?第3講　圓周運(yùn)動(dòng)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知識(shí)點(diǎn)　　勻速圓周運(yùn)動(dòng)、角速度、線(xiàn)速度、向心加速度?、?br /> 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力?、?.勻速圓周運(yùn)動(dòng)
(1)定義：如果物體沿著圓周運(yùn)動(dòng)，并且線(xiàn)速度的大小處處相等，這種運(yùn)動(dòng)叫作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
(2)性質(zhì)：加速度大小不變、方向總是指向圓心的變加速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。
(3)條件：有初速度，受到一個(gè)大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心的合力。
2．描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量
描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量主要有線(xiàn)速度、角速度、周期、頻率、轉(zhuǎn)速、向心加速度、向心力等，具體如下：

定義、意義
公式、單位
線(xiàn)速度
①描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體沿圓弧運(yùn)動(dòng)快慢的物理量(v)
②是矢量，方向和半徑垂直，沿切線(xiàn)方向
①v＝＝ωr
②單位：m/s
角速度
描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量(ω)
①ω＝＝
②單位：rad/s
周期和
轉(zhuǎn)速
①周期是指做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間(T)
②轉(zhuǎn)速是指物體轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)與所用時(shí)間之比(n)，也叫頻率(f)
①T＝＝，單位：s
②f＝，單位：Hz
③n的單位：r/s、r/min
向心加
速度
①描述速度方向變化快慢的物理量(an)
②方向指向圓心，時(shí)刻在變
①an＝＝ω2r
②單位：m/s2
向心力
①作用效果是產(chǎn)生向心加速度，只改變線(xiàn)速度的方向，不改變線(xiàn)速度的大小(Fn)
②方向指向圓心，時(shí)刻在變
③來(lái)源：某個(gè)力，或某幾個(gè)力的合力，或某個(gè)力的分力
①Fn＝mω2r＝
m
②單位：N
相互
關(guān)系
①v＝rω＝＝2πrf
②an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r
③Fn＝m＝mrω2＝mωv＝m＝4mπ2f2r
知識(shí)點(diǎn)　　勻速圓周運(yùn)動(dòng)與變速圓周運(yùn)動(dòng)?、?br />
勻速圓周運(yùn)動(dòng)
變速圓周運(yùn)動(dòng)
運(yùn)動(dòng)
特點(diǎn)
線(xiàn)速度的大小不變，角速度、周期和頻率都不變，向心加速度的大小不變
線(xiàn)速度的大小、方向都變，角速度變，向心加速度的大小、方向都變，周期可能變也可能不變
受力
特點(diǎn)

所受到的合力為向心力，大小不變，方向變，其方向時(shí)刻指向圓心

所受到的合力不指向圓心，合力產(chǎn)生兩個(gè)效果：
①沿半徑方向的分力Fn，即向心力，它改變速度的方向；
②沿切線(xiàn)方向的分力Ft，它改變速度的大小
運(yùn)動(dòng)
性質(zhì)
變加速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(加速度大小不變，方向變化)
變加速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(加速度大小、方向都變化)
知識(shí)點(diǎn)　　離心現(xiàn)象?、?br /> 1．離心運(yùn)動(dòng)
(1)定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力時(shí)，所做的逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。
(2)本質(zhì)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于慣性，總有沿著切線(xiàn)方向飛出去的傾向。
(3)受力特點(diǎn)

①當(dāng)F＝mω2r時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
②當(dāng)Fmω2r時(shí)，物體將逐漸靠近圓心，做近心運(yùn)動(dòng)?！?　　　　　　　　　　　　　　　　　

