遼寧省大連育明中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（Word版附解析）

這是一份遼寧省大連育明中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（Word版附解析），共30頁。試卷主要包含了答卷前，非選擇題，用0，畫圖清晰，并用2B鉛筆加深等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?大連育明高級中學(xué)2022~2023學(xué)年（上）期中考試高三
數(shù)學(xué)試卷
滿分150分，時間120分鐘
注意事項：
1.答卷前：先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條碼粘貼在答題卡上指定位置.
2.選擇題，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.
3.非選擇題，用0.5mm黑色簽字筆寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域，寫在非答題區(qū)域無效.
4.畫圖清晰，并用2B鉛筆加深.
第I卷（共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、集合交集的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
所以，
故選：B
2. 已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z，結(jié)合純虛數(shù)的意義求出a，再求出即可作答.
【詳解】依題意，，因為純虛數(shù)，則，即，，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限.
故選：D
3. 在中，已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由求出，而，可求值.
【詳解】中，由，有，
∵，∴或，
當(dāng)時，由，解得，.
當(dāng)時，，與矛盾，此時無解.
所以.
故選：A
4. 若等差數(shù)列的前項和為,則“”是“”的（ ）
A. 充要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,判斷的正負(fù),進(jìn)而判斷是否為充分條件,當(dāng)時,的正負(fù)無法判斷,則的正負(fù)無法判斷,進(jìn)而判斷不是必要條件,綜上即可選出選項.
【詳解】解:由題知為等差數(shù)列的前項和,
當(dāng)有成立時,
,
,
,
,
,
,
所以“”是“”的充分條件,
當(dāng)有成立時,的正負(fù)無法判斷,
,
則的正負(fù)無法判斷,
則“”不是“”的必要條件,
綜上: “”是“”的充分不必要條件.
故選:C
5. 如圖，在正方體中，E是棱CD上的動點．則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A. 平面
B.
C. 直線AE與所成角的范圍為
D. 二面角的大小為
【答案】C
【解析】
【分析】由平面平面，平面，即可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系計算即可判斷選項B；求的范圍即可判斷選項C；先找出二面角的平面角為即可判斷選項D，進(jìn)而可得正確選項．
【詳解】對于選項A：因為平面平面，平面，
所以平面，故選項A正確；

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，，
，，，對于選項B：，，
因為，所以，即，
故選項B正確；
對于選項C：，，設(shè)直線與所成角為，
則，
當(dāng)時最大等于，此時最小為，
當(dāng)時最小等于0，此時最大為，所以，
即直線與所成角的范圍為，故選項C不正確；
對于選項D：二面角即二面角，
因為，，
平面，平面，
所以即為二面角的平面角，
在正方形中，，所以二面角的大小為，
故選項D正確，
故選：C.
6. 已知向量||＝3，||＝2，＝（m－n）＋（2n－m－1），若與的夾角為60°，且⊥，則實數(shù)的值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，用表示，再結(jié)合數(shù)量積的定義，根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，即可求得結(jié)果.
【詳解】由題意得，＝＋＝(m－n)＋(2n－m)，
＝－，·＝3×2×cos60°＝3.
又因為⊥，
所以·＝[(m－n)＋(2n－m)]·(－)
＝－(m－n) 2＋(2m－3n)·＋(2n－m)·2
＝－9(m－n)＋3(2m－3n)＋4(2n－m)＝0，
整理得7m－8n＝0，故＝.
故選：.
【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算，涉及向量垂直的轉(zhuǎn)化，屬綜合基礎(chǔ)題.
7. “垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等，某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是n件，已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的.若這堆貨物總價是萬元，則n的值為

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為萬元，第三層貨物總價為萬元，…，第層貨物總價為萬元，可設(shè)這堆貨物總價為萬元，從而可得到，利用錯位相減法可求出的表達(dá)式，結(jié)合可求出答案．
【詳解】由題意，第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為萬元，第三層貨物總價為萬元，…，第層貨物總價為萬元，設(shè)這堆貨物總價為萬元,則，
，
兩式相減得
，
則,
解得，
故選D.
【點睛】利用錯位相減求和是解決本題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生利用數(shù)列知識解決應(yīng)用問題的能力，屬于中檔題．
8. 已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點、，現(xiàn)給出下述結(jié)論：①；②；③；④，則其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，直線與垂直，可得，、，，關(guān)于對稱，即可判斷①；利用基本不等式即可判斷②，構(gòu)造，判斷其單調(diào)性，即可判斷③，由，判斷其單調(diào)性，即可判斷④．
【詳解】由題意直線與垂直，函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，
，、，，關(guān)于對稱，則；①正確；
對于②：由，因為，則；②正確；
對于③：構(gòu)造函數(shù)；則，
當(dāng)時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；
，，，③正確；
對于④：，，令函數(shù)，則
當(dāng)時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；
，不對，即④不對．
故選：B
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 如圖是函數(shù)的部分圖象，把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）

