2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市東臺市第四教育聯(lián)盟九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共8小題，共24分）   下列方程中，是關(guān)于的一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D.    現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，，，，，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(    )A.  B.  C.  D.    小敏同學(xué)連續(xù)拋了兩次硬幣，都是正面朝上，那么他第三次拋硬幣時，出現(xiàn)正面朝上的概率是(    )A.  B.  C.  D.    一元二次方程根的情況是(    )A. 沒有實數(shù)根 B. 有兩個不相等的實數(shù)根
C. 有兩個相等的實數(shù)根 D. 不能確定   如圖，，，，，相互外離，它們的半徑都是，順次連接五個圓心得到五邊形，則圖中五個扇形陰影部分的面積之和是(    )
A.  B.  C.  D.    如圖，是圓劣弧上一點，，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D.    某種植基地年蔬菜產(chǎn)量為噸，預(yù)計年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，則可列方程為(    )A.  B.
C.  D.    如圖，點，的坐標(biāo)分別為、，點為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，且，點為線段的中點，連接，則的最大值為(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本題共8小題，共24分）   某區(qū)招聘教師，考試分筆試和面試兩部分，筆試成績與面試成績按：計入總成績，若小王筆試成績分，面試成績分，則他總成績是______分．如果所示的地板由塊方磚組成，每一塊方磚除顏色外完全相同，小球自由滾動，隨機(jī)停在黑色方磚的概率為______．
 已知一組數(shù)據(jù)：，，，，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______．若圓錐底面圓的半徑，母線長是，則該圓錐側(cè)面的面積為______．已知，是方程的兩個根，則______．如圖，是半圓的直徑，，點是上的一點，則______度．
 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心的圓過點，直線與交于、兩點，則弦的長的最小值為______．
 對于一切不小于的自然數(shù)，關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，，則______．三、解答題（本題共11小題，共102分）解方程：
；
．為了發(fā)展體育運(yùn)動，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，某學(xué)校成立了足球隊、籃球隊、射擊隊等，其中射擊隊在某次訓(xùn)練中，甲、乙兩名隊員各射擊發(fā)子彈，成績記錄如下表：射擊次序次一二三四五六七八九十甲的成績環(huán)乙的成績環(huán)經(jīng)計算甲和乙的平均成績都是環(huán)，請求出表中的______；
甲射擊成績的中位數(shù)和乙射擊成績的眾數(shù)各是多少？
若甲成績的方差是，請求出乙成績的方差，判斷甲、乙兩人誰的成績更為穩(wěn)定？如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點、、若點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
根據(jù)題意，畫出平面直角坐標(biāo)系；
在圖中標(biāo)出圓心的位置，寫出圓心點的坐標(biāo)______．
第二十四屆冬奧會于年月日在北京閉幕，北京成為全球首個既舉辦過夏季奧運(yùn)會義舉辦過冬季奧運(yùn)會的城市．如圖，是四張關(guān)于冬奧會運(yùn)動項目的卡片，卡片的正面分別印有“花樣滑冰”、“高山滑雪”、“單板滑雪大跳臺”、“鋼架雪車”這四張卡片除正面圖案外，其余都相同將這四張卡片背面朝上，洗勻．
從中隨機(jī)抽取一張，求抽得的卡片恰好為“花樣滑冰”的概率；
若從中隨機(jī)抽取兩張卡片，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片中有“高山滑雪”的概率．
如圖，是的直徑，是的弦，如果．
求的度數(shù)；
若，求的長．
已知，關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根、．
求實數(shù)的取值范圍；
若、滿足，求實數(shù)的值．如圖，是的直徑，是圓外的一點，弦與平行，連接，，若與相切于點，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
某商場經(jīng)營一批季節(jié)性小家電，每個進(jìn)價元，經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價為元時，可售出個．定價每減少元，銷售量將增加個．商場決定利用國慶期間進(jìn)行降價促銷，假設(shè)每個降價元．
若，此時可以售出______個；
現(xiàn)商場計劃獲利元，如果你作為商場經(jīng)理決策：為了提高商場人氣，擴(kuò)大銷售量，該商品每個應(yīng)定價多少元？如圖，的內(nèi)接四邊形兩組對邊的延長線分別交于點、．
若時，求證：；
若，時，求的度數(shù)；
定義：若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，，分別以，為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點，則稱點為該一元二次方程的衍生點．
若一元二次方程為，請直接寫出該方程的衍生點的坐標(biāo)為______；
若關(guān)于的一元二次方程為．
求出該方程的衍生點的坐標(biāo)；
直線：與軸交于點，直線過點，且直線與直線相交于點，若由得到的點在的內(nèi)部，求的取值范圍．如圖所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點是劣弧上任意一點不與重合，連接、、，求證：．
初步探索小明同學(xué)思考如下：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：
根據(jù)小明的思路，請你完成證明．
若圓的半徑為，則的最大值為______．