一 堵點(diǎn)疏通
1．做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，一定受到向心力的作用，所以分析受力時(shí)，必須指出受到的向心力。(　　)
2．勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，變速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。(　　)
3．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與半徑成反比。(　　)
4．在光滑的水平路面上，汽車(chē)不可以轉(zhuǎn)彎。(　　)
5．摩托車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過(guò)大就會(huì)向外發(fā)生滑動(dòng)，這是摩托車(chē)受沿轉(zhuǎn)彎半徑向外的離心力作用的緣故。(　　)
6．火車(chē)轉(zhuǎn)彎速率小于規(guī)定的數(shù)值時(shí)，內(nèi)軌受到的壓力會(huì)增大。(　　)
答案　1.×　2.×　3.×　4.√　5.×　6.√
二 對(duì)點(diǎn)激活
1.(人教版必修第二冊(cè)·P30·T3改編)如圖所示，小物體A與水平圓盤(pán)保持相對(duì)靜止，跟著圓盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則A受力情況是(　　)

A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圓心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
答案　C
解析　A受三個(gè)力作用，重力和支持力平衡，指向圓心的摩擦力充當(dāng)向心力，故C正確。
2．(多選)甲、乙兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列哪種情況下甲的向心加速度比較大(　　)
A．它們的線(xiàn)速度相等，乙的運(yùn)動(dòng)半徑小
B．它們的周期相等，甲的運(yùn)動(dòng)半徑大
C．它們的角速度相等，乙的線(xiàn)速度小
D．它們的線(xiàn)速度相等，在相同時(shí)間內(nèi)甲與圓心的連線(xiàn)掃過(guò)的角度比乙的大
答案　BCD
解析　由an＝知，在v相同的情況下，r甲>r乙時(shí)，a甲r乙時(shí)，a甲>a乙，故B正確；由an＝ωv知，在ω相同情況下，v甲>v乙時(shí)，a甲>a乙，故C正確；由an＝ωv知，在v相同情況下，ω甲>ω乙時(shí)，a甲>a乙，故D正確。
3.(人教版必修第二冊(cè)·P30·T4改編)質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為l的細(xì)線(xiàn)懸掛在O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方處有一光滑的釘子P，把小球拉到與釘子P等高的位置，細(xì)線(xiàn)被釘子擋住。如圖讓小球從靜止釋放，當(dāng)小球第一次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)(　　)

A．小球運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度突然減小
B．小球的角速度突然減小
C．小球的向心加速度突然增大
D．懸線(xiàn)的拉力突然增大
答案　B
解析　當(dāng)小球第一次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，由于重力與懸線(xiàn)的拉力都與速度垂直，所以小球的線(xiàn)速度大小不變，故A錯(cuò)誤；根據(jù)v＝rω，可知線(xiàn)速度大小不變，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變大，則角速度變小，故B正確；根據(jù)向心加速度公式an＝可得，線(xiàn)速度大小不變，軌跡半徑變大，則向心加速度變小，故C錯(cuò)誤；懸線(xiàn)拉力F＝mg＋m＝mg＋man，故懸線(xiàn)的拉力突然減小，D錯(cuò)誤。
4．(人教版必修第二冊(cè)·P30·T5)一輛汽車(chē)在水平公路上轉(zhuǎn)彎，沿曲線(xiàn)由M向N行駛，速度逐漸減小。如圖A、B、C、D分別畫(huà)出了汽車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)所受合力F的四種方向，你認(rèn)為正確的是(　　)

答案　C
解析　汽車(chē)沿曲線(xiàn)轉(zhuǎn)彎，所以受到垂直速度方向指向軌跡凹側(cè)的向心力Fn，汽車(chē)的速度逐漸減小，所以還受到與速度方向相反沿軌跡切線(xiàn)方向的切向力Ft，這兩個(gè)力的合力方向如圖C所示。
5．下列關(guān)于離心現(xiàn)象的說(shuō)法正確的是(　　)
A．當(dāng)物體所受的離心力大于向心力時(shí)產(chǎn)生離心現(xiàn)象
B．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)它所受的一切力都突然消失后，物體將做背離圓心的圓周運(yùn)動(dòng)
C．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)它所受的一切力都突然消失后，物體將沿切線(xiàn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
D．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)它所受的一切力都突然消失后，物體將做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
答案　C
解析　物體只要受到力，必有施力物體，但“離心力”是沒(méi)有施力物體的，故所謂的離心力是不存在的，只要所受合力不足以提供所需的向心力，物體就做離心運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)所受的一切力突然消失后，物體將沿切線(xiàn)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，故B、D錯(cuò)誤，C正確。