A. 函數(shù)是偶函數(shù)
B. 函數(shù)圖象的對稱軸為直線
C. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
D. 函數(shù)圖象的對稱中心為
【答案】D
【解析】
【分析】
先根據(jù)題圖求出的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到函數(shù)的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，最后逐一判斷即可.
【詳解】解：由題意知函數(shù)的最小正周期，由及，得，所以.又的圖象經(jīng)過點，所以.因為，所以，故.把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，且其對應(yīng)的函數(shù)解析式為，是奇函數(shù)，A選項錯誤；函數(shù)圖象的對稱軸為直線，B選項錯誤；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，C選項錯誤；函數(shù)圖象的對稱中心為，D選項正確.
故選：D.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)（三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性、奇偶性），三角函數(shù)的圖象變換等，屬于中檔題.
10. 已知函數(shù)則下列命題是真命題的是（ ）
A. ，
B. ，
C. 函數(shù)只有2個零點
D. 直線與的圖象有3個交點
【答案】ABC
【解析】
【分析】畫出圖像進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由已知圖像如圖所示

易知：的最小值為，故A正確.
如圖所示：當(dāng)時，成立，故B正確.
因為與圖像只有兩個交點，所以只有兩個零點.
故C正確.
直線與的圖象有 個交點，故D錯誤.
故選：ABC
11. 已知圓C：，則下列命題是真命題的是（ ）
A. 若圓關(guān)于直線對稱，則
B. 存在直線與所有的圓都相切
C. 當(dāng)時，為圓上任意一點，則的最大值為
D. 當(dāng)時，直線為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，，則最小值為4
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對稱，得得值，檢驗半徑是否大于零，即可判斷A；根據(jù)直線與圓相切的充要條件判斷B；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定的最值即可判斷C；根據(jù)直線與圓相切的切線長與切點弦關(guān)系可判斷D.
【詳解】解：圓C：，整理得：，
所以圓心，半徑，則
對于A，若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓心，所以，得，又時，，方程不能表示圓，故A假命題；
對于B，對于圓，圓心為，半徑，則，
當(dāng)直線為時，圓心到直線的距離，
故存在直線，使得與所有的圓相切，故B是真命題；
對于C，當(dāng)時，圓的方程為，圓心為，半徑
由于為圓上任意一點，設(shè)，則式子可表示直線，此時表示直線的縱截距，
故當(dāng)直線與圓相切時，可確定的取值范圍,
于是圓心到直線的距離，解得或，
則，所以的最大值為，故C為真命題；
對于D，圓的方程為，圓心為，半徑，
如圖，連接，

因為直線與圓相切，所以，且可得，又，
所以，且平分，所以，
則，則最小值即的最小值，
即圓心到直線的距離，
所以的最小值為，故D為真命題.
故選：BCD.
12. 如圖，在三棱錐中，平面，，，，為垂足，則下列命題正確的是（ ）

A. 三棱錐外接球的表面積為.
B. 三棱錐的外接球的體積為
C. 三棱錐的外接球的體積為
D. 三棱錐的外接球的表面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，取AC中點，證明點到點的距離相等，計算判斷A，B；取PB，PC的中點D，E，證明平面，再確定三棱錐的外接球球心位置，并計算半徑作答.
【詳解】在三棱錐中，取AC中點，連接，如圖，

因，，，則，
因此點是三棱錐的外接球球心，球半徑為，球表面積為，
球體積為，A正確，B不正確；
因平面，平面，則，而，平面，
因此平面，取PB，PC的中點D，E，連DE，如圖，有，

