2022-2023學年福建省廈門市思明區(qū)華僑中學九年級（上）期中數(shù)學試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）手機移動支付給生活帶來便捷．如圖是張老師年月日微信賬單的收支明細正數(shù)表示收入，負數(shù)表示支出，單位：元，張老師當天微信收支的最終結(jié)果是(    )
A. 收入元 B. 支出元 C. 支出元 D. 收入元拋物線左平移個單位再向下平移個單位后所得到的新函數(shù)的頂點坐標是(    )A.  B.  C.  D. 關(guān)于一元二次方程根的情況描述正確的是(    )A. 有兩個相等的實數(shù)根 B. 沒有實數(shù)根
C. 有兩個不相等的實數(shù)根 D. 不能確定如圖，已知四邊形內(nèi)接于，，則(    )A.
B.
C.
D.
 方程的解相當于函數(shù)的(    )A. 函數(shù)值為時自變量的值 B. 函數(shù)值為時自變量的值
C. 自變量為時的函數(shù)值 D. 自變量為時的函數(shù)值如圖，在平行四邊形中，，，以頂點為圓心，為半徑作圓，則邊所在直線與的位置關(guān)系是(    )A. 相交
B. 相切
C. 相離
D. 以上三種都有可能圖是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點與之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機側(cè)立面夾角當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為(    )
 A.  B.
C.   D. 如圖，有兩全等的正三角形，，且，分別為，的重心．固定點，將逆時針旋轉(zhuǎn)，使得落在上，如圖所示．求圖與圖中，兩個三角形重迭區(qū)域的面積比為何(    )
A. ： B. ： C. ： D. ：若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則關(guān)于的一元二次方程必有一根為(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函數(shù)，當時，；當時，則與滿足的關(guān)系式是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）計算：______．拋物線的對稱軸是直線，則的值為______．如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點落在線段的延長線上，則大小為______．
如圖，已知是的直徑，，、是圓周上的點，且，則的長為______．
 公路上行駛的汽車急剎車時的行駛路程與時間的函數(shù)關(guān)系式為，當遇到緊急情況時，司機急剎車，但由于慣性汽車要滑行______才能停下來．已知正方形邊長為，、分別是直線、上的動點，且滿足，連接、，交點為點，則的最小值為______．
   三、計算題（本大題共1小題，共15.0分）解方程：．
計算：．
化簡求值：，其中． 四、解答題（本大題共8小題，共71.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
如圖所示的正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上，在所給平面直角坐標系中解答下列問題：
將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的；
請直接寫出經(jīng)過、、三點的的圓心的坐標______．
本小題分
如圖，點，在上，，，圖中與相等的線段是哪條？請說明理由．
本小題分
福州開通地鐵后，小林乘地鐵上下班，地鐵出入口有上，下行自動扶梯和步行樓梯．一段時間后，他發(fā)現(xiàn)：乘坐自動扶梯，人距離下層地面平臺的高度單位：與下行時間單位：之間的一次函數(shù)關(guān)系如圖；走步行樓梯，人距離下層地面平臺的高度單位：與下行時間單位：的關(guān)系如下表．
 時間單位：高度單位：求關(guān)于的函數(shù)解析式；
請幫助小林判斷，從上層平臺到下層地面平臺，是乘坐扶梯還是走步行樓梯節(jié)約時間，并說明理由．本小題分
已知、是一元二次方程的兩個實數(shù)根．
求的取值范圍；
是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．本小題分
在正方形中，點是直線上一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．
如圖，若點在線段的延長線上，過點作交于點，交對角線于點，連接
請根據(jù)題意補全圖形不需要用尺規(guī)作圖；
若，求的度數(shù)；
求證：
若點在射線上，直接寫出、、三條線段的數(shù)量關(guān)系______．
 本小題分
疫情期間，學校按照防疫要求，學生在進校時必須排隊接受體溫檢測．某校統(tǒng)計了學生早晨到校情況，發(fā)現(xiàn)學生到校的累計人數(shù)單位：人隨時間單位：分鐘的變化情況如圖所示，當時，可看作是的二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過原點，且頂點坐標為；當時，累計人數(shù)保持不變．
求與之間的函數(shù)表達式；
如果學生一進校就開始測量體溫，校門口有個體溫檢測棚，每個檢測點每分鐘可檢測人．校門口排隊等待體溫檢測的學生人數(shù)最多時有多少人？全部學生都完成體溫檢測需要多少時間？
本小題分
已知內(nèi)接于，，點是上一點．