考點(diǎn) 1　　圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析
1.圓周運(yùn)動(dòng)各物理量間的關(guān)系

2．對(duì)公式v＝ωr的理解
當(dāng)r一定時(shí)，v與ω成正比；
當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比；
當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比。
3．對(duì)an＝＝ω2r的理解
當(dāng)v一定時(shí)，an與r成反比；
當(dāng)ω一定時(shí)，an與r成正比。
4．常見(jiàn)的三種傳動(dòng)方式及特點(diǎn)
(1)皮帶傳動(dòng)：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線(xiàn)速度大小相等，即vA＝vB。

(2)摩擦(齒輪)傳動(dòng)：如圖丙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無(wú)打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線(xiàn)速度大小相等，即vA＝vB。

(3)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)：如圖丁所示，兩輪固定在一起繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
例1　如圖所示的皮帶傳動(dòng)裝置中，右邊兩輪連在一起同軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圖中三輪半徑的關(guān)系為：r1＝2r2，r3＝1.5r1，A、B、C三點(diǎn)為三個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，皮帶不打滑，則A、B、C三點(diǎn)的線(xiàn)速度之比為_(kāi)_______；角速度之比為_(kāi)_______；周期之比為_(kāi)_______。

(1)A、B兩點(diǎn)位于兩輪邊緣靠皮帶傳動(dòng)，那么vA與vB有什么關(guān)系？ωA與ωB有什么關(guān)系？
提示：vA＝vB，＝。
(2)B、C為同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的兩點(diǎn)，vB與vC、ωB與ωC的關(guān)系是什么？
提示：＝，ωB＝ωC。
嘗試解答　1∶1∶3__1∶2∶2__2∶1∶1。
因?yàn)閮奢営刹淮蚧钠噙B，所以相等時(shí)間內(nèi)A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)相等，即vA＝vB，由v＝ωr知＝＝，又B、C是同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，相等時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相等，即ωB＝ωC，由v＝ωr知＝＝＝。所以vA∶vB∶vC＝1∶1∶3，ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶2，再由T＝可得，TA∶TB∶TC＝1∶∶＝2∶1∶1。

解決傳動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵
(1)確定屬于哪類(lèi)傳動(dòng)方式，抓住傳動(dòng)裝置的特點(diǎn)。
①同軸轉(zhuǎn)動(dòng)：固定在一起共軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體上各點(diǎn)角速度相同；
②皮帶傳動(dòng)、齒輪傳動(dòng)和摩擦傳動(dòng)：齒輪傳動(dòng)和不打滑的摩擦(皮帶)傳動(dòng)的兩輪邊緣上各點(diǎn)線(xiàn)速度大小相等。
(2)結(jié)合公式v＝ωr，v一定時(shí)ω與r成反比，ω一定時(shí)v與r成正比，判定各點(diǎn)v、ω的比例關(guān)系。若判定向心加速度an的比例關(guān)系，可巧用an＝ωv這一規(guī)律。
[變式1]　如圖是某共享自行車(chē)的傳動(dòng)結(jié)構(gòu)示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的牙盤(pán)(大齒輪)，Ⅱ是半徑為r2的飛輪(小齒輪)，Ⅲ是半徑為r3的后輪。若某人在勻速騎行時(shí)每秒踩腳踏板轉(zhuǎn)n圈，則下列判斷正確的是(　　)