于是得平面，而，則三棱錐的外接球被平面截得的小圓圓心為D，
因此該球的球心O在直線DE上，連接，令球O半徑為R，而，
令，即有，，
在中，，，，
在中，，由得：
，即，解得，
從而得，三棱錐的外接球體積為，表面積為，C正確，D不正確.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點睛：幾何體的外接球的表面積、體積計算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.
第II卷（共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知圓，一條動直線過與圓相交于、兩點，若點為弦的中點，則直線的方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓方程得出圓心和半徑，根據(jù)直線過的頂點設(shè)出直線的解析式，根據(jù)圓的幾何知識，得出過圓心和點的直線與直線垂直，計算出直線的斜率，得出直線的方程.
【詳解】解；由題意
在直線中，過，設(shè)
在圓中，圓心，半徑，
∵與圓相交于、兩點，若點為弦的中點，
∴有幾何知識得，直線垂直平分，即直線垂直直線
∴
∵
∴
∴
即
故答案為：.
14. 已知實數(shù)，滿足，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】由得，代入結(jié)合基本不等式即可求解最值．
【詳解】由已知得，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號．
故答案為：
15. 在三棱錐中，，，，二面角的大小為，在側(cè)面內(nèi)（含邊界）有一動點，滿足到的距離與到平面的距離相等，則的軌跡的長度為______．
【答案】
【解析】
【分析】先證明，再求直線的方程和直線的方程，接著求直線與的交點坐標(biāo)并判斷的軌跡為線段，最后求線段長度.
【詳解】如圖，過作于，平面于，
過作于，連接，

則為二面角的平面角，
由得．
又，所以，
在中，以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則直線的方程為，直線的方程為，
所以直線與的交點坐標(biāo)為，
所以的軌跡為線段，長度為．
故答案為：.
【點睛】本題考查空間中點的軌跡的長度、二面角的定義，是中檔題.
16. 已知向量與的夾角為，，，向量的夾角為，，則的最大值是___________.
【答案】25
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)正弦定理可求出.記線段的中點為M，的中點，在中，可求出，從而可求出，然后在中，根據(jù)余弦定理求出，從而可求出.
【詳解】如圖，作圓P，使得，
且點O在優(yōu)弧上，點C滿足，
則，符合題意.
記線段的中點為M，
在中，由正弦定理，得，
取的中點，連接，在中，，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
且，
因為，，所以，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)點P在線段上時，等號成立

所以的最大值是.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17. 已知中，分別為角的對邊，且．
（1）求；
（2）若為邊的中點，，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角可得，化簡可得，結(jié)合，即得解；
（2）在中，由余弦定理得，可得，利用面積公式即得解
【詳解】（1）中由正弦定理及條件，
可得，∵，，∴，
∵，∴，
或，
又∵，∴，∴，，∴
（2）為邊的中點，，，得，

中，由余弦定理得
，
∴，
∴，∵，∴，
．
18. 請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.①；②；③點P在平面ABCD的射影在直線AD上.
如圖，平面五邊形PABCD中，△PAD是邊長為2的等邊三角形，，，，將△PAD沿AD翻折成四棱錐P-ABCD，E是棱PD上的動點（端點除外），F(xiàn)?M分別是AB?CE的中點，且___________.

（1）求證：；
（2）當(dāng)EF與平面PAD所成角最大時，求平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AD，CD的中點分別為O，G，連接PO，F(xiàn)G，EG.
選擇①：證明，結(jié)合，推出BA⊥平面PAD.證明MG//平面PAD，F(xiàn)G//平面PAD.推出平面FGM//平面PAD，得到BA⊥平面FGM，即可證明.
選擇②：連接OC，證明，即可，推出BA⊥平面PAD，然后證明MG//平面PAD，F(xiàn)G//平面PAD.推出平面FGM//平面PAD，得到BA⊥平面FGM.即可證明.
選擇③：證明OP⊥平面ABCD，推出，然后證明BA⊥平面PAD，通過證明平面FGM//平面PAD，轉(zhuǎn)化證明.
（2）連接AE，EF，說明∠AEF即為EF與平面PAD所成的角.點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面CAE的法向量，結(jié)合平面PAD的法向量，然后求解平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值.
【小問1詳解】
證明：取AD，CD的中點分別為O，G，連接PO，F(xiàn)G，EG.