類比遷移如圖所示，等腰內(nèi)接于圓，，點是弧上任一點不與、重合，連接、、，若圓的半徑為，試求周長的最大值．
拓展延伸如圖所示，等腰，點、在圓上，，圓的半徑為連接，試求的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：該選項的方程是一元一次方程，故本選項不符合題意；
B.，，時是一元一次方程，故本選項不符合題意；
C.該選項的方程是一元二次方程，故本選項符合題意；
D.該選項的方程是分式方程，故本選項不符合題意．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．
本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一次未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是的整式方程，叫一元二次方程．
 2.【答案】 【解析】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：，，，，，
最中間的數(shù)，，
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．
故選：．
根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．
此題考查了中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小重新排列后，最中間的那個數(shù)或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
 3.【答案】 【解析】解：小敏同學(xué)連續(xù)拋了兩次硬幣，都是正面朝上，那么他第三次拋硬幣時，出現(xiàn)正面朝上的概率是：，
故選：．
根據(jù)概率的意義判斷即可．
本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：在方程中，
，
方程沒有實數(shù)根．
故選：．
根據(jù)方程的根的判別式，即可得出該方程沒有實數(shù)根．
本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是找出本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的判別式的符號確定方程根的情況是關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：由圖可得，個扇形的圓心角之和為：，
則五個陰影部分的面積之和．
故選：．
圓心角之和等于五邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
本題考查了扇形的面積計算，解決本題的關(guān)鍵是將陰影部分當(dāng)成一個扇形的面積來求，圓心角為五邊形的內(nèi)角和．
 6.【答案】 【解析】解：作劣弧所對的圓周角，如圖，

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，
．
故選：．
作劣弧所對的圓周角，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，然后根據(jù)圓周角定理得出的度數(shù)．
本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
 7.【答案】 【解析】解：由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，
根據(jù)年蔬菜產(chǎn)量為噸，則年蔬菜產(chǎn)量為噸，年蔬菜產(chǎn)量為噸，預(yù)計年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到噸，
即：或．
故選：．
利用增長后的量增長前的量增長率，設(shè)平均每次增長的百分率為，根據(jù)“從噸增加到噸”，即可得出方程．
此題考查了一元二次方程的應(yīng)用增長率問題解題的關(guān)鍵在于理清題目的含義，找到年和年的產(chǎn)量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準(zhǔn)等量關(guān)系式，列出方程．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，作點關(guān)于點的對稱點，
則點是的中點，
又點是的中點，
是的中位線，
，
當(dāng)最大時，最大，
點為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，且，
點在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動，
當(dāng)經(jīng)過圓心時，最大，即點在圖中位置．
．
的最大值．
故選：．
作點關(guān)于點的對稱點根據(jù)中位線的性質(zhì)得到，求出的最大值即可．
本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定為最大值時點的位置是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：由題意可得，總成績是：分，
故答案為：．
根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義進(jìn)行計算即可得到答案．
本題考查加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用加權(quán)平均數(shù)的計算方法解答．
 10.【答案】 【解析】解：總面積為塊方磚的面積，其中黑色方磚有個，
小球停在黑色方磚的概率為，
故答案為：．
根據(jù)幾何概率的求法：小球落在黑色方磚的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．
本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率．
 11.【答案】 【解析】解：數(shù)據(jù)，，，的眾數(shù)是，
故答案為：．
根據(jù)眾數(shù)的定義一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)得出即可．
本題考查了眾數(shù)的定義，能熟記眾數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：圓錐側(cè)面積．
故答案為．
利用扇形的面積公式計算圓錐側(cè)面積．
本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
 13.【答案】 【解析】解：，是方程的兩個根，
，，
，
故答案為：．
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)一步求解即可．
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：是半圓的直徑，
，
，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
，
故答案為：．
先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而利用直角三角形的兩個銳角互余求出，然后利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：對于直線，當(dāng)時，，
故直線恒經(jīng)過點，記為點，