A．牙盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為
B．飛輪邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)線(xiàn)速度為2πnr2
C．牙盤(pán)邊緣向心加速度為
D．自行車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)的速度為
答案　D
解析　腳踏板與牙盤(pán)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，二者角速度相等，每秒踩腳踏板n圈，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)一圈，相對(duì)圓心轉(zhuǎn)的角度為2π，所以角速度ω1＝2πn，A錯(cuò)誤；牙盤(pán)邊緣與飛輪邊緣線(xiàn)速度的大小相等，據(jù)v＝rω可知，飛輪邊緣上的線(xiàn)速度v1＝2πnr1，B錯(cuò)誤；牙盤(pán)邊緣的向心加速度an＝＝＝(2πn)2r1，故C錯(cuò)誤；飛輪角速度ω2＝＝，自行車(chē)后輪角速度與飛輪角速度相等，自行車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)的速度v＝ω2r3＝，故D正確。
考點(diǎn) 2　　圓錐擺模型及其臨界問(wèn)題
1.圓錐擺模型的受力特點(diǎn)
受兩個(gè)力，且兩個(gè)力的合力沿水平方向，物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
2．運(yùn)動(dòng)實(shí)例
運(yùn)動(dòng)模型
向心力的來(lái)源圖示
飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎

火車(chē)轉(zhuǎn)彎

圓錐擺

物體在光滑半圓形碗
內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

3．解題方法
(1)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，確定向心力來(lái)源。
(2)確定圓心和軌道半徑。
(3)應(yīng)用相關(guān)力學(xué)規(guī)律列方程求解。
4．規(guī)律總結(jié)
(1)圓錐擺的周期

如圖擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺線(xiàn)與豎直方向夾角為θ。
受力分析，由牛頓第二定律得：mgtanθ＝mr
r＝Lsinθ
解得T＝2π＝2π。
(2)結(jié)論
①擺高h(yuǎn)＝Lcosθ，周期T越小，圓錐擺轉(zhuǎn)得越快，θ越大。
②擺線(xiàn)拉力F＝，圓錐擺轉(zhuǎn)得越快，擺線(xiàn)拉力F越大。
③擺球的加速度a＝gtanθ。
5．圓錐擺的兩種變形
變形1：具有相同錐度角的圓錐擺(擺長(zhǎng)不同)，如圖甲所示。
由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωAvB。

變形2：具有相同擺高、不同擺長(zhǎng)和擺角的圓錐擺，如圖乙所示。
由T＝2π知擺高h(yuǎn)相同，則TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。
例2　(2020·內(nèi)蒙古赤峰市高三上期末)(多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如右圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長(zhǎng)為l，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．a(chǎn)繩的張力不可能為零
B．a(chǎn)繩的張力隨角速度的增大而增大
C．當(dāng)角速度ω> ，b繩將出現(xiàn)彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化
(1)小球在豎直方向的受力有什么特點(diǎn)？
提示：所受重力與a繩對(duì)它的拉力的豎直分力平衡。
(2)b繩恰好沒(méi)有彈力的臨界條件是什么？
提示：a繩的拉力與小球的重力的合力提供小球所需向心力。
嘗試解答　選AC。
小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上所受的合力為零，水平方向上所受的合力提供向心力，所以a繩對(duì)小球的拉力在豎直方向上的分力與小球的重力平衡，可知a繩的張力不可能為零，故A正確；根據(jù)豎直方向上小球受力平衡得，F(xiàn)asinθ＝mg，解得Fa＝，可知a繩的拉力與角速度ω?zé)o關(guān)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)b繩拉力為零時(shí)，有：＝mωl，解得ω0＝，可知當(dāng)角速度ω>時(shí)，b繩將出現(xiàn)彈力，故C正確；由于b繩可能沒(méi)有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤。

