專題1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 -(人教A版2019選擇性必修第二、三冊(cè))(學(xué)生版+教師版)

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求數(shù)列的通項(xiàng)公式 求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考常考的一專題，形式多樣，解題方法很多，常見的有累加法、累乘法、待定系數(shù)法、迭代法、取倒數(shù)法等，課外延申的還有不動(dòng)點(diǎn)法等，不管什么方法，一定要理解解題方法的本質(zhì)，清楚每種方法的適用范圍，避免出現(xiàn)“看得懂，模仿做還行，獨(dú)立思考就含糊”的情況.  【方法一】觀察法 適用范圍：給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜測(cè)通項(xiàng)公式；方法：通過觀察，得知數(shù)列各項(xiàng)之間數(shù)值的關(guān)系(比如數(shù)值之間的差或商成一定規(guī)律)或數(shù)值結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(比如數(shù)值的正負(fù)，分式，平方)從而求得通項(xiàng)公式. 【典題1】寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，，，；          ，，，；      ；           ；．             鞏固練習(xí) 1 (★) 數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(　　)A．   B．     C．    D． 2 (★)下列可作為數(shù)列的通項(xiàng)公式的是(　　)A． B． C． D． 3(★★) 寫出以下各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)；     (2)；      (3)；(4，…；  (5)．  【方法二】與的關(guān)系公式法適用范圍：若得知或與的關(guān)系式，求數(shù)列通項(xiàng)公式.方法：利用與的關(guān)系，注意分類討論，最后確定是否滿足. 【典題1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系.求的通項(xiàng)公式.      【典題2】 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，滿足下列條件①；②點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；求數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和.       【典題3】已知中，，求.       鞏固練習(xí)1 (★) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2 (★★) 已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和，并且，求的通項(xiàng)公式. 3 (★★) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，．求和數(shù)列的通項(xiàng)公式； 4(★★★) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 【方法三】累加法適用范圍：遞推式為 .方法：得到，利用累加的形式求出. 【典題1】已知數(shù)列滿足，求.      【典題2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.       鞏固練習(xí)1 (★) 數(shù)列滿足，則　 　．2(★★) 將正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)陣．根據(jù)這個(gè)排列規(guī)則，數(shù)陣中第行從左至右的第個(gè)數(shù)是　   　．3 (★★) 已知數(shù)列滿足，求. 4 (★★★) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．證明：數(shù)列為等比數(shù)列；若數(shù)列滿足：，，證明：． 【方法四】累乘法適用范圍：遞推式為 .方法：得到，利用累乘的形式求出.【典題1】 已知中，滿足，求.      【典題2】設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列，且求通項(xiàng)公式    鞏固練習(xí)1 (★★) 已知數(shù)列，是首項(xiàng)為8，公比為的等比數(shù)列，則等于　　. 2 (★★) 在數(shù)列中，，，且數(shù)列{}為等比數(shù)列，則　　． 3 (★★) 已知，求. 4 (★★) 已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.  【方法五】構(gòu)造法對(duì)于一些不是等差等比數(shù)列的數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，通過構(gòu)造等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式是一種很好的思路，其中的情況多樣，方法有待定系數(shù)法、階差法、取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法等.我們要理解其中構(gòu)造的技巧，做到舉一反三.情況1 遞推公式為 (為常數(shù)，，)待定系數(shù)法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解；逐項(xiàng)相減法(階差法)：由得，兩式相減得，即是等比數(shù)列，再用累加法求解. 【典題1】已知數(shù)列中，， 求.       情況2 遞推公式為 (為常數(shù)，，)待定系數(shù)法：可化為的形式，得到等比數(shù)列求出.逐項(xiàng)相減法(階差法)：由得，兩式相減得，即令得，再用遞推公式形如的方法求解. 【典題1】 設(shè)數(shù)列：，求.         情況3 遞推公式為為常數(shù)) 取倒數(shù)法：遞推公式兩邊取倒數(shù)，，令，若，則問題是等差數(shù)列；若，問題轉(zhuǎn)化為遞推公式為：的方法處理. 【典題1】已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式.       【典題2】已知中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求.        情況4 遞推公式為其中均為常數(shù)，.  (或,其中均為常數(shù)) .