2023屆北京市朝陽(yáng)區(qū)六校高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知全集，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式和絕對(duì)值不等式，再求補(bǔ)集即可.【詳解】，，.故選：D.2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A．10 B． C．20 D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求得，再求其共軛復(fù)數(shù)的模．【詳解】由已知，所以．故選：B．3．下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)結(jié)論不成立，所以錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，所以錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)?/span>，所以,所以,所以即,所以正確.故選:D.4．下列函數(shù)中，對(duì)，同時(shí)滿足和的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由和確定周期對(duì)稱軸即可.【詳解】由得，所以以為周期，又由得關(guān)于對(duì)稱.對(duì)于選項(xiàng)A，不關(guān)于對(duì)稱，所以錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，的最小正周期為且當(dāng)時(shí)取得最大值2，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)C，是二次函數(shù)，不屬于周期函數(shù)，所以錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，不是周期函數(shù)，所以錯(cuò)誤.故選:B.5．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、同角公式計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，而，于是得，所以.故選：A6．若，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)得：，，，綜上，．故選：C．7．已知非零向量夾角為，則“”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由相反向量的定義即可作出判斷.【詳解】由可得，所以與是相反向量，夾角，，若，則夾角，則與方向相反，但與不一定是互為相反向量.則“”是“”的充分而不必要條件.故選：A8．已知函數(shù)關(guān)于x的方程，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意實(shí)數(shù)t和a，此方程均有實(shí)數(shù)根；②存在實(shí)數(shù)t，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)a，此方程均有實(shí)數(shù)根；③存在實(shí)數(shù)t和a，使得此方程有多于2個(gè)的不同實(shí)數(shù)根；④存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)t，此方程均恰有1個(gè)實(shí)數(shù)根．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】令，，作出與圖像，由各命題上下移動(dòng)，左右移動(dòng)，看圖像上與的交點(diǎn)即可得出各命題的正確與錯(cuò)誤，即可得出答案.【詳解】令，，作出與圖像如下：其中可左右移動(dòng)，可上下移動(dòng)，則的圖像即取的圖像在的右邊部分（包括上的部分），與的圖像在的左邊部分（不包括上的部分）組合而成，對(duì)于①：當(dāng)不論如何左右移動(dòng)，如何上下移動(dòng)都使與的圖像一直有交點(diǎn)，即的值域是R時(shí)才正確，由圖像可知當(dāng)a的值小于兩圖像左邊的交點(diǎn)的x值或大于1時(shí)，與的圖像可以沒有交點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：當(dāng)上下移動(dòng)到一個(gè)位置，不論如何左右移動(dòng)，與的圖像都有交點(diǎn)時(shí)才正確，由圖像可知當(dāng)t的值大于兩圖像左邊的交點(diǎn)的y值且小于2時(shí)，不論如何左右移動(dòng)，與的圖像一直有交點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③：當(dāng)左右移動(dòng)到一個(gè)位置，上下移動(dòng)到一個(gè)位置時(shí)，與的圖像有多于2個(gè)的交點(diǎn)時(shí)才正確，由圖像可知當(dāng)a的值大于-1且小于1時(shí)，與的圖像可以有多于2個(gè)的交點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④：當(dāng)左右移動(dòng)到一個(gè)位置，不論如何上下移動(dòng)，與的圖像都只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)才正確，由圖像可知當(dāng)a的值等于兩圖像左邊的交點(diǎn)的x值時(shí)，不論如何上下移動(dòng)，與的圖像都只有一個(gè)交點(diǎn)，故④正確；綜上所述，正確的命題有三個(gè)，故選：C.9．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖像如下圖，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖像最高的與最低點(diǎn)x的距離得出的周期，通過(guò)周期得到；再由函數(shù)最小值點(diǎn)的x值與三角函數(shù)性質(zhì)得出；再由圖像上兩點(diǎn)代入得出，；通過(guò)周期得到即可代入得出答案.【詳解】設(shè)圖中最高點(diǎn)的， 由正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得是的一條對(duì)稱軸，則，則由圖可得，則，，，，且為最小值點(diǎn)的x值，，即，，，，由圖知上的點(diǎn)與，代入得：，化簡(jiǎn)為，解得，則，的周期為，.故選：B.10．對(duì)于二元函數(shù)，若存在，則稱為在點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記為；若存在，則稱為在點(diǎn)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記為．已知二元函數(shù)，則下列命題為假命題的是（    ）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】D【分析】根據(jù)新定義求得偏導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得最小值判斷各選項(xiàng)．