金華十校2022年11月高三模擬考試數(shù)學試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時間120分鐘．試卷總分為150分．請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 設集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集M、N，再求兩集合的交集即可.【詳解】由，得，所以，由，得，所以，所以.故選：A.2. 已知，其中為虛數(shù)單位，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的運算得出，進而得出.【詳解】，則故選：B3. 在正方形中， 分別為，的中點，則不正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算，一一判斷各選項，可得答案.【詳解】由題意可得,A正確；,故B正確；由 , ,可得,故,故C錯誤，D正確；故選：C.4. 已知，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解得，又利用對數(shù)運算可判斷，結(jié)合基本不等式可判斷與的大小，即可得的大小關(guān)系.【詳解】解：，由于，，取等條件應為，即，而，故，，取等條件為，即，而，故，所以.故選：A.5. 打羽毛球是全民皆宜的運動．標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為7cm，若把球托之外由羽毛圍成的部分看成一個圓臺的側(cè)面，又測得頂端所圍成圓的直徑是6.8cm，底部所圍成圓的直徑是2.8cm，則這個圓臺的體積約是（單位：）（    ）注：本題運算時取3，取2.24，運算最后結(jié)果精確到整數(shù)位．A. 108 B. 113 C. 118 D. 123【答案】D【解析】【分析】由圓臺的體積公式求解即可.【詳解】圓臺的體積為故選：D6. 已知樣本空間由所有滿足，且的數(shù)組組成，在中抽取一個數(shù)組，記事件“”為抽到的數(shù)組中，，的最大值為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】列舉出所有符合題意的數(shù)組，可得滿足的數(shù)組個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可得答案.【詳解】由題意可知，符合題意數(shù)組有：， ，共12組，其中事件“”的數(shù)組有，故，故選：D.7. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當時，恒成立，則的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由已知，分別根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在時，恒成立，列出不等關(guān)系，通過賦值，并結(jié)合的本身范圍進行求解.【詳解】由已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得：，由于，所以，解得：①又因為函數(shù)在上恒成立，所以，解得：，由于，所以，解得：②又因為，當時，由①②可知：，解得；當時，由①②可知：，解得.所以的取值范圍為.故選：B.【點睛】在處理正弦型、余弦型三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，通常使用整體代換的方法，將整體范圍滿足組對應的單調(diào)性或者對應的條件關(guān)系，羅列出等式或不等式關(guān)系，幫助我們進行求解.8. 如圖是一個由正四棱雉與棱長為的正方體形成的組合體，這個組合體在直徑為的球內(nèi)，且點，，，，在球面上，則（    ）A. 的取值范圍是B. 正四棱雉的高可表示為C. 該組合體的體積最大值為D. 二面角的大小隨著的增大而減小【答案】C【解析】【分析】由球心與截面圓的圓心以及球面上的點的關(guān)系結(jié)合勾股定理可判斷AB；表示出組合體的體積，利用導數(shù)研究單調(diào)性，可判斷C；表示出二面角的正切值并研究單調(diào)性可判斷D【詳解】球的直徑為，則半徑為，由題意知，所以，故A錯誤；設正方體上下中心分別為，外接球球心為，，則，所以高，故B錯誤；，，所以在單調(diào)遞增，，故C正確；設二面角的平面角為，則，易知單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9. 已知正方體，，分別為，的中點，則（    ）A. 直線與所成角為B. 直線與所成角為C. 直線與平面所成角為D. 直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出正方體各頂點坐標，求出相關(guān)向量以及相關(guān)平面法向量的坐標，根據(jù)數(shù)量積的計算以及空間角的向量求法，即可判斷答案.【詳解】以D為坐標原點，以射線為軸正方向，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則,,則 ,故，則，故直線與所成角為，A正確；,,又，故，即直線與所成角為，B正確；,設平面的法向量為 ，則 ，令 ，則，故,因為直線與平面所成角范圍為 ，故直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角為，C正確；,設平面的法向量為，則 ，令 ，則，故,故直線與平面所成角的正弦值為，D錯誤.故選：ABC.10. 已知函數(shù)，，，為圖象上的三點，則（    ）A. 有兩個零點B. 若為極小值點，則C. 直線是曲線的切線D. 若，則【答案】AC【解析】【分析】利用導數(shù)研究的單調(diào)性、極值，進而確定零點并畫出函數(shù)圖象，即可判斷A、B、C；在圖象上任找兩點，線段中垂線交圖象與點，即有，圖象上找反例，判斷D.【詳解】由題設，易知：、上，即遞增，上，即遞減.所以極大值為，極小值為，且，顯然有兩個零點，A正確，B錯誤；的函數(shù)圖象如下：由上分析及圖知：直線是曲線的切線，C正確；在圖象上任找兩點，線段中垂線交圖象于點，此時，如上圖，在圖象中可取三點，其中，，，所以，存在，D錯誤.故選：AC11. 已知拋物線，過焦點F直線l與C交于，兩點，，E與F關(guān)于原點對稱，直線與直線的傾斜角分別是與，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】作軸于，做軸于， 設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立求出，求出，可判斷A；求出可判斷B；求出利用基本不等式得出可判斷C；求出、，做差與0比較大小可判斷D.