解決圓錐擺臨界問(wèn)題的技巧
圓錐擺的臨界問(wèn)題，主要就是與彈力有關(guān)的臨界問(wèn)題。
(1)繩子松弛或斷開(kāi)的臨界條件是：①繩恰好拉直且沒(méi)有彈力；②繩上的拉力恰好達(dá)最大值。
(2)接觸或脫離的臨界條件是物體與物體間的彈力恰好為零。
(3)對(duì)于火車(chē)轉(zhuǎn)彎、半圓形碗內(nèi)的水平圓周運(yùn)動(dòng)有兩類(lèi)臨界情況：①摩擦力的方向發(fā)生改變；②發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。
[變式2－1]　(2020·安徽省皖江名校聯(lián)盟高三下第六次聯(lián)考)如圖所示，用一根質(zhì)量不計(jì)、不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩，一端系一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，另一端固定在O點(diǎn)。當(dāng)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，懸點(diǎn)O到軌跡圓心高度為h，細(xì)繩拉力大小為F，小球的向心加速度大小為a，線(xiàn)速度大小為v，下列描述各物理量與角速度ω的關(guān)系圖像正確的是(　　)


答案　A
解析　設(shè)細(xì)繩長(zhǎng)度為l，小球質(zhì)量為m，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ，有Fsinθ＝mω2lsinθ，得F＝mω2l，A正確；由mgtanθ＝mω2lsinθ，h＝lcosθ，得h＝，B錯(cuò)誤；由mgtanθ＝mω2lsinθ，可得cosθ＝，小球的向心加速度大小a＝ω2lsinθ＝，C錯(cuò)誤；由cosθ＝，得小球的線(xiàn)速度大小v＝ωlsinθ＝，D錯(cuò)誤。
[變式2－2]　(2020·東北三省四市教研聯(lián)合體高三下模擬)為了解決高速列車(chē)在彎路上運(yùn)行時(shí)輪軌間的磨損問(wèn)題，保證列車(chē)能經(jīng)濟(jì)、安全地通過(guò)彎道，常用的辦法是將彎道曲線(xiàn)外軌軌枕下的道床加厚，使外軌高于內(nèi)軌，外軌與內(nèi)軌的高度差叫曲線(xiàn)外軌超高。已知某曲線(xiàn)路段設(shè)計(jì)外軌超高值為70 mm，兩鐵軌間距離為1435 mm，最佳的過(guò)彎速度為350 km/h，則該曲線(xiàn)路段的半徑約為(　　)
A．40 km B.30 km
C.20 km D.10 km
答案　C
解析　設(shè)該曲線(xiàn)路段的傾角為θ，列車(chē)以最佳速度過(guò)彎道時(shí)，轉(zhuǎn)彎時(shí)所受支持力與重力的合力提供向心力，則有mgtanθ＝m，可得R＝，由于傾角θ很小，有tanθ≈sinθ，則R＝ m≈19376.9 m≈20 km，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。　
考點(diǎn) 3　　水平轉(zhuǎn)盤(pán)上運(yùn)動(dòng)物體的臨界問(wèn)題
水平轉(zhuǎn)盤(pán)上運(yùn)動(dòng)物體的臨界問(wèn)題，主要涉及與摩擦力和彈力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題。
1．如果只有摩擦力提供向心力，物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力，則最大靜摩擦力Fm＝，方向指向圓心。
2．如果水平方向除受摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其臨界情況要根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行判斷，如判斷某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)的方向(特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等)。
3．運(yùn)動(dòng)實(shí)例

例3　(2020·河南省高三上第三次段考)如圖所示，某同學(xué)用手水平托著一物體以身體(視為豎直直線(xiàn))為軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，已知物體到身體的距離為R，手與物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，慢慢增大轉(zhuǎn)速，要使物體能水平滑出，人轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度至少應(yīng)大于(　　)


(1)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由什么提供？
提示：手對(duì)物體的靜摩擦力。
(2)何時(shí)物體能滑出？
提示：手與物體間的靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)。
嘗試解答　選A。
設(shè)物體的質(zhì)量為m，剛好發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)物體所受的向心力為F向＝μmg＝mω2R，解得：ω＝，則當(dāng)角速度大于時(shí)，物體能水平滑出，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

