2021-2022學(xué)年湖北省武漢市新洲區(qū)陽(yáng)邏街九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）方程2x2＝3（x﹣6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（　　）A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，62．（3分）下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?/span>A． B． C． D．3．（3分）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根為x1，x2，那么x1+x2＝（　?。?/span>A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．14．（3分）已知x＝8是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一個(gè)解，則m的值是（　?。?/span>A．﹣4 B．4 C．7或﹣7 D．﹣75．（3分）配方法解方程x2+8x+7＝0，則方程可化為（　?。?/span>A．（x﹣4）2＝9 B．（x+4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝166．（3分）對(duì)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?/span>A．開口向上 B．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大 C．函數(shù)圖象與x軸沒有公共點(diǎn) D．函數(shù)有最小值7．（3分）某商品原價(jià)289元，經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程正確的是（　　）A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289 C．289（1﹣2x）2＝256 D．256（1﹣2x）2＝2898．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點(diǎn)（ac，bc）在（　?。?/span>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（3分）已知兩點(diǎn)A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，若y1＞y2≥y0，則x0的取值范圍是（　　）A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．x0＞﹣3 D．﹣5＜x0＜﹣110．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為（　　）A．6 B．6 C．4+2 D．3二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 　   　．12．（3分）若y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函數(shù)，則a＝　   　．13．（3分）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出相同數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是 　   　．14．（3分）點(diǎn)A（2，m），B（﹣1，n）是拋物線y＝x2﹣1上的兩點(diǎn)，直線y＝kx+b經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，不等式x2﹣1＞kx+b的解集為 　   　．15．（3分）在直徑為10m的的圓柱型油槽內(nèi)注入一些油后，截面如圖所示，液面寬AB＝6m，如果繼續(xù)向油槽內(nèi)注油，使液面寬為8m，那么液面上升了 　   　m．16．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），且對(duì)稱軸為直線x＝1，其部分圖象如圖所示．對(duì)于此拋物線有如下四個(gè)結(jié)論：①b＝﹣2a；②4a+2b+c＞0；③若n＞m＞0，則x＝1+m時(shí)的函數(shù)值小于x＝1﹣n時(shí)的函數(shù)值；④點(diǎn)（，0）一定在此拋物線上．其中正確的結(jié)論是 　   　．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．（2）解不等式：2x﹣1＜3（1+x）．18．（8分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)E落在BC的延長(zhǎng)線上．求證：∠3＝∠1+∠2．19．（8分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），且函數(shù)有最小值﹣4．（1）求拋物線的解析式；（2）若0＜x＜4，求函數(shù)值y的取值范圍．20．（8分）在8×5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題：（1）將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對(duì)應(yīng)線段CD；（2）在線段AB上畫點(diǎn)E，使∠BCE＝45°（保留畫圖過程的痕跡）；（3）連接AC，畫點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F，并簡(jiǎn)要說明畫法．21．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB上一點(diǎn)，弦CD與弦EF交于點(diǎn)P，PB平分∠DPF，連DF交AB于點(diǎn)G．（1）求證：CD＝EF；（2）若∠DPF＝60°，PE：PF＝1：3，AB＝2，求OG的長(zhǎng)．22．（10分）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價(jià)格收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間的關(guān)系，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：銷售價(jià)格x元（元/千克）3035404550日銷售量p（千克）6004503001500（1）請(qǐng)直接寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格，才能使日銷售利潤(rùn)最大？（3）若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元（a＞0）的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)40≤x≤45時(shí)，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為2430元，求a的值．23．（10分）[問題背景]如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AD上的一點(diǎn)，且DE＝DC，連接BE．求證：BE⊥AC；[遷移運(yùn)用]如圖2，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是△ABC外的一點(diǎn)，且ADAC，把點(diǎn)D繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E，連接BE，求證：BECE；[拓展創(chuàng)新]如圖3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是△ABC外的一點(diǎn)，且∠ADC＝30°，E是AB的中點(diǎn)，連接DE，若AD＝4，DE，則△ACD的面積為 　   　．