2023屆廣東省揭陽市揭東區(qū)第二中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含解析

這是一份2023屆廣東省揭陽市揭東區(qū)第二中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含解析，共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023屆廣東省揭陽市揭東區(qū)第二中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知全集為，集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意解出集合B，再求其補(bǔ)集，求出即可得解.【詳解】由題：，，，所以，元素個(gè)數(shù)為2.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查集合的運(yùn)算，根據(jù)不等式的解集，求補(bǔ)集和交集，并確定集合中元素的個(gè)數(shù).2．已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)命題為真時(shí)，由且可得，故命題為假時(shí)，，故選C．3．已知，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)命題的充分必要性直接判斷.【詳解】對(duì)于不等式，可解得或，所以可以推出，而不可以推出，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4．長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭創(chuàng)下了我國運(yùn)載火箭的最快速度，年月日，它成功將嫦娥五號(hào)探測(cè)器送入預(yù)定軌道在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，進(jìn)而可解得的值.【詳解】由，可得，.故選：C.5．若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，計(jì)算函數(shù)的最大值得到答案.【詳解】不等式在區(qū)間內(nèi)有解，即，設(shè)，，故.故選：A6．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意，，①當(dāng)，得，所以時(shí)，，在單調(diào)遞減，時(shí)，，在單調(diào)遞增，排除A和D②當(dāng)，得，所以在單調(diào)遞減，排除B選項(xiàng)C滿足上述單調(diào)性故選：C7．奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若為偶函數(shù)，且，則A． B． C． D．【答案】D【分析】試題分析：是偶函數(shù)，則 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又 是奇函數(shù)，則，且 是周期函數(shù)，且周期為8，所以．故選D． 【解析】函數(shù)的奇偶性，周期性．【名師點(diǎn)睛】解函數(shù)問題時(shí)，有些隱含性質(zhì)需我們已知條件找出，特別是周期性．當(dāng)函數(shù)具有兩個(gè)對(duì)稱時(shí)函數(shù)一般也是周期函數(shù)．當(dāng)函數(shù)是奇函數(shù)，又有對(duì)稱軸時(shí)，則函數(shù)一定是周期函數(shù)，且周期為；若有兩條對(duì)稱軸和，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期；同樣若有兩個(gè)對(duì)稱中心 和，則函數(shù)是周期函數(shù)， 是函數(shù)的一個(gè)周期； 8．若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一根為，由在上有不為1的另一根，采取分離參數(shù)法可得參數(shù)范圍．【詳解】由題意可知有兩個(gè)不等根．方程，，有一根．中，另一根滿足方程（）， 令，，，所以在上單調(diào)遞增．所以，即．所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，問題首先轉(zhuǎn)化為方程在有兩個(gè)不等式實(shí)根，再轉(zhuǎn)化為方程（）有一個(gè)實(shí)根，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想． 二、多選題9．已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．的解集為或【答案】ABC【分析】根據(jù)題意可得且的根為，利用韋達(dá)定理可得，分別代入計(jì)算判斷正誤．【詳解】根據(jù)二次函數(shù)開口與二次不等式之間的關(guān)系可知，A正確；的根為，則，即∴，B正確；，C正確；，即，則，解得∴的解集為，D錯(cuò)誤；故選：ABC．10．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（    ）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【分析】利用基本不等式結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】選項(xiàng)A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；選項(xiàng)B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以有最大值，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；選項(xiàng)D：由，化簡(jiǎn)得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ACD.11．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>I，若存在，使得，則稱是函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)，也叫穩(wěn)定點(diǎn).下列函數(shù)中存在唯一穩(wěn)定點(diǎn)的函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)定義依次計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)得到A選項(xiàng)有一個(gè)解，B選項(xiàng)有無數(shù)個(gè)解，根據(jù)函數(shù)和函數(shù)圖像無交點(diǎn)得到C不滿足，再判斷D選項(xiàng)有唯一解得到答案.【詳解】，定義域?yàn)?