟記正方形的對稱軸是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝100°，∠B＝　40　度．

【分析】如圖，依題意可知該三角形為等腰三角形∠A＝100°，利用等腰三角形的性質(zhì)得另外二角相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和易求∠B的值．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝100°，
∴∠B＝＝40°．
故填40．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理．借助三角形內(nèi)角和求角的度數(shù)是一種很重要的方法，應(yīng)熟練掌握．
14．如圖，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，則∠DBF的度數(shù)是 　30°?。?br />
【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝60°，再利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得BD平分∠ABC，然后利用角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：∵∠A＝73°，∠C＝47°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABC＝30°，
故答案為：30°．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿BC所在直線向右平移得到△A′B′C′，連接A′C，若BB′＝2，則線段A′C的長為 　4　．

【分析】利用平移可得A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，再判定△A′B′C是等邊三角形，進(jìn)而可得答案．
解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，
∵BC＝6，BB′＝2，
∴B′C＝6﹣2＝4，
∴△A′B′C是等邊三角形，
∴A′C＝A′B′＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
16．如圖是由一副三角板拼湊得到的，圖中的∠ABC的度數(shù)為 　75°?。?br />
【分析】由三角形的外角性質(zhì)可求得∠ABF＝15°，從而可求得∠ABC的度數(shù)．
解：∵∠F＝30°，∠BAC＝45°，∠BAC是△ABF的外角，
∴∠ABF＝∠BAC﹣∠F＝15°，
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝75°．
故答案為：75°．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．
17．如圖，D是AB延長線上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，AE＝CE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝3，CF＝5，則BD的長是 　2　．

【分析】由“AAS”可證△ADE≌△CFE，可得CF＝AD＝5，即可求解．
解：∵FC∥AB，
∴∠F＝∠D，∠A＝∠ACF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴CF＝AD＝5，
∴BD＝AD﹣AB＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
18．如圖三角形紙片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長為 　7　cm．

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE＝BC，DE＝CD，再求出AE的長，然后求出△ADE的周長＝AC+AE，即可得出答案．
解：由折疊的性質(zhì)得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴△AED的周長＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm），
故答案為：7．
【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)以及三角形周長；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)的解題的關(guān)鍵．
19．等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長為 　5或3?。?br /> 【分析】此題分為兩種情況：5是等腰三角形的底邊或5是等腰三角形的腰．然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形．
解：當(dāng)5是等腰三角形的底邊時，則其腰長是（13﹣5）÷2＝4，能夠組成三角形；
當(dāng)5是等腰三角形的腰時，則其底邊是13﹣5×2＝3，能夠組成三角形．
所以該等腰三角形的底邊為5或3，
故答案為：5或3．
【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時注意三角形的三邊關(guān)系．
20．如圖，在△ABC中，過點(diǎn)B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點(diǎn)G，若AB＝4，則線段FG的長為 　2?。?br />
【分析】延長BF交AC于E，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AB＝4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FG＝AE＝2．
解：延長BF交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AEF（ASA），
∴AE＝AB＝4，
∵FG∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠FAG，
∴AG＝FG，
∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴FG＝GE，
∴FG＝AE＝2，
故答案為：2．

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（21、22題各7分，23、24題各8分，25、26、27題各10分，共60分）
21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AC延長線上的一點(diǎn)，連接DF．
（1）求∠CBE的度數(shù)．
（2）若∠F＝27°，求證：BE∥DF．

【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)可求得∠CBD＝126°，再由角平分線的定義即可求∠CBE的度數(shù)；
（2）結(jié)合（1）可求得∠CEB＝27°，利用同位角相等，兩直線平行即可判定BE∥DF．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝36°，∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝126°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）證明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝27°，
∵∠F＝27°，
∴∠CEB＝∠F，
∴BE∥DF．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．
22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2）．
（1）在圖中作出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸對稱（點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn)分別為A1、B1、C1）．
（2）寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)．

【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和軸對稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)即可；
（2）利用（1）中所畫圖形求解．
解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；

（2）A1（2，1），B1（3，﹣2），C1（﹣1，﹣2）．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：作軸對稱后的圖形的依據(jù)是軸對稱的性質(zhì)，掌握其基本作法是解決問題的關(guān)鍵（先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)；按原圖形中的方式順次連接對稱點(diǎn)）．
23．某市舊城改造項(xiàng)目計(jì)劃在一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮美化環(huán)境，經(jīng)過測量得AB＝AC＝40m，△ABC的外角∠ACD＝105°．已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮一共需要多少錢？