選擇①：
因為，
所以，即.
又，，
所以BA⊥平面PAD.
因為M，G分別為CE，CD的中點，
所以，且平面PAD，平面PAD，
所以MG//平面PAD.
同理可得：FG//平面PAD.
因為，
所以平面FGM//平面PAD，
所以BA⊥平面FGM.
又平面FGM，
所以.
選擇②：
連接OC，則OC=AB=2，，
因為，
所以.
又，
所以BA⊥平面PAD.
因為M，G分別為CE，CD的中點，
所以MG//PD，且平面PAD，平面PAD，
所以MG//平面PAD.
同理可得：FG//平面PAD.
因為，
所以平面FGM//平面PAD，
所以BA⊥平面FGM.
又平面FGM，
所以.
選擇③：
因為點P在平面ABCD的射影在直線AD上，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
因為平面平面ABCD=CD，平面PAD，，
所以平面ABCD，
所以.
又，，
所以BA⊥平面PAD.
因為M，G分別為CE，CD的中點，
所以MG//PD，且平面PAD，平面PAD，
所以MG//平面PAD.
同理可得：FG//平面PAD.
因為，
所以平面FGM//平面PAD，
所以BA⊥平面FGM.
又平面FGM，
所以.
【小問2詳解】
連接AE，EF，由（1）可知：AB⊥平面PAD，
所以∠AEF即為EF與平面PAD所成的角.
因為，所以當(dāng)AE最小時，∠AEF最大，
所以當(dāng)，即E為PD中點，AE最小.
以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
所以
設(shè)平面CAE的法向量為，
則，令，得.
由題意可知：平面PAD的法向量為，
所以，
所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為.
19. 已知函數(shù).
（1）若曲線上橫坐標(biāo)為的點處的切線斜率為3，求點處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)時，對任意的且，恒有.
【答案】（1）；
（2）；
（3）見解析.
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得，再根據(jù)點斜式即可得解；
（2）由題意可得在恒成立，及在恒成立，求得的最小值即可得解；
（3）利用作差法證明不等式，構(gòu)造函數(shù)，領(lǐng)用導(dǎo)數(shù)證明即可得證.
【小問1詳解】
求導(dǎo)可得，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，可得，
所以，
，
所以，
即點處的切線方程為；
【小問2詳解】
根據(jù)題意可得在恒成立，
所以在恒成立，
令，對稱軸為，
所以，所以，
故實數(shù)的取值范圍為；
【小問3詳解】
令

，
令
可得或，
由，所以，
在區(qū)間上，，為減函數(shù)，
所以在區(qū)間上，，為增函數(shù)，
所以最小值為，
又，所以恒成立，
即當(dāng)時，對任意的且，
恒有.
20. 已知圓的圓心坐標(biāo)為，且圓與直線相切，過點的動直線與圓相交于M，兩點，直線與直線的交點為.
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是不是定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）
（2）定值為
【解析】
【分析】（1）由直線與圓相切，計算圓心到直線的距離即圓的半徑，可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用圓的垂徑定理將轉(zhuǎn)化為，分析AC與直線l的位置關(guān)系，由數(shù)量積的幾何意義，得到定值.
【小問1詳解】
圓心C到直線l的距離，因為直線與圓相切，
所以半徑，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
【小問2詳解】

設(shè)MN的中點為P，則，
AC的斜率為，所以AC與直線l垂直，
A到直線l的距離為，所以在方向上的投影為，
又因為，
所以，
即為定值.
21. 設(shè)數(shù)列滿足.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列滿足，是否存在實數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?若存在，求出取值范圍；若不存在，說明理由.
（3）對于大于2的正整數(shù)（其中），若、、三個數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合遞推公式以及等比數(shù)列定義，即可求證；
（2）根據(jù)題意，通過對進(jìn)行討論，結(jié)合作差法，即可求解；
（3）根據(jù)題意，分別對、、三個數(shù)不同排序進(jìn)行討論，即可求解.
【小問1詳解】
證明：根據(jù)題意，由，
得，即，
又，故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
依題意，
則.
若存在，則對恒成立.
①當(dāng)奇數(shù)時，，其中當(dāng)時，，故；
②當(dāng)為偶數(shù)時，，其中當(dāng)時，，故.
綜上所述，存在實數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
【小問3詳解】
由（1）知，、、這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，
①若，則，∴，
又，∴，∴；
②若，則，∴，
左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，∴不成立；
③若，同理也不成立.
綜合①②③得，.
22. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）設(shè)，證明：恰有兩個極值點和，并求的值.
【答案】（1）極小值，無極大值
（2）
【解析】
【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)與零的大小關(guān)系，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出極值；
(2)求得，對函數(shù)求導(dǎo)得到，
令，得到在和上單調(diào)遞增，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而得到答案.
【小問1詳解】
因為，所以，
令，解得：；令，解得：；
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，函數(shù)取極小值，無極大值.
【小問2詳解】
由可得，
令，即，
又由和在和上單調(diào)遞增，
可得在和上單調(diào)遞增，
又因為，
所以存在唯一一個，使得，
當(dāng)時，，可得，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，可得，函數(shù)單調(diào)遞減；
又，
所以存在唯一一個，使得，
同理當(dāng)時，，可得，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，可得，函數(shù)單調(diào)遞增；
所以函數(shù)恰有兩個極值點和，
因為當(dāng)時，，則，
又由且，所以，
所以.
【點睛】涉及函數(shù)極值問題，主要利用倒數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，根據(jù)極值所在的區(qū)間以及它們之間的關(guān)系進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求出結(jié)果.