2022屆浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三下學(xué)期5月高考模擬數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2022屆高三下學(xué)期5月高考模擬數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知集合，則（???????） A． B． C． D． 2．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（???????） A． B． C． D． 3．已知向量，，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“，共線”的（???????） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則的最大值（???????） A．8 B．2 C．4 D． 5．已知點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，直線l是以M為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線m的方程為，那么（???????） A．且m與圓C相切 B．且m與圓C相切 C．且m與圓C相離 D．且m與圓C相離 6．已知函數(shù)，則在同一個(gè)坐標(biāo)系下函數(shù)與的圖像不可能是（???????） A． B． C． D． 7．將編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小球，放入五個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至多放2個(gè)球，且同一個(gè)盒子內(nèi)不出現(xiàn)連續(xù)編號(hào)的小球，則不同的放法數(shù)是（???????） A．300 B．320 C．360 D．540 8．已知P為雙曲線上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），，令的面積為S，若，則雙曲線的離心率e為（???????） A． B． C．2 D．3 9．已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為（???????） A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6 10．已知數(shù)列滿足，且是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（???????） A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增 B． C． D．三、填空題：本題共7小題，每小題5分，共35分。 11．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧及其所對(duì)弦圍成的圖形．若弧田的弦長(zhǎng)是2，弧所在圓心角的弧度數(shù)也是2，則弧田的弧長(zhǎng)為_(kāi)______，弧田的面積為_(kāi)________． 12．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是________，有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 13．隨機(jī)變量X的取值為，0，1，若，則_______，________． 14．在中，P是邊上靠近B點(diǎn)得四等分點(diǎn)，，則_______，則__________． 15．已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和俯視圖均為邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)視圖是等腰直角三角形，則該幾何體的體積為_(kāi)_________． 16．已知，則的最大值為_(kāi)_______． 17．設(shè)為不共線的向量，滿足，且，若，則的最大值為_(kāi)_______．五、解答題 18．已知向量，記函數(shù)． (1)求的對(duì)稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，若，求的取值范圍． 19．在直角中，，M，N分別為的中點(diǎn)，，如圖1．將沿折起至的位置，如圖2．連接． (1)證明：平面平面； (2)連接，若，求平面和平面所成銳二面角的余弦值． 20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足． (1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； (2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 21．已知橢圓右焦點(diǎn)為，橢圓的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)（不在x軸上），點(diǎn)B為線段與橢圓C的公共點(diǎn)（且B靠近點(diǎn)A）． (1)若點(diǎn)F恰為橢圓C的左頂點(diǎn)，求橢圓E的方程； (2)令面積的最大值為，求的取值范圍． 22．已知函數(shù) (1)求證：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)； (2)若方程有且僅有一個(gè)正數(shù)解，求證：．參考答案： 1．B 【解析】【分析】直接根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可. 【詳解】顯然. 故選：B． 2．D 【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)的虛部. 【詳解】由得，故的虛部為．故選：D． 3．A 【解析】【分析】根據(jù)∥，則，使得，結(jié)合充分、必要條件判定．【詳解】由存在實(shí)數(shù)，使得，可得共線；但當(dāng)時(shí)，共線，此時(shí)不一定存在實(shí)數(shù)，使得．故選：A． 4．C 【解析】【分析】根據(jù)不等式組，作出線性區(qū)域，根據(jù)的幾何意義進(jìn)行求解. 【詳解】畫出線性區(qū)域，如圖．，其幾何意義是點(diǎn)到直線的距離的倍．容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)為最大值所在位置，代入目標(biāo)函數(shù)得，故選：C． 5．