（直接寫出結(jié)果） 24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+3ax+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且S△ABC＝10，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接BP．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，若∠BPD＝2∠BCO，求的值；（3）如圖2，設(shè)BP與AC的交點(diǎn)為Q，連接PC，是否存在點(diǎn)P，使S△PCQ＝S△BCQ？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2021-2022學(xué)年湖北省武漢市新洲區(qū)陽(yáng)邏街九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）方程2x2＝3（x﹣6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（　?。?/span>A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6【解答】解：方程2x2＝3（x﹣6），去括號(hào)，得2x2＝3x﹣18，整理，得2x2﹣3x+18＝0，所以，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2，﹣3，18，故選：B．2．（3分）下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)正確；D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．3．（3分）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根為x1，x2，那么x1+x2＝（　?。?/span>A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【解答】解：根據(jù)題意可得x1+x23，故選：B．4．（3分）已知x＝8是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一個(gè)解，則m的值是（　?。?/span>A．﹣4 B．4 C．7或﹣7 D．﹣7【解答】解：∵x＝8是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一個(gè)解，∴82+8m﹣8＝0，∴m＝﹣7．故選：D．5．（3分）配方法解方程x2+8x+7＝0，則方程可化為（　?。?/span>A．（x﹣4）2＝9 B．（x+4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝16【解答】解：方程移項(xiàng)得：x2+8x＝﹣7，配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．故選：B．6．（3分）對(duì)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?/span>A．開口向上 B．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大 C．函數(shù)圖象與x軸沒有公共點(diǎn) D．函數(shù)有最小值【解答】解：對(duì)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2，∵a＝1＞0，∴拋物線的開口方向向上，∴A選項(xiàng)正確；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，拋物線的開口方向向上，∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，∴B選項(xiàng)正確；∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，0）在x軸上，∴拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵a＝1＞0，∴函數(shù)在x＝1時(shí)有最小值1，∴D選項(xiàng)正確．綜上，錯(cuò)誤的選項(xiàng)為：C．故選：C．7．（3分）某商品原價(jià)289元，經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程正確的是（　?。?/span>A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289 C．289（1﹣2x）2＝256 D．256（1﹣2x）2＝289【解答】解：根據(jù)題意可得兩次降價(jià)后售價(jià)為289（1﹣x）2，∴方程為289（1﹣x）2＝256．故選：A．8．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點(diǎn)（ac，bc）在（　?。?/span>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：函數(shù)開口向下，因而a＜0，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，則b與a異號(hào)，因而b＞0，與y軸的正半軸相交，因而c＞0，∴ac＜0，bc＞0，橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0，因而點(diǎn)在第二象限，則點(diǎn)（ac，bc）在第二象限．故選：B．9．（3分）已知兩點(diǎn)A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，若y1＞y2≥y0，則x0的取值范圍是（　　）A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．x0＞﹣3 D．﹣5＜x0＜﹣1【解答】解：∵兩點(diǎn)A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，∴若y1＞y2≥y0，則此函數(shù)開口向上，有最小值，∴x0≤﹣1或x0≥﹣1，解得，x0＞﹣3故選：C．10．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為（　?。?/span>A．6 B．6 C．4+2 D．3【解答】解：如圖：以AO為邊作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，∵四邊形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∵△AOF是等腰直角三角形，∴AO＝FO，AFAO，∵∠BOC＝∠AOF＝90°，∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO，∴△AOB≌△FOC（SAS），∴AB＝CF＝4，若點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F三點(diǎn)不共線時(shí)，AF＜AC+CF；若點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，AF＝AC+CF，∴AF≤AC+CF＝2+4＝6，∴AF的最大值為6，∵AFAO，∴AO的最大值為3．故選：D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ?。?/span>2，﹣3）　．【解答】解：點(diǎn)（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣3）．故答案是：（2，﹣3）．12．（3分）若y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函數(shù)，則a＝　3　．【解答】解：當(dāng)|a|﹣1＝2且a+3≠0時(shí)，y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函數(shù)，∴a＝﹣3（舍去），a＝3．故答案為3．13．（3分）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出相同數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是 　6　．