/span>，，解得，A滿足；，定義域?yàn)?/span>，，恒成立，B不滿足；，定義域?yàn)?/span>，，即，根據(jù)函數(shù)和函數(shù)圖像無交點(diǎn)，知方程無解，C不滿足；，定義域?yàn)?/span>，，易知，且是方程的解，當(dāng)時(shí)，，方程無解；當(dāng)時(shí)，，方程無解，D滿足.故選：AD12．已知定義在上的偶函數(shù)對(duì)任意的滿足，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)且，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．是周期為的周期函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，C．若在上單調(diào)遞減，則D．若方程在上有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【分析】根據(jù)周期性定義可知A正確；由，可知B錯(cuò)誤；由分段函數(shù)單調(diào)性可確定兩段函數(shù)單調(diào)性及分段處大小關(guān)系，由此得到不等式組知C正確；分別在和兩種情況下，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定不等關(guān)系，解得的范圍，知D正確.【詳解】對(duì)于A，，是周期為的周期函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，又是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若在上單調(diào)遞減，則，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，若在上有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則大致圖象如下圖所示，，解得：；當(dāng)時(shí)，若在上有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則大致圖象如下圖所示，，解得：；綜上所述：的取值范圍為，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 三、填空題13．已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 ________.【答案】-3【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得的值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，再由得到答案．【詳解】因?yàn)?/span>f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，則f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.答故案為－3.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個(gè)，一是利用：（1）奇函數(shù)由恒成立求解，（2）偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊方法求解參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證奇偶性.14．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為___________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.【詳解】，，又，在處的切線方程為，即.故答案為：.15．設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是___________．【答案】【分析】不等式等價(jià)于，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以等價(jià)于，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．由得，或，又，所以，由得，由得，故解集為.故答案為：.16．若不等式有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】→→，，研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖像并得到點(diǎn)，→數(shù)形結(jié)合→【詳解】依題意不等式可化為．令，，．函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)．函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝1時(shí)，．又，記點(diǎn)，，且，當(dāng)時(shí)，．作出函數(shù)大致圖像，如圖．若滿足不等式有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，則結(jié)合函數(shù)圖像必有．又因?yàn)?/span>，，所以．【點(diǎn)睛】根據(jù)不等式的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍問題，通常會(huì)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題，要畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解. 四、解答題17．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，，成等差數(shù)列，可得，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，求解可得，結(jié)合，即得解（2）代入可得，分組求和即得解【詳解】（1）由，，成等差數(shù)列，且公比，所以，即，整理得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）.所以為等比數(shù)列，令，故為等差數(shù)列因此分組求和可得：18．已知中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若.(1)求角B的大?。?/span>(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)4 【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊角互化，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求值即可.