【詳解】根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，在求對(duì)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，中可作為常數(shù)，即函數(shù)可看作是的一元函數(shù)求導(dǎo)，同理在求對(duì)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，中可作為常數(shù)，即函數(shù)可看作是的一元函數(shù)求導(dǎo)，所以，，A正確；，，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)，則，或時(shí)，，時(shí)，，又，所以時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，，所以(時(shí)取得)，C正確．，最小值是，D錯(cuò)；故選：D． 二、填空題11．“”的否定是_________．【答案】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即得.【詳解】“”的否定是“”.故答案為：.12．己知函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖象存在對(duì)稱軸；②函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心；③④函數(shù)沒有零點(diǎn)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為___________．【答案】①③【分析】根據(jù)二次函數(shù)，余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件分析即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即是函數(shù)的對(duì)稱軸，故①正確；對(duì)于②，假設(shè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，又，，所以，即，所以，即函數(shù)為周期函數(shù)，而函數(shù)不是周期函數(shù)，故假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，又，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故③正確；因?yàn)?/span>，故，即是函數(shù)的零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③. 三、雙空題13．函數(shù)的定義域是_______，值域是___________．【答案】          【分析】（1）由真數(shù)大于0解不等式即可求得定義域；（2）利用換元法即可求得值域.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，解得：，所以的定義域是.（2）設(shè)，則，所以，由圖像可知：，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>.故答案為：；.14．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足．若，則________；若，則的取值范圍是________．【答案】          【分析】建立平面直角坐標(biāo)系將各點(diǎn)標(biāo)出：當(dāng)，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，得出的坐標(biāo)，即可得出第一空的答案；當(dāng)，由向量的線性運(yùn)算得出與帶參數(shù)的坐標(biāo)，再求出的式子，利用二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合給定范圍即可得出第二空的答案.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，當(dāng)時(shí)，，則，則.故第一空的答案為：；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動(dòng)，則，，，，，，，開口向上，對(duì)稱軸為 則當(dāng)時(shí)，，，即當(dāng)時(shí)，的取值范圍是.故第二空的答案為：.15．2022年6月5日神舟十四號(hào)載人飛船在長(zhǎng)征二號(hào)F遙十四運(yùn)載火箭的托舉下點(diǎn)火升空，成功進(jìn)入預(yù)定軌道．我國(guó)在航天領(lǐng)域取得的巨大成就，得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)．根據(jù)火箭理想速度公式，可以計(jì)算理想狀態(tài)下火箭的最大速度v（單位：），其中（單位：）是噴流相對(duì)速度，m（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，應(yīng)稱為總質(zhì)比．己知A型火箭噴流相對(duì)速度為，根據(jù)以上信息：（1）當(dāng)總質(zhì)比為50時(shí)，A型火箭的最大速度為___________；（2）若經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到原來(lái)的2倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?lái)的，若要使火箭的最大速度至少增加，則在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值為___________．（所有結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】     3129     68【分析】（1）根據(jù)總質(zhì)比為50，代入求解； （2）易知經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度為，總質(zhì)比為，然后由求解.【詳解】（1）當(dāng)總質(zhì)比為50時(shí)，A型火箭的最大速度為：；（2）經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度為，總質(zhì)比為，要使火箭的最大速度至少增加，則，即 ，即 ，即 ，所以，所以在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值為68.故答案為:3129；68. 四、解答題16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)最小正周期為，；(2)， 【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】(1)因?yàn)?/span>，∴最小正周期為，由，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)因?yàn)?/span>，，，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．17．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．(1)求角A的大??；(2)請(qǐng)從條件①、條件②，這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使銳角存在，求面積．條件①：；條件②：．【答案】(1)(2)選②， 【分析】（1）利用正弦定理求解即可；（2）若選①，此時(shí)為直角三角形，不符合題意，若選②，根據(jù)余弦定理得到為等邊三角形，再求其面積即可.【詳解】(1)根據(jù)正弦定理，得．