C 【解析】【分析】由題意可得，從而可求得圓心到直線的距離，則可得直線m與圓C相離，求出直線的斜率，可得，而，從而可得結(jié)論【詳解】由點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)得．所以圓心到直線的距離為．故直線m與圓C相離．另一方面，直線的斜率為，而直線l以M為中點(diǎn)，故直線．又直線m的斜率也是2，所以，所以. 故選：C． 6．D 【解析】【分析】設(shè)，由奇偶性的定義及性質(zhì)可得是R上的奇函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，然后分、和三種情況討論即可求解. 【詳解】解：設(shè)，因?yàn)椋?所以是R上的奇函數(shù)，又時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)0，所以的圖像一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與的圖像相同，不符合題意．當(dāng)時(shí)，是R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以與的圖像可能為選項(xiàng)C；當(dāng)時(shí)，若，所以與的圖像可能為選項(xiàng)A或B. 故選：D． 7．B 【解析】【分析】分每個(gè)盒子只放入1個(gè)小球、有1個(gè)盒子放入2球，其余2個(gè)盒子中每個(gè)盒子放入1個(gè)小球和4個(gè)球2個(gè)盒子，每個(gè)盒子放入2個(gè)小球三類討論，再分組分配結(jié)合分類加法原理即可得出答案. 【詳解】解：第一類：每個(gè)盒子只放入1個(gè)小球．先從五個(gè)不同的盒子選出四個(gè)盒子，再將4個(gè)小球放入4個(gè)盒子中，故有種放法，第二類：有1個(gè)盒子放入2球，其余2個(gè)盒子中每個(gè)盒子放入1個(gè)小球．放入同一個(gè)盒子的2個(gè)小球編號(hào)只能是1和3或1和4或2和4，故有種放法，第三類：4個(gè)球2個(gè)盒子，每個(gè)盒子放入2個(gè)小球．放入同一個(gè)盒子的2個(gè)小球編號(hào)只能是1和3，2和4，先從五個(gè)不同的盒子選出兩個(gè)盒子，再將4個(gè)小球放入2個(gè)盒子中，故有種放法，共有種放法．故選：B． 8．A 【解析】【分析】設(shè)，代入雙曲線方程變形得，計(jì)算，得離心率與的關(guān)系，，中由正弦定理和表示，求得面積，代入已知等式并結(jié)合開(kāi)始所求關(guān)系得離心率的方程，從而求得離心率．【詳解】設(shè)，則，即．因?yàn)椋?所以，即，中由正弦定理知，，，從而，由，得到，即，所以，故選：A． 9．A 【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，令，則，所以，即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用韋達(dá)定理及函數(shù)圖象分類判斷即可. 【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；函數(shù)，時(shí)單調(diào)遞減，所以，對(duì)于方程，令，則，所以，即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，當(dāng)時(shí)，，3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，也是3個(gè)交點(diǎn)；故選：A．【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法： (1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 10．BD 【解析】【分析】對(duì)于A，證明數(shù)列單調(diào)遞減即得解；對(duì)于B，證明即得解；對(duì)于C，隨著減小，從而增大．即得解；對(duì)于D，證明即得解. 【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 所以所以所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以這種情況不存在. 所以，所以數(shù)列單調(diào)遞減. 所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤. ．所以A錯(cuò)誤．對(duì)于B：由前面得．下面證明．只需證明，令，，令，則， ∴成立．所以，所以，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：，設(shè)，設(shè)，則．所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大．所以，即．所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D：一般地，證明：．只需證明．．令，則， ∴成立．所以，所以．所以D正確．故選：BD 11．???? ;???? . 【解析】【分析】（1）利用弧長(zhǎng)公式解決，那么需要算出半徑和圓心角；（2）用扇形的面積減去三角形的面積即可. 【詳解】由題意可知：，所以弧長(zhǎng)，弧田的面積，故答案為：；. 12．???? 60???? 4 【解析】【分析】寫出通項(xiàng)，根據(jù)要求出的值即可求得答案. 【詳解】，令，常數(shù)項(xiàng)為；，符合題意，所以共有4個(gè)；故答案為：60；4． 13．???? ???? ## 【解析】【分析】設(shè)，列出分布列，根據(jù)期望與方差公式可求解. 【詳解】設(shè)，則，因此分布列如圖所示，由題意可知：所以，，所以．故答案為：；． 14．???? 2???? 【解析】【分析】利用余弦定理和三角形面積公式求出，再根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果. 【詳解】由余弦定理，得，又，得，所以，聯(lián)立，得，所以，所以. 故答案為：2；. 15．【解析】【分析】根據(jù)該幾何體是由一個(gè)三棱柱，去掉兩個(gè)三棱錐而成求解. 【詳解】解：由三視圖可知，此直觀圖是由直三棱柱，去掉三棱錐和三棱錐而成，如圖所示：所以其體積為：，故答案為：. 16．## 【解析】【分析】根據(jù)題意得，設(shè)，所以，所以，求出的范圍，所以，分析求最值即可. 【詳解】，所以，設(shè)，代入，則有，看成關(guān)于的一元二次方程，若方存在，則關(guān)于的一元二次方程必須有解，所以判別式或，所以或又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)，. 故答案為：．