解決臨界問(wèn)題的注意事項(xiàng)
(1)先確定研究對(duì)象受力情況，看哪些力充當(dāng)向心力，哪些力可能突變引起臨界問(wèn)題。
(2)注意分析物體所受靜摩擦力大小和方向隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)速的變化而發(fā)生變化。
(3)關(guān)注臨界狀態(tài)，例如靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)。例3中，物體隨手轉(zhuǎn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，隨轉(zhuǎn)速的增大，靜摩擦力增大，當(dāng)所需向心力大于最大靜摩擦力時(shí)開(kāi)始相對(duì)滑動(dòng)，出現(xiàn)臨界情況，此時(shí)對(duì)應(yīng)的角速度為臨界角速度。
[變式3－1]　兩個(gè)質(zhì)量分別為2m和m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤(pán)上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為L(zhǎng)，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2L，a、b之間用長(zhǎng)為L(zhǎng)的強(qiáng)度足夠大的輕繩相連，木塊與圓盤(pán)間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤(pán)從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)輕繩剛好伸直但無(wú)張力，用ω表示圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．a(chǎn)比b先達(dá)到最大靜摩擦力
B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等
C．ω＝ 是b開(kāi)始滑動(dòng)的臨界角速度
D．當(dāng)ω＝ 時(shí)，a所受摩擦力的大小為
答案　D
解析　木塊隨圓盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)繩子上無(wú)拉力時(shí)，靜摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律得：Ff＝mω2r，F(xiàn)fmax＝kmg，聯(lián)立得ωmax＝，故隨著ω增大，b先達(dá)到臨界角速度，b先達(dá)到最大靜摩擦力，故A錯(cuò)誤。在b的靜摩擦力沒(méi)有達(dá)到最大前，由Ff＝mω2r，a、b質(zhì)量分別是2m和m，而圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r分別為L(zhǎng)和2L，所以開(kāi)始時(shí)a和b受到的摩擦力是相等的；當(dāng)b受到的靜摩擦力達(dá)到最大后，即ω>，對(duì)于b木塊有：kmg＋F＝mω2·2L，對(duì)于a木塊有Ff－F＝2mω2L，聯(lián)立得Ff＝4mω2L－kmg>kmg；可知二者受到的摩擦力不一定相等，故B錯(cuò)誤。b剛要滑動(dòng)時(shí)，對(duì)b木塊有kmg＋F＝mω·2L，對(duì)a木塊有k·2mg－F＝2mωL，聯(lián)立得kmg＋2kmg＝4mωL，得ω0＝，故C錯(cuò)誤。當(dāng)ω＝ 時(shí)，b未滑動(dòng)，a所受摩擦力大小Ff＝4mω2L－kmg＝，故D正確。
[變式3－2]　(2020·安徽省安慶市重點(diǎn)中學(xué)高三第二次聯(lián)考)(多選)如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的小物體A、B通過(guò)輕彈簧連接，并隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B的質(zhì)量分別為m、2m，A、B與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，A、B離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離分別為1.5r、r，已知彈簧的原長(zhǎng)為1.5r，勁度系數(shù)為k，設(shè)本題中的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，以下說(shuō)法正確的是(　　)

