蘭州外國語高級中學(xué)2023屆高三第二次考試文科數(shù)學(xué)一?選擇題（60分）1. 已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，求出其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，再求出該點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，得到復(fù)數(shù)，最后利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即可求得．【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，其關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，所以，所以，故選：C．2. 將函數(shù)圖象向左平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）的解析式為（　?。?/span>A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換的規(guī)律可得所求的解析式．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位后所得圖象對應(yīng)的解析式為．故選A．【點(diǎn)睛】解題中容易出現(xiàn)的錯誤是忽視在橫方向上的平移只是對變量而言的這一結(jié)論，當(dāng)的系數(shù)不是1時，在解題時需要提出系數(shù)、化為系數(shù)是1的形式后再求解．3. 已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組，則的最大值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出使得該直線在軸上截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.4. 設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（    ）A. 1 B.  C.  D. 2【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】.當(dāng)時，，即切線斜率，由切線與直線平行可得所以.故選：A5. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值判斷即可【詳解】因為，所以是偶函數(shù)，排除B，D，因為，排除C，故選：A.6. 已知函數(shù)的圖象恒過定，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】，所以，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，由于點(diǎn)在直線上，則，則，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，同時也考查了直線過定點(diǎn)的問題，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7. （    ）A. 1 B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式將展開化簡即可求解.【詳解】，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.8. 一個圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中有一個內(nèi)接圓柱（下底面在圓錐底面上，上底面的圓周在圓錐側(cè)面上），則當(dāng)該圓柱側(cè)面積取最大值時，該圓柱的高為（    ）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可得圓錐的高，，設(shè)圓柱的高為，底面半徑，則，從而可得，然后表示圓柱的側(cè)面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【詳解】解：由題意可得，，故圓錐的高，，設(shè)圓柱的高為，底面半徑，則，故，所以，圓柱側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最大值．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱的表面積的計算以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．9. 已知數(shù)列滿足，則等于（    ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】【分析】先判斷數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求結(jié)果.【詳解】∵，∴是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，∴，，∴．故選：B．10. 設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】針對的范圍進(jìn)行分類討論，然后求解不等式的解集.【詳解】由題意，，所以，①當(dāng)時，，即，解得，所以；②當(dāng)時，，即，解得，所以；綜上是，時的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)與不等式的結(jié)合問題，難度一般，解答時注意對自變量的范圍進(jìn)行分類討論.11. 若雙曲線的一條漸近線與函數(shù)的圖象相切，則該雙曲線的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解.【詳解】顯然函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，而雙曲線的漸近線也過原點(diǎn)，依題意，原點(diǎn)必為雙曲線的某條漸近線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)，由求導(dǎo)得，即有，于是得，雙曲線半焦距c，，所以雙曲線的離心率為.故選：D12. 已知函數(shù)對任意的，都有，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為（    ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【答案】A【解析】【分析】由已知可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，由可得函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對稱，從而畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可求出結(jié)果【詳解】∵函數(shù)是奇函數(shù)∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱∴把函數(shù)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即滿足又∵∴，從而∴，即∴函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對稱.畫出函數(shù)圖象如圖所示：結(jié)合圖象可得區(qū)間內(nèi)有8個零點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，考查函數(shù)與方程，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題二?填空題（20分）13. 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為_________________.【答案】2【解析】【分析】先將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】解：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為：，則點(diǎn)到直線的距離為.故點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查在極坐標(biāo)系下求點(diǎn)到直線距離的問題，解題關(guān)鍵是將距離問題放在直角坐標(biāo)系下研究，屬于基礎(chǔ)題.14. 已知，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】(0，2]【解析】【分析】由求得，由求得，而是的必要不充分條件，所以有，從而可求出的取值范圍.【詳解】解：∵，∴，即；∵，∴或，∴，∵是的必要不充分條件，∴，解得，∴所求實(shí)數(shù)的取值范圍是(0，2]．故答案為：(0，2]【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值不等式、一元二次不等式，必要不充分條件等知識，屬于基礎(chǔ)題.15. 光線從點(diǎn)A(-2，)射到x軸上的B點(diǎn)后，被x軸反射，這時反射光線恰好過點(diǎn)C(1，2)，則光線BC所在直線的傾斜角為_____.【答案】60°.【解析】【分析】根據(jù)光線反射的物理特征，找到A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式即可求出答案.【詳解】點(diǎn)A(-2，)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A'(-2，-)，由物理知識知kBC=kA'C=，所以所求傾斜角為60°.故答案為：60°.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.理解物理光線的反射特征，是解本題的基礎(chǔ).16. 已知函數(shù)的相鄰對稱軸之間的距離為，且圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的是___________.（寫出所有正確的題號）A.該函數(shù)解析式為；B.函數(shù)的一個對稱中心為C.函數(shù)的定義域為D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為.【答案】ABC【解析】【分析】A.根據(jù)已知求出函數(shù)解析式為；B. 函數(shù)的對稱中心為，即可判斷；C.