【分析】如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H．證明∠A＝30°，求出BH，再求出△ABC的面積，可得結(jié)論．
解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H．

∵∠ACD＝105°，
∴∠ACB＝75°，
∵AB＝AC＝40m，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°﹣2×75°＝30°，
∵BH⊥AC，
∴BH＝AB＝20m，
∴S△ABC＝?AC?BH＝×40×20＝400（m2），
∵這種草皮每平方米a元，
∴購買這種草皮一共需要400a元．
【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
24．如圖1，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于點(diǎn)F．
（1）求證：BD＝CE；
（2）如圖2，連接AF，請直接寫出圖中所有的全等三角形．


【分析】（1）根據(jù)垂直得出∠CAD＝∠BEA＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理AAS可以證明△ADC≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理得出AD＝AE即可；
（2）根據(jù)垂直得出∠BDF＝∠CEF＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△BDF≌△CEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DF＝EF，BF＝CF，再根據(jù)全等三角形的判定定理證明△AFB≌△AFC和△ADF≌△AEF即可．
【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD＝∠BEA＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即BD＝CE；

（2）解：圖中全等三角形有△ADC≌△AEB，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，
理由是：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠CEF＝90°，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF，BF＝CF，
根據(jù)SSS可以證明△AFB≌△AFC和△ADF≌△AEF．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．
25．如圖，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且AD＝BD，CE平分∠ACB交AD于點(diǎn)E．
（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，交BD于點(diǎn)F，求證：∠FEC＝3∠3．

【分析】（1）首先利用三角形外角的性質(zhì)求得∠B＝40°，再利用三角形內(nèi)角和求出∠ACB的度數(shù)，從而得出答案；
（2）設(shè)∠B＝x，則∠1＝x，利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別表示出∠FEC和∠3，從而解決問題．
【解答】（1）解：∵AD＝BD，
∴∠B＝∠1，
∵∠ADC＝∠B+∠1，
∴2∠B＝80°，
∴∠B＝40°，
∵∠BAC＝∠ACB，
∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠2＝∠3＝35°；
（2）證明：設(shè)∠B＝x，則∠1＝x，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠1＝x，
∴∠ACB＝90°﹣x，
∴∠2＝∠3＝45°﹣x，
∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠DCE）＝180°﹣（2x+45°﹣x）＝135°﹣x，
∴∠FEC＝∠FED+∠CED＝x+135°﹣x＝135°﹣x，
∴∠FEC＝3∠3．
【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，利用參數(shù)x分別表示出∠FEC和∠3是解題的關(guān)鍵．
26．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在AB邊上，AD⊥CE交CE的延長線于點(diǎn)D．
（1）若∠BAC＝2∠DAE，求證：CE＝CB；
（2）如圖2，連接BD，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，延長BF交AC于點(diǎn)G，連接DG，若AG＝DG，求證：BD＝BC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠DBC＝120°，CD＝10，點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，求線段DH的長．


【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CT⊥AB于點(diǎn)T，設(shè)AH交CT于點(diǎn)O．證明∠CET＝∠CBT，可得結(jié)論；
（2）證明GB垂直平分線段CD即可；
（3）過點(diǎn)A作AJ⊥BC于點(diǎn)J，交CD于點(diǎn)Q，連接BQ，過點(diǎn)D作DR⊥AB于點(diǎn)R．解直角三角形求出DR，RH，再利用勾股定理，可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CT⊥AB于點(diǎn)T，設(shè)AH交CT于點(diǎn)O．

∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵AD⊥CD，CT⊥AB，
∴∠ADE＝∠CTE＝90°，
∵∠AED＝∠CET，
∴∠ECT＝∠EAD，
∵∠ATC＝∠AHC＝90°，∠AOT＝∠COH，
∴∠TCB＝∠BAH，
∵∠BAC＝2∠DAE，
∴∠BAH＝∠DAE，
∴∠ECT＝∠BCT，
∴∠ECT+∠CET＝90°，∠TCB+∠CBT＝90°，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB．

（2）證明：如圖2中，

∵GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA，
∵∠ADC＝90°，
∴∠GAD+∠ACD＝90°，∠ADG+∠GDC＝90°，
∴∠GDC＝∠GCD，
∴GD＝GC，
∵DF＝FC，
∴GB⊥CD，
∴BD＝BC；

