2022年學(xué)年第一學(xué)期9+1高中聯(lián)盟期中考試高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1．設(shè)集合，，則等于（    ）A． B． C． D．2．若，，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（?虛數(shù)單位）”是“”的（    ）A．充要條件  B．充分不必要條件C．必要不充分條件  D．既不充分也不必要條件3．向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則（    ）A．12 B．14 C．16 D．184．已知定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，，則的值為（    ）A． B．0 C．1 D．25．若圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則下列結(jié)論正確的為（    ）A．圓錐的母線長為1  B．圓錐的底面半徑為2C．圓錐的體積為  D．圓錐的側(cè)面積為6．在三棱錐中，，且，，分別是棱CD，AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°7．已知，，，則（    ）A． B． C． D．8．在正方體中，點(diǎn)滿足，且，直線與平面所成角為，若二面角的大小為，則的最大值是（    ）A． B． C． D．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題列出的四個備選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（    ）A．若，，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則10．已知，對于，，下述結(jié)論正確的是（    ）A．  B．C．  D．11．已知，雙曲線的兩個焦點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)，則（    ）A．  B．C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的漸近線方程為12．在正三棱錐中，，，，，分別為BC，PC的中點(diǎn)，若點(diǎn)是此三棱錐表面上一動點(diǎn)，且，記動點(diǎn)圍成的平面區(qū)域的面積為，三棱錐的體積為，則（    ）A．當(dāng)時，  B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，  D．當(dāng)時，三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后的圖象過原點(diǎn)，則的最小值______．14．若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的值為______．15．已知四面體ABCD中，，平面，平面ABD，則四面體ABCD外接球的半徑是______．16．已知，分別是橢圓的左石焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，若線段上有且中點(diǎn)滿足（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率是______．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本題滿分10分）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程．18．（本題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的值域；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（本題滿分12分）某校對2022學(xué)年高二年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計該校高二年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績的第80百分位數(shù)；（2）為了進(jìn)一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績在內(nèi)的概率．20．（本題滿分12分）已知四棱錐中，，，，，，．（1）求證：；（2）求直線PC與平面PBD所成角的正弦值．21．（本題滿分12分）在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．已知的內(nèi)角A，B，C的所對的邊分別為a，b，c，______．（1）若，求；（2）求的最大值．22．（本題滿分12分）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸的垂線段PQ，Q為垂足，動點(diǎn)滿足．（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的動直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，與圓交于C，D兩點(diǎn)．（i）求的最大值；（ii）是否存在定點(diǎn)T，使得的值是定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請說明理由．2022年學(xué)年第一學(xué)期9+1高中聯(lián)盟期中考試高二數(shù)學(xué)參考答案一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）題號1234567?答案DBBACBAC二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）題號9101112答案BDACBCACD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13． 14．4 15．1 16．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，記線段AB中點(diǎn)為，則，又直線AB的斜率為1，由條件得線段AB中垂線CD方程為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線CD上，化簡得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)為MN中點(diǎn)，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程，此時，不符合題意，舍去．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程，即，由題意得，解得或，故直線的方程為或，即或，綜上直線的方程為或．18．解：（1）因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>，則，設(shè)，，所以值域?yàn)?/span>．（2）因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，則原問題化為對任意，，即，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取到最小值，所以．19．解：（1）由，可得．樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在110分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，因此，第80百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115．（2）由題意可知，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為（人），分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為（人）．用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在內(nèi)抽取2人，分別記為，，內(nèi)抽取3人，分別記為x，y，z，設(shè)“從樣本中抽取2人，至少有1人分?jǐn)?shù)在內(nèi)”為事件，則樣本空間為共包含10個樣本點(diǎn)，而事件，包含7個樣本點(diǎn)，所以，即抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績在內(nèi)的概率為．20．解：（1）在梯形ABCD中，，，，，可算得，所以，在中，，，滿足，所以，所以面PBD，所以．（2）由（1）證明可知，面面ABCD，取BD中點(diǎn)，連OP，OC，因?yàn)?/span>，所以，面PBD，所以就是PC與平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，計算可得，所以，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為．解法2：由（1）證明可知，面面ABCD，通過計算可得，建立以，為軸，軸的正方向，以過與平面ABCD垂直的向量為軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PBD的法向量為，則，即，取，設(shè)直線PC與平面PBD所成角為，則，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為．21．解：（1）若選①，由正弦定理可得，當(dāng)時，代入得，，整理可得，，在中，，所以，所以，所以，所以．若選②，當(dāng)時，代入得，，，，又因?yàn)?/span>，，所以，所以．（2）若選①，因?yàn)?/span>，所以，，，在中，，，所以．選②，因?yàn)?/span>，所以，，，在中，，所以，，由，及在上遞減，可得，進(jìn)一步得，所以，所以，設(shè)，則，，當(dāng)時，最大值為．22．解：（1）設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?/span>，所以，所以，即動點(diǎn)的軌跡的方程為（2）（i）①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，則恒成立，且，，，，所以，設(shè)，則，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，此時最大值是16．②當(dāng)直線的斜率不存在時，則直線為，可得，，此時，綜上，最大值是16．（ii）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，，可得，要使得上式為定值，即與無關(guān)，則滿足且，解得，，即點(diǎn)，此時，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，解得，，所以，綜上可得，存在定點(diǎn)，使得．

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