威遠中學21—22學年高二第一學期期中考試理科 數(shù)學命題、審題、做題：第三命題組本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.                         第Ⅰ卷   （選擇題  共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則(   )A.  B.1 C.2 D. 2.設x，y滿足約束條件，則的最小值是(   )A.－1 B.0 C.1 D.23.過點，且橫、縱截距的絕對值相等的直線的條數(shù)為(   )A.      B.     C.     D. 4.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(   )
A.10          B.12          C.14          D.165.由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為(    )A.      B.      C.       D. 6.已知直線，分別過點，，若它們分別繞點P，Q旋轉，但始終保持平行，則，之間的距離d的取值范圍為(   )A. B. C. D.7.已知某幾何體的三視圖(單位: )如圖所示，則該幾何體的體積是(   )
   A.          B.      C.            D. 8、球內接正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積是(   )    A.16π         B.20π      C.24π          D.32π9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1 中，若，則異面直線AB1 與C1B 所成的角為（  ）A、     B、      C、      D、10.若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是(   )A.  B.
C.  D.11.已知圓和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則m的最大值為（    ）A.7 B. 4 C.5 D.6 12.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）.給出下列三個結論：
①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中，所有正確結論的序號是（   ）A. ① B. ② C. ①② D.①②③ 第Ⅱ卷 （非選擇題  共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填在答題卡相應位置上.13.已知在三角形ABC中，，點C在直線上.   若三角形ABC的面積為10，則點C的坐標為__________.14、一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是 ，則這個三棱柱的體積為 _______. 15.在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心， 為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是     .16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有       個面，其棱長為          .
 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，分別是線段的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若點P為線段的中點，平面與平面有怎樣的位置關系？并證明．                                                                      18.(本小題滿分12分）已知圓，直線。
（Ⅰ）證明:不論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點;（Ⅱ）求直線被圓截得的弦長最小時的方程.   19.(本小題滿分12分）已知圓.（Ⅰ）求圓心的坐標及半徑的大?。?/span>（Ⅱ）已知不過原點的直線與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，求直線的方程；（Ⅲ）從圓外一點向圓引一條切線，切點為為坐標原點，且，求點P的軌跡方程．  20.(本小題滿分12分）如圖所示，已知ABCD為梯形，，，M為線段PC上一點.
（Ⅰ）設平面平面，證明：l.（Ⅱ）在棱PC上是否存在點M，使得平面MBD？若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由.21.(本小題滿分12分）在平面直角坐標系中， 為坐標原點，點設圓的半徑為，圓心在直線上.（Ⅰ）若圓心也在直線上，求圓的方程;（Ⅱ）在上述的條件下，過點作圓的切線，求切線的方程;（Ⅲ）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.   22.(本小題滿分12分）已知圓C經過點，且圓心C在直線上，又直線與圓C相交于兩點．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）若，求實數(shù)k的值；（Ⅲ）過點作動直線m交圓C于兩點．試問：在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經過點？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請說明理由． 
威遠中學21—22學年高二第一學期期中考試理科數(shù)學（參考答案）1.答案：C解析：分析知直線的斜率存在且不為0.由于直線與直線垂直,且過點所以直線的方程為,因為直線與圓相切,所以,解得,故選C.2.答案：C  3.答案：C解析：本題考查直線的方程.①當直線不過原點時,設直線的截距式方程為 (其中,分別為直線在軸、軸上的截距)因為直線過點,則有.由題,直線的橫、縱截距的絕對值相等,即有.當,時, 可得,此直線的方程為;當,時, 可得,此直線的方程為當,時, 可得,矛盾;當,時, 可得,矛盾;