方法一 在原遞推公式兩邊同除以，得，令，得再待定系數(shù)法解決；方法二 在原遞推公式兩邊同除以，得：, 令，得再用累加法求解；方法三 待定系數(shù)法 設(shè)，通過比較系數(shù)，求出，構(gòu)造出等比數(shù)列再求解，此時(shí)要求，否則該法失效.【典題1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.          情況5 遞推公式為型方法一 對(duì)數(shù)變換法：該類型是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng).兩邊取對(duì)數(shù)得設(shè)原等式變?yōu)?/span>即變?yōu)榛拘?/span>.方法二 迭代法，反復(fù)迭代使用，一直推到， . 【典題1】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，, 求通項(xiàng)公式．        鞏固練習(xí)1 (★★) 數(shù)列中，，，則是這個(gè)數(shù)列的第     項(xiàng)．2(★★)  若數(shù)列中，且是正整數(shù))，則它的通項(xiàng)公式是    .3 (★★) 已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 4 (★★) 已知數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，求通項(xiàng)公式. 5 (★★) 已知數(shù)列滿足，．求通項(xiàng)公式.6(★★) 已知數(shù)列中，，，求. 7 (★★) 數(shù)列前項(xiàng)和.求通項(xiàng)公式. 8 (★★★★) 已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足，.證明    求數(shù)列的通項(xiàng)公式.  【方法六】分奇偶討論法在有些數(shù)列問題中，有時(shí)要對(duì)的奇偶性進(jìn)行分類討論以方便問題的處理.形如型(1)若(是常數(shù))，則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.(2)若為的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，方法一是構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，再通過累加法來求出通項(xiàng)；方法二是用逐差法得，分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論. 【典題1】數(shù)列中，且，求通項(xiàng)公式．             形如型(1) 若(是常數(shù))，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.(2)若為的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，可用逐商法得，分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.【典題1】已知數(shù)列中，且，求通項(xiàng)公式．        鞏固練習(xí)1 (★★★) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，，求數(shù)列通項(xiàng)公式． 【方法七】數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：數(shù)列前幾項(xiàng)的數(shù)值出現(xiàn)一定規(guī)律或數(shù)值結(jié)構(gòu)具有特點(diǎn).方法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.【典題1】已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.       【典題2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且, 求數(shù)列通項(xiàng)公式.         鞏固練習(xí)1 (★★) 設(shè)，已知，，猜想(　　)A．     B．    C．     D．2 (★★) 若數(shù)列滿足計(jì)算，，的值，由此歸納出的公式，并證明你的結(jié)論． 3 (★★★) 在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，求其通項(xiàng)公式. 【方法八 不動(dòng)點(diǎn)法(特征根法)   (選學(xué)內(nèi)容)不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若存在，使得成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).形如的數(shù)列對(duì)于數(shù)列，(是常數(shù)且其特征方程為，變形為若有二異根，則可令其中是待定常數(shù))，代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得．若有二重根，則可令其中是待定常數(shù))，代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得．此方法又稱不動(dòng)點(diǎn)法． 【典題1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．      【典題2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．      形如是常數(shù))的數(shù)列當(dāng)，時(shí)，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征根方程的特征根，這時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【典題1】已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)．     形如是常數(shù))的數(shù)列稱是數(shù)列的二階特征方程，其根叫做特征方程的特征根.若有二異根，則可令(是待定常數(shù))若有二重根，則可令(是待定常數(shù))再利用可求得，進(jìn)而求得． 【典題1】在數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式.          鞏固練習(xí) 
1 (★★) 設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)． 2 (★★) 已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)． 3 (★★) 已知數(shù)列滿足, ，求數(shù)列的通項(xiàng). 4 (★★) 已知數(shù)列滿足, ，求數(shù)列的通項(xiàng)．  5(★★) 斐波拉契數(shù)列，滿足，，，求通項(xiàng)公式.