1.離散型隨機(jī)變量的均值和方差
一般地，若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.
2.均值和方差的性質(zhì)設(shè) a，b 是常數(shù)，隨機(jī)變量 X，Y 滿足 Y＝aX＋b，
則 E(Y)＝E(aX＋b)＝____________，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X).
3.兩點(diǎn)分布及二項(xiàng)分布的均值和方差
(1)若 X 服從兩點(diǎn)分布，則 E(X)＝______，D(X)＝p(1－p).(2)若 X～B(n，p)，則 E(X)＝_______，D(X)＝np(1－p).
1.(多選題)下列結(jié)論中正確的是(
A.若事件 A，B 相互獨(dú)立，則 P(B|A)＝P(B)
C.袋中有 5 個(gè)小球(3 白 2 黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是 0.5
2.(選修2－3P55第3題改編)天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的
3.(選修2－3P68A組第1題改編)已知隨機(jī)變量ξ的分布列是
解析：E(ξ)＝1×0.4 ＋2×0.2＋3×0.4 ＝2 ，則 D(ξ)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(3－2)2×0.4＝0.8.答案：B
4.(2017 年全國(guó)Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為 0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件數(shù)，則 D(X)＝__________.解析：由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項(xiàng)分布，即X～B(100，0.02)，由二項(xiàng)分布的期望方差公式可得D(Χ)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.答案：1.96
5.(2020 年浙江)一個(gè)盒子里有 1 個(gè)紅 1 個(gè)綠 2 個(gè)黃四個(gè)質(zhì)地大小相同的球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則 P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.
解析：因?yàn)棣危? 對(duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，
考點(diǎn) 1 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1.設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列如下所示，已知 E(X)＝1.6，則
解析：由分布列性質(zhì)，得 0.1＋a＋b＋0.1＝1.①
由期望公式可得 0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，即 a＋2b＝1.3.②
由①，②可得 a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.
2.今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為 0.9 和 0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)數(shù)為ξ，則 E(ξ)
解析：當(dāng)ξ＝0 時(shí)，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；當(dāng)ξ＝1 時(shí)，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.當(dāng)ξ＝2 時(shí)，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.答案：B
3.節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)價(jià)是每束 2.5 元，售價(jià)是每束 5 元；節(jié)后賣不出的鮮花以每束 1.6 元處理. 根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量 X(束)的分布列如下表.若進(jìn)這
種鮮花 500 束，則期望利潤(rùn)是(
解析：節(jié)日期間這種鮮花需求量的數(shù)學(xué)期望
E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝
40＋105＋120＋75＝340(束)，
則利潤(rùn) Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以 E(Y)＝3.4E(X) －450＝3.4×340 －450 ＝706(元).故期
望利潤(rùn)為 706 元.應(yīng)選 A.
超幾何分布的期望和方差
[例 1](2018 年天津)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為 24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現(xiàn)從這 7 人中隨機(jī)抽取 3 人做進(jìn)一步的身體檢查.①用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望；②設(shè) A 為事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件 A 發(fā)生的概率.
解：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為 3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取 3 人，2 人，2 人.(2)①隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 0,1,2,3.
隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望為
②設(shè)事件 B 為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 1 人，睡眠不足的員工有 2 人”；事件 C 為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 2 人，睡眠不足的員工有 1 人”，則 A＝B∪C，且B 與 C 互斥，
由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，
到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為　，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為(
【考法全練】設(shè)口袋中有黑球、白球共 7 個(gè)，從中任取 2 個(gè)球，已知取
解析：設(shè)白球 x 個(gè)，則黑球(7－x)個(gè)，取出的 2 個(gè)球中所含白球個(gè)數(shù)為ξ，則ξ取值 0,1,2，
[例 2](2018 年全國(guó)Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200 件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20 件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為 p(0

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