【詳解】做軸于，做軸于， 所以，，拋物線的焦點，因為，所以，即，所以直線的斜率存在設為，可得直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，整理得，所以，，對于A，，，所以，故錯誤；對于B，因為，所以，所以直線與的傾斜角互補，即，故正確；對于C，因為，所以，即，因為，所以，故錯誤；對于D，因為，所以，，，所以，所以，所以，即，故正確.故選：BD.12. 己知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R．記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】由為偶函數(shù)，可得的圖象關(guān)于直線對稱，由為奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于對稱，再由，可得的圖象關(guān)于對稱，然后逐個分析判斷即可.【詳解】因為偶函數(shù)，所以，令，則，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以D正確，由，得，所以，所以，所以的圖象關(guān)于對稱，因為為奇函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于對稱，所以的周期為，令，則，所以，所以所以，所以C正確，因為的周期為2，所以，因為的圖象關(guān)于對稱，所以，所以不一定成立，所以B錯誤，由，可得，所以（為常數(shù)），所以，此式不一定為零，所以A錯誤，故選：CD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)奇偶性和對稱性的綜合應用，考查抽象函數(shù)的奇偶性，解題的關(guān)鍵是利用已知的式子結(jié)合奇偶性的定義求出函數(shù)的對稱軸和對稱中心，再得到函數(shù)的周期，考查數(shù)學抽象能力，屬于難題.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 二項式的展開式中常數(shù)項是_______．【答案】6【解析】【分析】求出二項式展開式的通項，令x的指數(shù)為0，結(jié)合通項公式即可求得答案.【詳解】二項式的展開式的通項為，令 ，即二項式的展開式中常數(shù)項是，故答案為：6.14. 若直線是曲線和的公切線，則實數(shù)的值是___________．【答案】【解析】【分析】設直線與曲線、分別相切于點、，利用導數(shù)求出曲線在點處的切線方程，以及曲線在點處的切線方程，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得的值.【詳解】設直線與曲線、分別相切于點、，對函數(shù)求導得，則，曲線在點處的切線方程為，即，對函數(shù)求導得，則，曲線在點處的切線方程為，即，所以，，化簡可得.故答案為：.已知圓與圓，點是圓上的一點，過圓心作直線
的平行線與圓交于點（和不在軸同側(cè)），交軸于點，以為直徑的圓與圓的一個交點為，則圓心與圓心到直線的距離之和是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形相似，以及兩圓位置關(guān)系，通過幾何關(guān)系，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，連接交軸于，過作的垂線，垂足記作，如下所示：因為//，故△△，則；又因為點在以為直徑的圓上，故，又在圓上，則，又△△，則，故；則，即圓心與圓心到直線的距離之和為.故答案為：.16. 已知橢圓，過橢圓右焦點F作互相垂直的兩條弦，，則的最小值為_______________．【答案】##【解析】【分析】考慮直線的斜率是否存在情況，存在時設，聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，化簡求得弦長的表達式，進而推出，從而將化為，利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】由橢圓可知右焦點 ，當直線 的斜率不存在時，方程為，則 ，此時 ， ；當直線的斜率存在時，設 ，則 ，又設點 ．聯(lián)立方程組 ，消去y并化簡得 ，因為過橢圓右焦點F，則必有 ，  ， ，    ，由題意知，直線斜率為 ，同理可得 ，所以 ． 所以 ，當且僅當時取得等號，故綜合以上，的最小值為，故答案為：.【點睛】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系的應用，考查了最值問題的求解，綜合性強，計算量大，解答時要能熟練應用聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，求解弦長問題，解答的關(guān)鍵是根據(jù)弦長的表達式特征求得，繼而利用基本不等式“1”的巧用求解最值.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 已知數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．（1）求：（2）若求數(shù)列的前項和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由于數(shù)列是首項為1，公差為1，則可求得，即得；（2）按照裂項求和求即可.【小問1詳解】解：∵是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得．【小問2詳解】解：∵，時，，∴．18. 設的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）設為邊的中點，，，求．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)由已知，借助正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，將條件轉(zhuǎn)化為，然后利用，進行拆分組合，即可完成角；(2)由已知，可設，，借助余弦定理得到等量關(guān)系，直接求解即可.【小問1詳解】∵．由正弦定理可得．由，則有，化簡可得：，即，則，∵，，且，解得或（舍）．故．【小問2詳解】在中，設，，，，因為，所以有：；由余弦定理：，代入可得， 由，解得，（舍）．因為，所以，∴．19. 如圖，在四棱錐中，平而平面，，，．