【解答】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是x，依題意得：1+x+x2＝43，整理得：x2+x﹣42＝0，解得：x1＝﹣7（不合題意，舍去），x2＝6．故答案為：6．14．（3分）點(diǎn)A（2，m），B（﹣1，n）是拋物線y＝x2﹣1上的兩點(diǎn)，直線y＝kx+b經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，不等式x2﹣1＞kx+b的解集為 　x＜﹣1或x＞2　．【解答】解：∵點(diǎn)A（2，m），B（﹣1，n）是拋物線y＝x2﹣1上的兩點(diǎn)，∴當(dāng)x＜﹣1或x＞2時(shí)，拋物線圖象在直線圖象上方，故不等式x2﹣1＞kx+b的解集為x＜﹣1或x＞2．故答案為：x＜﹣1或x＞2．15．（3分）在直徑為10m的的圓柱型油槽內(nèi)注入一些油后，截面如圖所示，液面寬AB＝6m，如果繼續(xù)向油槽內(nèi)注油，使液面寬為8m，那么液面上升了 　1或7　m．【解答】解：連接OA，作OG⊥AB于G，∵AB＝6m，∴AGAB＝3m，∵油槽直徑為10m．∴OA＝5m，∴OG＝4m，即弦AB的弦心距是4m，同理當(dāng)油面寬AB為8m時(shí)，弦心距是3m，∴當(dāng)油面沒超過圓心O時(shí)，油上升了1m；當(dāng)油面超過圓心O時(shí)，油上升了7m．故答案為1或7．16．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），且對(duì)稱軸為直線x＝1，其部分圖象如圖所示．對(duì)于此拋物線有如下四個(gè)結(jié)論：①b＝﹣2a；②4a+2b+c＞0；③若n＞m＞0，則x＝1+m時(shí)的函數(shù)值小于x＝1﹣n時(shí)的函數(shù)值；④點(diǎn)（，0）一定在此拋物線上．其中正確的結(jié)論是 　①②④　．【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴1，∴b＝﹣2a，故①正確；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，而點(diǎn)（﹣2，0）關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），∵拋物線開口向下，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故②正確；∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴橫坐標(biāo)是1﹣n的點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+n，∵若n＞m＞0，∴1+n＞1+m，∴x＝1+m時(shí)的函數(shù)值大于x＝1﹣n時(shí)的函數(shù)值，故③錯(cuò)誤；∵b＝﹣2a，∴拋物線為y＝ax2﹣2ax+c，∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，∴c＝﹣8a，∴4，∵點(diǎn)（﹣2，0）的對(duì)稱點(diǎn)是（4，0），∴點(diǎn)（，0）一定在此拋物線上，故④正確，故答案為：①②④．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．（2）解不等式：2x﹣1＜3（1+x）．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，∴x﹣2，∴x1＝2，x2＝2． （2）去括號(hào)得：2x﹣1＜3+3x，移項(xiàng)得：2x﹣3x＜3+1，合并得：﹣x＜4，解得：x＞﹣4．18．（8分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)E落在BC的延長(zhǎng)線上．求證：∠3＝∠1+∠2．【解答】證明：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠ABE＝∠2，∵∠3＝∠1+∠ABE，∴∠3＝∠1+∠2．19．（8分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），且函數(shù)有最小值﹣4．（1）求拋物線的解析式；（2）若0＜x＜4，求函數(shù)值y的取值范圍．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∵函數(shù)有最小值﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，把（﹣1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）2﹣4．（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線開口向上，函數(shù)有最小值為﹣4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝（4﹣1）2﹣4＝5，∴當(dāng)0＜x＜4時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是﹣4≤y＜5．20．（8分）在8×5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題：（1）將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對(duì)應(yīng)線段CD；（2）在線段AB上畫點(diǎn)E，使∠BCE＝45°（保留畫圖過程的痕跡）；（3）連接AC，畫點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F，并簡(jiǎn)要說明畫法．【解答】解：（1）如圖所示：線段CD即為所求；（2）如圖所示：∠BCE即為所求；（3）連接（5，0），（0，5），可得與OA的交點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求，如圖所示：21．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB上一點(diǎn)，弦CD與弦EF交于點(diǎn)P，PB平分∠DPF，連DF交AB于點(diǎn)G．（1）求證：CD＝EF；（2）若∠DPF＝60°，PE：PF＝1：3，AB＝2，求OG的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)O作OM⊥EF于點(diǎn)M，ON⊥CD于點(diǎn)N，連接OF、OD，則∠OMF＝∠OND＝90°，∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，∴OM＝ON，在Rt△OFM和Rt△ODN中，，∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），∴FM＝DN，∵OM⊥EF，ON⊥CD，∴EF＝2FM，CD＝2DN，∴CD＝EF；（2）∵PE：PF＝1：3，∴設(shè)PE＝x，PF＝3x，則EF＝PE+PF＝4x，∵OM⊥EF，∴EM＝FMEF＝2x，∴PM＝EM﹣PE＝2x﹣x＝x，∵PB平分∠DPF，∠DPF＝60°，∴∠FPB＝DPBDPF＝30°，∴OMx，OPx，在Rt△OPM和Rt△OPN中，，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴PM＝PN，由（1）知：FM＝DN，∴PM+FM＝PN+DN，∴PF＝PD，∵∠DPF＝60°，∴△PDF是等邊三角形，∵PB平分∠DPF，∴PB⊥DF，垂足為G，∴DF＝PF＝3x，FGDF，∴PG，∴OG＝PG﹣OPx，∵AB＝2，∴OFAB，在Rt△OFG中，根據(jù)勾股定理，得OG2+FG2＝OF2，∴（）2+（）2＝（）2，整理，得x2＝3，解得x＝±（負(fù)值舍去），∴x，∴OG．22．