A．當(dāng)B受到的摩擦力為0時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為
B．當(dāng)A受到的摩擦力為0時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為
C．使轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速緩慢增大，若B比A先相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)滑動(dòng)，則當(dāng)B剛好要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 )
D．使轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速緩慢增大，若A比B先相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)滑動(dòng)，則當(dāng)A剛好要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 )
答案　BD
解析　當(dāng)B受到的摩擦力為0時(shí)，由彈簧彈力提供B做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則k(2.5r－1.5r)＝2mω2r，解得ω＝ ，A錯(cuò)誤；當(dāng)A受到的摩擦力為0時(shí)，由彈簧彈力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則k(2.5r－1.5r)＝mω2·1.5r，解得ω＝，B正確；使轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速緩慢增大，若B比A先相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)滑動(dòng)，則當(dāng)B剛好要滑動(dòng)時(shí)，B與轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力且指向轉(zhuǎn)臺(tái)中心，此時(shí)彈簧彈力與最大靜摩擦力的合力提供B做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有k(2.5r－1.5r)＋μ·2mg＝2mω2·r，解得)，C錯(cuò)誤；使轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速緩慢增大，若A比B先相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)滑動(dòng)，則當(dāng)A剛好要滑動(dòng)時(shí)，A與轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力且指向轉(zhuǎn)臺(tái)中心，此時(shí)彈簧彈力與最大靜摩擦力的合力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有k(2.5r－1.5r)＋μmg＝mω2·1.5r，解得ω＝)，D正確。
考點(diǎn) 4　　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)——“繩”模型和“桿”模型
1.在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，按運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類(lèi)：一是無(wú)支撐(如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的物體等)，稱(chēng)為“繩(環(huán))約束模型”，二是有支撐(如球與桿連接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)等)，稱(chēng)為“桿(管)約束模型”。
2．繩、桿模型涉及的臨界問(wèn)題

繩模型
桿模型
常見(jiàn)
類(lèi)型

均是沒(méi)有支撐的小球

均是有支撐的小球
受力
特征
除重力外，物體受到的彈力向下或等于零
除重力外，物體受到的彈力向下、等于零或向上
受力
示意圖


過(guò)最高
點(diǎn)的臨
界條件
由mg＝m得v臨＝
由小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)得v臨＝0
討論
分析
(1)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、圓軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN
(2)不能過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v m/s2，故A錯(cuò)誤。小球從初始位置到最高點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：－mglsinα＝mv－mv；解得：v1＝＝ m/s＝ m/s；考慮臨界情況，如果在最高點(diǎn)桿沒(méi)有彈力，小球重力沿斜面的分力提供向心力，有：mgsinα＝m，解得：v2＝＝＜v1，說(shuō)明小球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)桿對(duì)小球有拉力作用，即桿對(duì)小球的彈力沿斜面向下，故B錯(cuò)誤。在最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力是拉力，故F＋mgsinα＝m，如果初速度增大，則在最高點(diǎn)速度也增大，故拉力F一定增大，C正確，D錯(cuò)誤。



　(16分)如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱(chēng)軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線(xiàn)與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g。

(1)若ω＝ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0；
(2)ω＝(1±k)ω0，且0c，則經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)對(duì)管道壁的壓力為正值，可知此時(shí)小球?qū)ν夤艿辣谟袎毫?，B錯(cuò)誤；若小球經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足v＝c，則經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足mg＝m，由機(jī)械能守恒定律可得mv＝mg·2R＋mv，聯(lián)立解得R＝，C正確；由圖乙可知，F(xiàn)＝－b時(shí)v>c，小球經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度大于0，D錯(cuò)誤。
二、非選擇題(本題共1小題，共12分)
12.(2020·江西省贛州市十五縣市高三上期中)(12分)如圖，長(zhǎng)L＝0.8 m的輕繩一端與質(zhì)量m＝6 kg的小球相連，另一端連接一個(gè)質(zhì)量M＝1 kg的滑塊，滑塊套在豎直桿上，與豎直桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ?，F(xiàn)在讓小球繞豎直桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩子與桿的夾角θ＝60°時(shí)，滑塊恰好不下滑。假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦，重力加速度g＝10 m/s2。求：

(1)小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω的大??；
(2)滑塊與豎直桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。
答案　(1)5 rad/s　(2)
解析　(1)對(duì)小球受力分析，由牛頓第二定律得：
mgtanθ＝mω2Lsinθ，
代入數(shù)據(jù)解得小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω＝5 rad/s。
(2)對(duì)小球，在豎直方向，由平衡條件可得：FTcosθ＝mg，
對(duì)滑塊，有：FTsinθ＝FN，
聯(lián)立解得FN＝mg，
對(duì)整體，豎直方向上有：Ff＝μFN＝(m＋M)g，
聯(lián)立解得μ＝。



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