如圖，若，為的直徑，，連接，求的度數(shù)和的長度；
如圖，連接，是延長線上一點．
尺規(guī)作圖，過作的一條切線，切點為在右側(cè)不寫作法，保留作圖痕跡
連接，若，請你猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．本小題分
如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點的坐標為和原點，將線段繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．
求拋物線解析式，判斷點是否在拋物線上；
連接，作點關(guān)于的對稱點，求四邊形的面積；
點是軸上一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點，將的面積記為，若，求的取值范圍．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：元，
故選：．
根據(jù)有理數(shù)的加法法則求和即可．
本題考查了正數(shù)和負數(shù)，掌握正數(shù)和負數(shù)表示相反意義的量是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：拋物線的頂點坐標為，
向左平移個單位，向下平移個單位，
新拋物線的頂點坐標是．
故選：．
先確定出原拋物線的頂點坐標，再根據(jù)向左平移橫坐標減，向下平移，縱坐標減解答即可．
本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用點的平移規(guī)律左減右加，上加下減解答是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
故方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：．
把，，代入判別式進行計算，然后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況．
本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：，方程有兩個不相等的實數(shù)根；，方程有兩個相等的實數(shù)根；，方程沒有實數(shù)根．
 4.【答案】 【解析】解：四邊形為圓內(nèi)接四邊形，
，
，
，
由圓周角定理得：，
故選：．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓周角定理計算即可．
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：，
則變?yōu)?/span>，
方程的解相當于函數(shù)的函數(shù)值為時自變量的值，
故選：．
由知：為，即可求解．
本題考查的是拋物線和軸的交點，利用函數(shù)思想解決方程問題是本題解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：如圖，作交的延長線于．
，
，
，
直線與相交，
故選：．
如圖，作交的延長線于求出的值即可判斷．
本題考查直線與圓的位置關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了解直角三角形的應用，含角的直角三角形的性質(zhì)特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值應用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應用較多．
過作于，過作于，則可得和的長，依據(jù)端點與之間的距離為，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．
【解答】
解：如圖所示，過作于，過作于，則
在中，，，
，
同理可得，，
又點與之間的距離為，
通過閘機的物體的最大寬度為，
故選：．  8.【答案】 【解析】解：設(shè)三角形的邊長是，則高長是
圖中，陰影部分是一個內(nèi)角是的菱形，
另一條對角線長是：
則陰影部分的面積是：；
圖中，
是一個角是的直角三角形．
則陰影部分的面積．
兩個三角形重迭區(qū)域的面積比為：：：．
故選：．
設(shè)三角形的邊長是，則中陰影部分是一個內(nèi)角是的菱形，圖是一個角是的直角三角形，分別求得兩個圖形的面積，即可求解．
本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面積的計算，正確計算兩個圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以為方程一根．
故選：．
利用一元二次方程根的定義得到，兩邊除以得到，從而可判斷為方程一根．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
 10.【答案】 【解析】解：當時，
，解得：；
當時，，
，解得：；
，
故選：．
把和代入，由都成立，列不等式組求的與的關(guān)系；把和代入，由都成立，列不等式組求的與的關(guān)系即可解答．
本題考查了拋物線與軸的交點和二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)自變量的取值范圍以及函數(shù)值與的關(guān)系列出不等式組是解決問題的關(guān)鍵
 11.【答案】 【解析】解：

．
故答案為：．
首先計算零指數(shù)冪，然后計算加法，求出算式的值即可．
此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
 12.【答案】 【解析】解：，對稱軸是直線，
，即，解得．
故答案為．
已知拋物線的對稱軸，利用對稱軸公式可求的值．
本題主要考查了求拋物線的頂點坐標的方法，公式法：的頂點坐標為，對稱軸是．
 13.【答案】 【解析】解：繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，
由三角形內(nèi)角和可得．
故答案為：．
由旋轉(zhuǎn)可知，且，則有三角形內(nèi)角和可以計算出．
本題是幾何圖形旋轉(zhuǎn)問題，考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)．
 14.【答案】 【解析】解：是直徑，
，
，
，
故答案為．
根據(jù)直角三角形度角的性質(zhì)即可解決問題．
本題考查圓周角定理，直角三角形度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
 15.【答案】 【解析】解：依題意：該函數(shù)關(guān)系式化簡為，
當時，汽車停下來，滑行了．
故答案為．
由題意得，此題實際是求從開始剎車到停止所走的路程，即的最大值，把拋物線解析式化成頂點式后，即可解答．
本題考查二次函數(shù)的實際應用．
 16.【答案】 【解析】解：在正方形中，，，

在和中，
，
≌，
，
，
，
，
點在以為直徑的圓上，
由圖形可知：當、、在同一直線上時，有最小值，如圖所示：
正方形，，
，
中，，
，
故答案為：．
先證明≌，即可得到，所以點在以為直徑的圓上，由圖形可知：當、、在同一直線上時，有最小值，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．
本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到≌．
 17.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
原式
；
原式