解不等式即可判斷；D. 的最小值為，即可判斷.【詳解】因為相鄰對稱軸之間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以所以.因為圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以,所以因為.所以. 所以A正確；令，所以，所以函數(shù)的對稱中心為.當(dāng)時，對稱中心所以B正確；，令，所以，解之得函數(shù)的定義域為，所以C正確；將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到是奇函數(shù)，所以因為的最小值為.所以D不正確.故答案為：ABC三?解答題（70分）17. 已知為公差不為的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)設(shè)出公差，利用已知條件列方程解出公差即可.(2)得到的通項公式，可由分組求和法求前項和.【詳解】（1）成等比數(shù)列，所以即，即.因為，所以，所以.（2）由題意得：，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列基本問題，考查分組求和法.若且數(shù)列的前項和易求，則可以利用分組求和法求數(shù)列的前項和.18. 某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在兩家餐廳用餐的滿意度，從在兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進(jìn)行評分，滿分均為60分.整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：，得到餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)235154035 （1）在抽樣的100人中，求對餐廳評分低于30的人數(shù)；如果從兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由.（2）從對餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的概率；（3）如果A餐廳把打分最低的和打分最高的人群稱之為“口味獨(dú)特”，反之為“正常口味”，請計算“正?？谖?/span>”人群的打分范圍.（近似到）【答案】（1）詳見解析；    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求解，然后根據(jù)評分低于30的人數(shù)作出判斷；（2）利用古典概型的概率求解； （3）分別求得打分最低的的范圍和打分最高的范圍求解.【小問1詳解】在抽樣的100人中，對餐廳評分低于30的人數(shù)；由B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表知：對餐廳評分低于30的人數(shù)為10，所以如果從兩家餐廳中選擇一家用餐，會選擇B家；【小問2詳解】從對餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人有 種，2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的選法有種，所以2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的概率；【小問3詳解】設(shè)打分最低的的范圍為，由題意得，解得，設(shè)打分最高的范圍為，由題意得，解得，所以“正?？谖?/span>”人群的打分范圍為.19. 如圖1，在矩形中，，E是的中點(diǎn)；如圖2，將沿折起，使折后平面平面．（1）若平面與平面的交線為l，求證：；（2）求證：平面；（3）求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）．【解析】【分析】（1）因為，則有平面，根據(jù)線面平行性質(zhì)可證；（2）根據(jù)勾股定理可證，由面面垂直性質(zhì)定理即可證平面；（3）先求解三棱錐的體積，再用等體積法求得點(diǎn)到面的距離．【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，又因為平面與平面的交線為l，且平面，所以；（2）依題意得，，又所以，則 因為平面平面，且平面平面，平面所以平面；（3）取中點(diǎn)，連接因為，所以，由于平面平面，且平面平面，平面，所以平面，且所以 由（2）知平面，且平面，所以設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，則由于，故 所以點(diǎn)C到平面的距離為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到面的距離常用方法：1、等體積法；2、直接作出點(diǎn)到平面的垂線，則該垂線段的長度就是所求的距離；3、向量法：用向量距離公式求解.20. 已知橢圓C的兩個頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．【答案】（1）（2）見解析【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可知，以及，從而求得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)，則，根據(jù)條件求直線的方程，并且表示出直線的方程，并求得兩條直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)即可求出面積比值.試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為.由題意得解得.所以.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)，則.由題設(shè)知，且.直線的斜率，故直線的斜率.所以直線的方程為.直線的方程為.聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo).由點(diǎn)在橢圓上，得.所以.又，，所以與的面積之比為.【名師點(diǎn)睛】本題對考生計算能力要求較高，重點(diǎn)考查了計算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此類題目，主要利用的關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)，本題易錯點(diǎn)是對復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題與解決問題的能力等.21. 已知函數(shù)．（）求函數(shù)的極值點(diǎn)．（）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在．（2）見解析【解析】【詳解】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定極值點(diǎn)，（2）先作差函數(shù)，求導(dǎo)得，再根據(jù)零點(diǎn) 與區(qū)間 關(guān)系分類討論 ，結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)最小值取法.                   詳解：解：（）函數(shù)的定義域為，，∴令，得，令，得，∴函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在．（）由題意得，∴，令得．①當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，∴在上的最小值為；②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上的最小值為；③當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在上的最小值為，綜上所述，當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為．點(diǎn)睛：求含參數(shù)問題的函數(shù)最值，一般利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合參數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最值.討論點(diǎn)一般分為導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)在不在定義區(qū)間，導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)對單調(diào)性的分割.22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）寫出曲線的普通方程及直線的極坐標(biāo)方程；（2）直線與曲線和直線分別交于，（，均異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）曲線，直線；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)消參法，將曲線C的方程化為普通方程，由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系，將直線普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.（2）由（1）知：，，即可求的范圍．【詳解】（1）由參數(shù)方程為（為參數(shù)），得，∴曲線的普通方程為．由普通方程為，而，∴直線的極坐標(biāo)方程為，即.（2）∵曲線的極坐標(biāo)方程為，∴直線的極坐標(biāo)方程為，即，∴，，則的取值范圍為．23. 已知，.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）代入，分段討論打開絕對值解不等式即可.(2)利用基本不等式性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時解得；當(dāng)時，，此時解得無解；當(dāng)時，，此時解得.綜上，不等式的解集為或（2）(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)可以知道當(dāng)時，有最小值，由得或 .【點(diǎn)睛】此題考查解絕對值不等式，不含參數(shù)時一般分段討論，注意基本不等式的使用，屬于較易題目.
 

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