【點(diǎn)睛】求函數(shù)最值和值域的常用方法： (1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值； (2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值； (3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值； (4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值； (5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值． 17．324 【解析】【分析】采用建系法，令，將各個(gè)點(diǎn)用坐標(biāo)表示，然后表達(dá)出面積的最大值，進(jìn)而求得的最大值；【詳解】令，又因?yàn)椋?即，則點(diǎn)C為的外心，因?yàn)椋?設(shè)，不妨取則點(diǎn)在圓上，由，代入坐標(biāo)，，解得，聯(lián)立和，解得，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”. 故，于是 . 故答案為：324 【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用． 18．(1)對(duì)稱軸為， (2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積、二倍角公式、輔助角公式得，從而可求對(duì)稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先求得，再由正弦定理及兩角和與差的正弦公式及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)可求得范圍. (1) 由題意，所以的對(duì)稱軸為，即，單調(diào)遞增區(qū)間滿足，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為． (2) 由得，，所以，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，故，得，所以，即的取值范圍為． 19．(1)證明見(jiàn)解析； (2). 【解析】【分析】（1）通過(guò)線面垂直來(lái)推導(dǎo)出面面垂直，利用面面垂直判定解決；（2）將幾何體補(bǔ)成三棱錐，根據(jù)二面角的定義，先作出二面角的平面角后求解. (1) ∵，，面 ∴面，又面 ∴面面； (2) 延長(zhǎng)和，交于P點(diǎn)，連，作，垂足為H，連，由（1）可得面面，∴面，∴，又∵，∴面，∴，設(shè)，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，又∵，∴面，∴，∴即為所求二面角， ∴. 20．(1)，； (2). 【解析】【分析】（1）求出即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，再利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和． (1) 解：令，令，又，所以，即．所以，，①????????．② 兩式相減得，，即是公比為2的等比數(shù)列，且，所以． (2) 解：由可得，．累加可得，，而， ∴. 21．(1) (2) 【解析】【分析】（1）易知橢圓C方程的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將，變形為，根據(jù)題意，由求解；（2）設(shè)的方程為，與聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式得到，同理得到，求得點(diǎn)到的距離，由求解. (1) 解：點(diǎn)F恰為橢圓C的左頂點(diǎn)，橢圓C方程為，左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓E的左焦點(diǎn)，，即為，所以，所以橢圓E的方程為； (2) 如圖所示：設(shè)的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，所以，同理得，點(diǎn)到的距離為，所以，，，由橢圓幾何性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，，即，則，所以在上遞增，所以. 22．(1)證明見(jiàn)解析 (2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求得，結(jié)合及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，再結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，即可求解. （2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到時(shí)，方程有且僅有一個(gè)正數(shù)解，要證，轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到在上恒成立，再由，證得． (1) 解：由題意，函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，可得且，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn). (2) 解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，又由當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有且僅有一個(gè)正數(shù)解，現(xiàn)證不等式左側(cè)：，要證，只需證在上恒成立，只需證，令，可得，則，可得，令，解得或（舍去），可得在減，增，函數(shù)在軸交點(diǎn)為，在增，減，增，與軸交點(diǎn)為，在增，減，，所以在上恒成立，證不等式右側(cè)：因?yàn)?，所以?【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立或有解問(wèn)題的求解策略： 1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍； 2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題． 3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．01

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