因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以．(2)若選①，因?yàn)?/span>，，，所以，所以，解得，.此時(shí)：，為直角三角形，不符合題意，舍去.選條件②，根據(jù)余弦定理，得．又因?yàn)?/span>，所以，由，解得．所以為正三角形，是銳角三角形．此時(shí)的面積為．18．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求a，b的值；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(3)求函數(shù)在上的最值．【答案】(1)(2)(3)最小值為-14，最大值為18 【分析】(1)由求解，再檢驗(yàn)即可；（2）利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率即可求解；（3）比較極值和區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小可得結(jié)果.【詳解】(1)因，故，由于在處取得極值，故有 即,化簡(jiǎn)得解得,經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，,令解得或，令解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以在處取得極值，符合題意，所以．(2)由（1）得，故．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．(3)由（1）知．令，得．在時(shí)，隨x的變化．，的變化情況如下表所示：x23 正0負(fù)0正 11單調(diào)遞增18單調(diào)遞減單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值．因?yàn)?/span>．因此在的最小值為．最大值為19．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：存在，使得．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論，按分類，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得單調(diào)性；（2）由（1）可得的最小值，設(shè)其為，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值即可證．【詳解】(1)函數(shù)定義域?yàn)?/span>，．①若．令．解得．當(dāng)時(shí)．．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)．．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為②若．令．解得．當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)．．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)當(dāng)時(shí)．由（1）中的單調(diào)性可知，的最大值為令，則有；令，解得，即．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)甲方，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以的最小值為．又因?yàn)?/span>，所以，即．綜上所述，存在，使得.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式．證明不等式可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題在確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)，難點(diǎn)在于分類討論時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的確定．主要是按照是否有根，根的大小進(jìn)行分類求解的．20．己知函數(shù)．(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【答案】(1)；(2)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)． 【分析】（1）由題可得，然后分，討論求函數(shù)的最值即得；（2）由題可得時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)存在定理即得.【詳解】(1)因?yàn)?/span>，∴，①若，因?yàn)?/span>，所有，所以，不符合題意；②若，由，令，因?yàn)?/span>，設(shè)方程兩根為，則，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞增，，不合題意；所以，故，即，這時(shí)，在上，，單調(diào)遞減，所以恒成立；綜上，a的取值范圍是；(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所有，所以，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，（i）若，則，即，由（1）知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，由，可知,又，所以存在使，所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）若，即時(shí)，則在上單調(diào)遞減，，無(wú)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.21．設(shè)集合，集合，S，T中至少有兩個(gè)元素，且S，T滿足：①對(duì)于任意，若，則；②對(duì)于任意，若，則．(1)若，則___________；若，則S的元素個(gè)數(shù)最多為___________．(2)若，T中含有4個(gè)元素，求證：；(3)若，且，求n的最大值．【答案】(1)；3(2)證明見解析(3)4 【分析】(1)根據(jù)題目要求一一列舉即可；（2）采用反證法假設(shè)，通過(guò)推理得到矛盾即可證明；（3）由，從而，所以對(duì)任意，有，必有，所以，即即可求解.【詳解】(1)若,由題意可得，，即,此時(shí)，滿足題意, 假設(shè)集合T中還有第四個(gè)元素為 ,則由題意可知,則或或，所以或或不是第四個(gè)元素，矛盾！所以集合有且僅有3個(gè)元素，即.若，所以，即，假設(shè)中還有元素，依題意得且，解得滿足題意，因此集合S中一定有元素2,4，可能有8，若，假設(shè)S中還有元素，則依題意且，且，無(wú)解，所以假設(shè)矛盾！所以S的元素個(gè)數(shù)最多為3個(gè).(2)假設(shè)，則．不妨設(shè)，則，故有，即．于是，，因?yàn)?/span>T中含有4個(gè)元素，故設(shè)若，則，且，所以，從而，矛盾！若，則，且，矛盾！若，則，且，矛盾！綜上可知，．(3)因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，且，則，同理若，則與（2）類似可得，從而．對(duì)，必有，所以，即．若，即，則，故．所以．故，從而．對(duì)任意，有，必有，所以，即．綜上，得，又時(shí)，有符合題意，所以n的最大值為4． 

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