（10分）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價(jià)格收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間的關(guān)系，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：銷售價(jià)格x元（元/千克）3035404550日銷售量p（千克）6004503001500（1）請(qǐng)直接寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格，才能使日銷售利潤(rùn)最大？（3）若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元（a＞0）的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)40≤x≤45時(shí)，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為2430元，求a的值．【解答】解：（1）假設(shè)p與x成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為p＝kx+b，則，解得：k＝﹣30，b＝1500，∴p＝﹣30x+1500，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝35，p＝450；當(dāng)x＝45，p＝150；當(dāng)x＝50，p＝0，符合一次函數(shù)解析式，∴所求的函數(shù)關(guān)系為p＝﹣30x+1500；（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30），即w＝﹣30x2+2400x﹣45000，∴當(dāng)x40時(shí)，w有最大值3000元，故這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為40元，才能使日銷售利潤(rùn)最大；（3）日獲利w＝p（x﹣30﹣a）＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），即w＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），對(duì)稱軸為x40a，①若a＞10，則當(dāng)x＝45時(shí)，w有最大值，即w＝2250﹣150a＜2430（不合題意）；②若a＜10，則當(dāng)x＝40a時(shí)，w有最大值，將x＝40a代入，可得w＝30（a2﹣10a+100），當(dāng)w＝2430時(shí)，2430＝30（a2﹣10a+100），解得a1＝2，a2＝38（舍去），綜上所述，a的值為2．23．（10分）[問題背景]如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AD上的一點(diǎn)，且DE＝DC，連接BE．求證：BE⊥AC；[遷移運(yùn)用]如圖2，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是△ABC外的一點(diǎn)，且ADAC，把點(diǎn)D繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E，連接BE，求證：BECE；[拓展創(chuàng)新]如圖3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是△ABC外的一點(diǎn)，且∠ADC＝30°，E是AB的中點(diǎn)，連接DE，若AD＝4，DE，則△ACD的面積為 　2　．（直接寫出結(jié)果） 【解答】（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)BE交AC于F，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠DAB，∴AD＝BD，∵DE＝DC，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠DBE＝∠DAC，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠BDE+∠C＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BE⊥AC；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)BC至F，使CF＝BC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACF＝∠ACB＝90°，∴AC＝CF，∠ACD+∠DCF＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠ECF+∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF，∵CE＝CD，∴△ECF≌△DCA（SAS），∴CF＝AD，∴，∵，∴，∵∠F＝∠F，∴△ECF∽△BEF，∴，∴BEEC；（3）解：如圖3，連接CE，將△CED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△AEF，并延長(zhǎng)FA交CD于G，∴∠DEF＝90°，DE＝EF，CD＝AF，∴DF，由（1）知，FG⊥CD，∴AG＝AD?sin∠ADC＝42，DG＝AD?cos∠ADC＝42，在Rt△DGF中，FG，∴AF＝FG﹣AG2，∴CD＝AF2，∴S△ACD 2，故答案是：2．24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+3ax+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且S△ABC＝10，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接BP．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，若∠BPD＝2∠BCO，求的值；（3）如圖2，設(shè)BP與AC的交點(diǎn)為Q，連接PC，是否存在點(diǎn)P，使S△PCQ＝S△BCQ？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝ax2+3ax+4得y＝4，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4），OC＝4，∵S△ABCAB?OC＝2AB＝10，∴AB＝5，∵拋物線對(duì)稱軸為直線x，∴點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為1，即點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），把（1，0）代入y＝ax2+3ax+4得0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣3x+4．（2）設(shè)BP交y軸于點(diǎn)E，∵PD⊥x軸，∴PD∥OC，∴∠BPD＝∠BEO，∴∠BEO＝2∠BCO，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，設(shè)OE＝m，則CE＝BE＝4﹣m，在Rt△BOE中，由勾股定理得BE2＝OB2+OE2，∴1+m2＝（4﹣m）2，解得m，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，）設(shè)直線BE解析式為y＝kx+b，將（0，），（1，0）代入y＝kx+b得，解得，∴yx．令﹣x2﹣3x+4x，解得x或x＝1，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，∴AD（﹣4），BD＝1﹣（），∴．（3）不存在，理由如下：作PM∥x軸交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵S△PCQ＝S△BCQ，∴Q為BP中點(diǎn)，∴△PMQ≌△BAQ，∴PM＝BA＝5，設(shè)P（t，﹣t2﹣3t+4），則M（t+5，﹣t2﹣3t+4），設(shè)直線AC解析式為y＝ax+b，把（﹣4，0），（0，4）代入解析式得，解得，∴y＝x+4，∵點(diǎn)M在直線AC上，∴﹣t2﹣3t+4＝t+5+4，該方程無(wú)解，∴符合題意的點(diǎn)P不存在．

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