（1）求證：∥平面；（2）求點到平面的距離：（3）求平面與平面的夾角．【答案】（1）證明見解析    （2）    （3）30°【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出的方向向量和平面的法向量，通過計算其向量垂直來證明線面平行；（2）利用向量法求點到面的距離；（3）利用法向量的夾角求二面角.【小問1詳解】由已知可得：，，如圖以A為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立空間直角坐標系，則，，，，設，則由，，可得方程組，解得．可得．由于，可得．所以，設平面的法向量，由，解得平面的法向量是，∴，EF不在平面SAB內(nèi)，故平面．【小問2詳解】設點到平面的距離為，∵由，∴點到平面的距離是．【小問3詳解】設平面的法向量為，由可得平面的法向量為，設平面與平面的夾角為．則，則故平面與平面的夾角為30°．20. 浙江省實行新高考改革方案以來，英語每年安排兩次考試，第一次在1月與選考科目同期進行，稱為“首考”，第二次在6月與語文、數(shù)學同期進行，稱為“老高考”，考生可選用其中一次較好的成績計入高考總分．英語在“首考”中“一考兩用”，成績既用于評定學業(yè)水平等級又可用于高考，學考合格后的考生，英語第二次考試成績僅用于高考，不計算學考等第.2022年1月“首考”中，英語成績達到117分及以上的考生，學考等第為A．某校為了解英語考試情況，隨機抽取了該校男、女各名學生在“首考”中的英語考試成績，情況如下表，并經(jīng)過計算可得． 男生女生A等非A等 （1）從名學生中隨機選擇1人，已知選到的學生英語學考等第為A，求這個學生是男生的概率；（2）從名女生中任意選2人，記這2人中獲得A等的人數(shù)為，求的數(shù)學期望與方差．附：，其中．附表： 【答案】（1）    （2）；【解析】【分析】（1）由條件概率的概率公式求解即可；（2）先由求得，再求出的可能取值以及每個值所對應的概率，即可得分布列，進而由期望與方差公式求解即可【小問1詳解】用表示事件“選到的學生學考等第為A等”，用表示事件“選到男生”，則．【小問2詳解】由，而，可得．因為的可能取值為0，1，2．，，
 所以這2人種獲得A等人數(shù)的概率分布列為012 數(shù)學期望方差．21. 已知雙曲線的一條漸近線為，且右焦點到這條漸近線的距離為
．（1）求雙曲線方程；（2）若雙曲線的右支上存在三點、、，滿足，，，求直線的方程．【答案】（1）；    （2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程以及點到直線的距離公式，求得，則雙曲線方程得解；（2）設出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達定理，由點在雙曲線上，三角形的面積，以及，建立參數(shù)之間的方程組，求解即可.【小問1詳解】由已知條件得：，解得：，所以雙曲線方程為：.【小問2詳解】取中點，根據(jù)題意，作圖如下：當不存在時，設直線方程為，則點坐標為，故，解得，不妨取，又點坐標為，故，不符合題意，故舍去；
當存在時，不妨設，則此時，由韋達定理得：，，∴∴點的坐標為，即，將它代入得：，化簡得：．又，∴即，∴，又．∴．解得：，此時，則的方程為根據(jù)對稱性，的另外一條直線方程為．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查雙曲線方程的求解，以及利用韋達定理，三角形面積求解直線的方程；其中解決問題的關(guān)鍵是要能夠建立，之間的方程組，以及將三角形的面積與三角形的面積建立聯(lián)系，屬于綜合困難題. 已知函數(shù)，記．（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)有三個零點，且．①求的取值范圍；②證明：．【答案】（1）.    （2）① ；②證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷其正負，確定函數(shù)單調(diào)性，進而求得函數(shù)的最小值；（2）（i）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，說明不合題意，當時，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)情況，結(jié)合零點存在定理，判斷函數(shù)有三個零點，符合題意；（ii）由題意可判斷三個零點的范圍且滿足，因為要證明，即，也即，又因為 ，故只要證明，故構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性證明即可證明結(jié)論成立.【小問1詳解】因為，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又．因此，當吋，，當吋，．即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為．【小問2詳解】（i）由，所以，于是，當時， ,僅當時取等號，,僅當時取等號，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時至多有一個零點，不符合題意；當時，令，得，當或時，，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．注意到，當吋，，所以，，又 ， ，令 ，當時，，當時，，故，所以，故 ，則 ， ，因此， 在 內(nèi)恰有一個零點（即在有一個零點），在內(nèi)有一個零點，即 ，在內(nèi)有一個零點，故有三個零點，則．（ii）由題意知，又注意到，所以，即．當時，先證明不等式恒成立，設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當時，不等式恒成立．由，可得，因此，，兩邊同除以，得，而，故．【點睛】本題考查了利用導數(shù)求解函數(shù)的最值以及根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍和證明不等式問題，綜合性強，計算量大，對學生的綜合數(shù)學素養(yǎng)有很高的要求，解答時要能熟練應用導數(shù)的相關(guān)知識，比如求導，判斷導數(shù)正負，判斷單調(diào)性,解決函數(shù)零點問題等，解答的關(guān)鍵在于能根據(jù)要證明的不等式合理變式，從而構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)解決問題.

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