，
當時，
原式． 【解析】利用配方法求解即可；
根據(jù)立方根、負整數(shù)指數(shù)冪以及絕對值的性質(zhì)進行計算即可；
直接將括號里面通分運算，進而利用分式的混合運算法則計算得出答案．
本題考查了配方法解一元二次方程，實數(shù)的運算，分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵：熟練掌握配方法；掌握運算性質(zhì)；正確化簡分式．
 18.【答案】 【解析】解：如圖所示，即為所求，


，，，
，
是直角三角形，
則經(jīng)過、、三點的的圓心即為的中點，
、，
，
故答案為：
分別作出三個頂點繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的對應點，再首尾順次連接即可得；
先利用勾股定理逆定理證明三角形是直角三角形，據(jù)此知經(jīng)過、、三點的的圓心即為的中點，從而得出答案．
本題主要考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)及圓周角定理的推論．
 19.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】證明≌，可得．
本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等．
 20.【答案】解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為．
的圖象經(jīng)過點，，
，
解方程組得：，
關(guān)于的函數(shù)解析式為．
走步行樓梯所花時間少．
理由如下：由表可知，走步行樓梯， 時在下層地面平臺．
將代入，得，
解得，
即乘坐扶梯在 時到達下層地面平臺，
，
走步行樓梯所花時間少． 【解析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以得到關(guān)于的函數(shù)解析式；
分別令和求出相應的的值，然后比較大小即可解答本題．
本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 21.【答案】解：一元二次方程的兩個實數(shù)根，
且，
解得：且；

、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，
由得：，
，
解得：且，
所以存在實數(shù)，使成立，此時． 【解析】根據(jù)已知得出且，求出即可；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入得求出即可．
本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于的不等式和方程是解此題的關(guān)鍵．
 22.【答案】或 【解析】解：補全圖形如圖所示：
解：四邊形是正方形，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
是等腰直角三角形，
，
；
證明：如圖所示：
線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
四邊形是正方形，
，，
于，
，
，
，
即，
在和中，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
解：分兩種情況：
當點在線段上時：，理由如下：
在上截取，連接．
則是等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
，
又，
，
在和中，，
≌，
，
，
；
當點在線段的延長線上時，，理由如下：
在上截取，連接，如圖所示：
則是等腰直角三角形，．
四邊形是正方形，
，，，
，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
，
在和中，，
≌，
，
，
；
故答案為：或．
據(jù)題意補全圖形即可；
由正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證出，即可得出答案；
證明≌即可；
當點在線段上時，在上截取則是等腰直角三角形，證明≌，得出，即可得出結(jié)論；
當點在線段的延長線上時，在上截取則是等腰直角三角形，證明≌，得出，即可得出結(jié)論．
本題是四邊形綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判斷和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
 23.【答案】解：當時，
頂點坐標為，
設(shè)，
將代入，得：，
解得，
，
當時，
，
與之間的函數(shù)表達式為；
設(shè)第分鐘時的排隊等待人數(shù)為人，由題意可得，
時，
，
，
當時，的最大值是；
當時，，
，
隨的增大而減小，
，
排隊人數(shù)最多是人；
要全部學生都完成體溫檢測，根據(jù)題意得：
，
解得：，
要全部學生都完成體溫檢測需要分鐘． 【解析】當時由頂點坐標為，可設(shè)，再將代入，求得的值，則可得與之間的函數(shù)解析式；當時，根據(jù)等候的人數(shù)不變得出函數(shù)解析式；
設(shè)第分鐘時的排隊等待人數(shù)為人，根據(jù)及中所得的與之間的函數(shù)解析式，可得關(guān)于的二次函數(shù)和一次函數(shù)，按照二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
本題主要考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：為的直徑，
，
，
為等腰直角三角形，
，
；
尺規(guī)作圖如下：

為的切線；
理由：
連接，，，如圖，

在和中，
，
≌，
，．
，，
，，
．
，
，
，
，
．
．
為圓的切線，
，
，
． 【解析】利用圓周角定及其推論得到為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；
分別以，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線得到的垂直平分線，再以為直徑畫弧交于點，作直線，則為所作的圓的切線；
連接，，，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到；利用平行線的性質(zhì)和角的和差得到，再利用等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可得出結(jié)論．
本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，代入直角三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．
 25.【答案】解：過點作軸于點，將線段繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，
則，則，，故點；

拋物線過原點，則，
將點的坐標代入拋物線表達式并解得：，
故拋物線的表達式為：；
當時，，故點在拋物線上；

如圖，作點關(guān)于的對稱點，
則四邊形為菱形，
四邊形的面積；

由點、的坐標得直線的表達式為：，
點，則點、點，
的面積，
，則，

解得：或或． 【解析】過點作軸于點，將線段繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，則，則，，故點，即可求解；
四邊形為菱形，四邊形的面積；
的面積，即可求解．
本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、解不等式、面積的計算等，其中，要注意分類求解，避免遺漏．
 

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