（3）解：過點(diǎn)A作AJ⊥BC于點(diǎn)J，交CD于點(diǎn)Q，連接BQ，過點(diǎn)D作DR⊥AB于點(diǎn)R．

∵BD＝DC，∠DBC＝120°，
∴∠BCD＝∠BDC＝30°，
∵AB＝AC，AJ⊥BC，
∴BJ＝CJ，
∴QB＝QC，
∴∠QBC＝∠QCB＝30°，
∴∠BQD＝∠QBC+∠QCB＝60°，
∴∠DBQ＝90°，
∵∠BDQ＝30°，
∴QD＝2BQ＝2CQ，
∴DQ＝CD＝，BQ＝，DB＝BQ＝，
∵∠ADQ＝∠CJQ＝90°，∠AQD＝∠CQJ，
∴∠DAQ＝∠QCJ＝30°，
∴AD＝DQ＝，
∴AB＝AC＝＝＝，
設(shè)BR＝x，
∵DR2＝BD2﹣BR2＝AD2﹣AR2，
∴（）2﹣x2＝（）2﹣（﹣x）2，
∴x＝，
∴DR2＝DB2﹣BR2＝（）2﹣（）2＝，
∵BH＝AH＝，
∴RH＝﹣＝，
∴DH＝＝＝5．
【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
27．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)B、C在x軸上（C左B右），點(diǎn)A在y軸正半軸上，∠BAC＝120°，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，AB＝8．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，AD＝AF，連接DF，∠BDE＝60°，DE交y軸于點(diǎn)E，設(shè)線段AD的長為t，線段OE的長為d，請用含t的式子表示d；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，在CA的延長線上取點(diǎn)G，作GH⊥CA交x軸于點(diǎn)K，若GK＝AC，連接EH，過點(diǎn)A作AM⊥EH于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)．


【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)證出AC＝AB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠ABC，由直角三角形的性質(zhì)求出OA的長，則可得出答案；
（2）證出△ADF為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADF＝∠DFA＝60°，AD＝DF，證明△DFE≌△DAB（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出EF＝AB＝8，則可得出答案；
（3）過點(diǎn)E作EN⊥GH，交GH的延長線于點(diǎn)N，連接CN，BE，F(xiàn)M，證明△CGK≌△ECA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CG＝CE，證出△CEB為等邊三角形，得出∠ABE＝90°，∠HBE＝90°，證明Rt△BHE≌Rt△NHE（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BEH＝∠NEH，證出AM＝EM，由等腰三角形的性質(zhì)可得出答案．
解：（1）∵AO⊥BC，O為BC的中點(diǎn)，
∴OA垂直平分BC，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴OA＝AB＝4，
∴A（0，4）；
（2）∵AB＝AC，AO⊥BC，∠CAB＝120°，
∴∠CAF＝60°，
∵AD＝AF，
∴△ADF為等邊三角形，
∴∠ADF＝∠DFA＝60°，AD＝DF，
又∵∠EDB＝60°，
∴∠EDB﹣∠FDB＝∠ADF﹣∠FDB，
∴∠EDF＝∠ADB，
∵∠DFE＝∠DAB＝120°，
∴△DFE≌△DAB（ASA），
∴EF＝AB＝8，
∵AD＝AF＝t，
∴AE＝t+8，
∴OE＝AE﹣OA＝t+8﹣4＝t+4，
即d＝t+4；
（3）過點(diǎn)E作EN⊥GH，交GH的延長線于點(diǎn)N，連接CN，BE，F(xiàn)M，

∵∠BCE＝60°，∠GCK＝30°，
∴∠GCE＝90°，
∴∠CEA＝30°，
∵GH⊥CA，
∴∠G＝90°，
∴∠G＝∠ACE，∠GCK＝∠CEA，
又∵GK＝AC，
∴△CGK≌△ECA（AAS），
∴CG＝CE，
∵EN⊥GH，∠G＝∠ACE＝90°，四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠CEN＝90°，
∴∠GNC＝∠ENC＝45°，
∴∠ECN＝∠ENC＝45°，
∴CE＝EN，
∵OC＝OB，AE⊥BC，
∴CE＝BE，
∴△CEB為等邊三角形，
∴∠ABE＝90°，∠HBE＝90°，
∵BE＝EN，EH＝EH，
∴Rt△BHE≌Rt△NHE（HL），
∴∠BEH＝∠NEH，
∴∠AEH＝45°，
∵AM⊥EH，
∴∠MAE＝∠AEM＝45°，
∴AM＝EM，
∵AE＝16，AF＝8，
∴AF＝EF＝8，
∴OF＝4，MF⊥AE，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣4．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．