（2）利用余弦定理得出，配方得，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，是三角形內(nèi)角，根據(jù)正弦定理，，又因?yàn)?/span>，所以，所以，.（2）因?yàn)?/span>，所以，配方可得又因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，解得.故的最大值為4.19．如圖所示的多面體是由一個(gè)直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）在中，由余弦定理可得，由勾股定理，可證明，再由平面，可得，由線線垂直證明線面垂直，即得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量，利用線面角的向量公式，即得解【詳解】（1）證明：在中，因?yàn)?/span>，，所以由余弦定理得，，所以，所以，即，在直四棱柱中，平面，平面，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，，所以平面.（2）因?yàn)?/span>，，兩兩相互垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，得，，所以有，，，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，解得，因?yàn)?/span>，，設(shè)直線與平面所成角為，且，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（1）若甲?乙兩種雞的日產(chǎn)蛋量相互獨(dú)立，記“甲?乙兩種雞的日產(chǎn)蛋量都不低于850個(gè)”為事件，試估計(jì)事件發(fā)生的概率；（2）由于甲?乙兩種雞的食量和產(chǎn)蛋的大小不同，甲品種1000只雞的日產(chǎn)蛋量小于850個(gè)的利潤(rùn)率為，日產(chǎn)蛋量不小于850個(gè)而小于900個(gè)的利潤(rùn)為，日產(chǎn)蛋量不小于900個(gè)的利潤(rùn)率為；乙品種1000只雞的日產(chǎn)蛋量小于850個(gè)的利潤(rùn)率為，日產(chǎn)蛋量不小于850個(gè)而小于900個(gè)的利潤(rùn)為，日產(chǎn)蛋量不小于900個(gè)的利潤(rùn)率為.若在甲?乙兩個(gè)品種上各投資10萬元，（單位：萬元）和（單位：萬元）分別表示投資甲?乙兩個(gè)品種所獲得的利潤(rùn)，求和的數(shù)學(xué)期望，并對(duì)甲?乙兩個(gè)品種的投資進(jìn)行分析比較.【答案】（1）；（2）萬元，萬，分析答案見解析.【分析】（1）由頻率分布直方圖分別計(jì)算出甲?乙兩種雞的日產(chǎn)蛋量不低于850個(gè)的概率，然后相乘可得；（2）求出的可能值，再計(jì)算出概率，得概率分布列，由分布列計(jì)算出期望，同時(shí)計(jì)算出方差，通過比較期望，方差，投資獲得收益最大和最小概率，以及為了獲得更大利潤(rùn)需要控制的產(chǎn)量等比較．【詳解】（1）甲種雞的日產(chǎn)蛋量不低于850個(gè)的頻率為：，乙種雞的日產(chǎn)蛋量不低于850個(gè)的頻率為：，因?yàn)榧?乙兩種雞的日產(chǎn)蛋量相互獨(dú)立，所以事件發(fā)生概率的估計(jì)值.（2）根據(jù)題意，可知隨機(jī)變量的可能取值為1，1.5，2.則有，，，所以隨機(jī)變量的分布列為11.520.40.40.2 所以萬元.隨機(jī)變量的可能取值為1.5，2，1，則有，，，所以隨機(jī)變量的分布列為1.5210.10.50.4 所以萬.可從如下四方面分析比較：①，②，，，③11.520.40.40.20.40.10.5 ，，說明兩種投資獲最低收益的概率相同，養(yǎng)殖乙品種獲得最大收益的概率遠(yuǎn)大于養(yǎng)殖甲品種.④從頻率分布直方圖中可知，甲品種需要多產(chǎn)才能獲得更大利潤(rùn)，乙品種只需控制產(chǎn)量在之間，即可獲得更大利潤(rùn).21．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直軸時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求內(nèi)切圓半徑的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為1.【分析】（1）由題意，將，代入橢圓方程與聯(lián)立，即得解；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由，利用韋達(dá)定理可得，結(jié)合均值不等式可求得，利用即得解【詳解】（1）由已知條件可設(shè)，，由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理得，，那么，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)?/span>，所以內(nèi)切圓半徑的最大值為1.22．已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）代入計(jì)算得到切點(diǎn)，求導(dǎo)得到，計(jì)算切線斜率，得到切線方程，再計(jì)算與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到答案.（2）題目轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，根據(jù)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)隱零點(diǎn)的方法計(jì)算最值得到證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得切點(diǎn)，由，得切線的斜率，所以切線的方程為，即，令，得；令，得.所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以在有兩個(gè)零點(diǎn).即一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，所以有，解得，因?yàn)?/span>，要證，即證，即證對(duì)恒成立，令，，，則，即在單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，因?yàn)?/span>，即，所以，由，得，所以，所以，即對(duì)恒成立，所以得證.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線問題和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，其中利用二次方程韋達(dá)定理將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可以簡(jiǎn)化題目，在求函數(shù)最值過程中利用隱零點(diǎn)代換是解題的關(guān)鍵.