②當直線過原點時,方程為,在軸、軸上的截距均為,也滿足條件.故滿足條件的直線共有條.正確答案為C4.答案：B解析：觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的,且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形,側棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形,高為2,如圖所示.因此該多面體各個面中共有兩個梯形,且這兩個梯形全等,梯形的上底長為2,下底長為4,高為2,故這些梯形的面積之和為.故選B5.答案：B解析：要使切線長最小,必須直線上的點到圓心的距離最小,此最小值即為圓心到直線的距離,求出,由勾股定理可求切線長的最小值.要使切線長最小,必須直線上的點到圓心的距離最小,此最小值即為圓心到直線的距離,由點到直線的距離公式得,由勾股定理求得切線長的最小值為.故選B.6.答案：A解析：易知兩直線之間的最大距離為P，Q兩點間的距離，由兩點間的距離公式得.故，之間的距離d的取值范圍為.7.答案：B解析：由三視圖可知,該幾何體是一個長方體截去了一個三棱錐,結合所給數(shù)據(jù),可得其體積為,故選B.8.答案： A 解析： 試題分析:設正四棱錐底面邊長為a,由 6,得a= ,
正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO 1上, 記為O,PO=AO=R,PO 1=3,OO 1=3-R, 在Rt△AO 1O中,AO 1= AC= ,由勾股定理R 2=3+(3-R) 2得R=2, ∴球的表面積S=16π 故選A。 9.答案：B略10.答案：C解析：如圖所示 曲線即,表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，圓心到直線的距離等于半徑2，可得，所以.當直線過點，直線與曲線有兩個公共點，此時.結合圖像可得.故選C. 11.答案：D解析：若，則點P的軌跡是以AB為直徑的圓，其方程為.由題意知圓與圓有公共點，所以，易知，所以，故m的最大值為6.12.答案：C解析：由,得,,即,所以可為的整數(shù)有0,,1,從而曲線恰好經過六個整點,結論① 正確.由,得,,解得,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過. 結論② 正確.如圖所示,易知,則四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③ 錯誤.故選C.故選C.13.解析：設，由的面積為10，得點C到邊所在直線的距離為4.又線段所在直線方程為，即.所以解得或所以點C的坐標為或.14.解析： 設球的半徑為 , ∵ ,∴ , ∴正三棱柱的高 ,設正三棱柱底面邊長為 , 則 ,∴ , ∴ . 15.解析：由于圓的方程為,圓心為由題意可知到的距離應不大于2,即.整理得,解得,故的最大值為.16.解析：由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有個面．如圖，設該半正多面體的棱長為x，則，延長與交于點G，延長交正方體棱于H，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，,，解析：證明　如圖，連接，（1分）由F是線段的中點得F為的中點，∴為的中位線，∴.（2分）又∵平面，平面，（4分）∴平面（5分）(2)解　平面平面，證明如下：在上取中點P，連接.（6分）∵分別為的中點，∴為的中位線，∴.（7分）又∵平面，平面，∴ 平面，（8分）又平面，平面 ，平面，（9分）∴平面平面.（10分）注：用線線平行推面面平行，解釋合理也給滿分18.解析：（1）.證法1:的方程, （2分）
即恒過定點（4分）
圓心坐標為,半徑,,
∴點在圓內,從而直線恒與圓相交于兩點。（6分）
證法2:圓心到直線的距離,
,所以直線恒與圓相交于兩點。
（2）.弦長最小時, ,,,（8分）
（10分）
代入,得的方程為。（12分）19.解析：(1) 圓的方程變形為,∴圓心的坐標為,半徑為.（3分）(2) ∵直線l在兩坐標軸上的截距相等且不為零,∴設直線l的方程為,
∴或。∴所求直線l的方程為或。（7分）(3) 連接,則切線和垂直,連接,
∴,（9分）
又,
∴（11分）即,∴點P的軌跡方程為.（12分）答案：（1）【證明】因為,平面PDC, 平面PDC，（2分）
所以平面PDC.（3分）又因為平面平面，且平面PAB，（5分）所以l.（6分）
（2）【解】存在點M，使得平面MBD，此時.（7分）理由如下：
連接AC交BD于點O，連接MO.（8分）
因為CD，所以.又，所以.（9分）
又因為,所以MO.（10分）又因為平面MBD, 平面MBD，（11分）所以平面MBD.（12分）
 解析：（1）由得圓心半徑為,所以圓方程為（3分）
（2）.由題意知切線的斜率一定存在,設所求圓的切線方程為,即由得或（5分）所以所求圓的切線方程為或即或（7分）
（3).設由得整理得故點在直線上.（9分）所以點既在圓上又在直線上,即圓和直線有公共點,所以（11分）所以（12分）綜上所述, 的取值范圍為22.解析：(1).設圓心，半徑為r．因為圓C經過點，所以，即，（1分）解得，（3分）所以圓C的方程是（4分）(2).因為，（5分）且與的夾角為，所以（6分）所以圓心C到直線的距離，又，所以（7分）(3).（ⅰ）當直線m的斜率不存在時，直線m經過圓C的圓心C，此時直線m與圓C的交點為，，EF即為圓C的直徑，而點在圓C上，即圓C也是滿足題意的圓（8分）（ⅱ）當直線m的斜率存在時，設直線，由，消去y整理，得，（9分）由，得或．設，則有①由①得，（10分）②，③若存在以為直徑的圓P經過點，則，所以，因此，即，則，所以，滿足題意．（11分）此時以為直徑的圓的方程為，即，（12分）亦即．綜上，在以為直徑的所有圓中，存在圓或，使得圓P經過點   
 

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