過點作軸于點，
則有，，，
點，
，
，
由于過圓內(nèi)定點的所有弦中，與垂直的弦最短，如圖所示，
因此運(yùn)用垂徑定理及勾股定理可得：
的最小值．
故答案為：．
易知直線過定點，運(yùn)用勾股定理可求出，由條件可求出半徑，由于過圓內(nèi)定點的所有弦中，與垂直的弦最短，因此只需運(yùn)用垂徑定理及勾股定理就可解決問題．
本題主要考查了垂徑定理、直線上點的坐標(biāo)特征、勾股定理等知識，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過點以及運(yùn)用“過圓內(nèi)定點的所有弦中，與垂直的弦最短”這個經(jīng)驗是解決該選擇題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以，
則，
則



．
故答案為：．
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，則，然后代入即可求解．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出一般形式再進(jìn)行代入求值．
 17.【答案】解：，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 【解析】先把方程兩邊開方得到，然后解兩個一次方程即可；
先移項得到，然后利用因式分解法解方程．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接開平方法解一元二次方程．
 18.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意知，，
解得，
故答案為：；

甲成績排序后最中間的兩個數(shù)據(jù)為和，
所以甲成績的中位數(shù)是；
乙成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的為，
故乙成績的眾數(shù)是；

乙成績的方差為，
甲和乙的平均成績都是環(huán)，而甲成績的方差小于乙成績的方差，
甲的成績更為穩(wěn)定．
根據(jù)平均數(shù)的定義列出關(guān)于的方程，解之即可；
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；
先計算出乙成績的方差，再根據(jù)方差的意義判斷即可．
本題考查了方差、中位數(shù)以及眾數(shù)，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
 19.【答案】 【解析】解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示：
由平面直角坐標(biāo)系可知，
圓心點的坐標(biāo)為，
故答案為：．
根據(jù)給出的點的坐標(biāo)畫出平面直角坐標(biāo)系；
根據(jù)垂徑定理、三角形外心的性質(zhì)解答．
本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：由題意知，抽得的卡片恰好為“花樣滑冰”的概率為；
根據(jù)題意作樹狀圖如下：

抽取的卡片中有“高山滑雪”的概率為． 【解析】根據(jù)概率公式得出結(jié)論即可；
畫出樹狀圖得出結(jié)論即可．
本題主要考查概率的知識，熟練根據(jù)樹狀圖求概率是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：是的直徑，
，
，
；
是的直徑，
，
，
，
在中，
． 【解析】本題考查了圓周角定理、勾股定理、含角的直角三角形．
根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余可計算出的度數(shù)；
利用含度的直角三角形的性質(zhì)得出，再利用勾股定理求解即可．
 22.【答案】解：，
根據(jù)題意得，
解得；
，
，
，，
，
，
，
． 【解析】先把方程化為一般式得到，根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可得到的取值范圍；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和的取值范圍得到，，則可判斷，，所以有得到，然后根據(jù)判別式的意義確定的值．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．
 23.【答案】解：與相切，理由如下：
如圖連接，

，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
與相切于點，
，
，
又點在圓上，
與相切． 【解析】連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)由推出，，從而得到，再結(jié)合圖形利用全等三角形的判定定理得到≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出，從而利用切線的性質(zhì)及判定進(jìn)行證明即可．
本題考查切線的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵連接，從而根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法．
 24.【答案】 【解析】解：定價每減少元，銷售量將增加個，
定價每減少元，銷售量將增加個，
當(dāng)時，此時可以售出：個．
故答案是：；
設(shè)該商品每個應(yīng)降價元，由題意得：
，
解得：，舍去，
則元．
答：該商品每個應(yīng)定價元．
根據(jù)“定價每減少元，銷售量將增加個”解答；
首先設(shè)該商品每個應(yīng)降價元，則每個實際盈利為元，銷售量為件，用每個盈利銷售量每天盈利，列方程求解．為了擴(kuò)大銷售量，應(yīng)取較小值．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】證明：和是外角，
，，
，，
；
解：連接，
四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，
，
，
，
，
，
，，
，
即． 【解析】由，再根據(jù)對頂角相等和三角形外角的性質(zhì)容易證得；
連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，則，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有，即，再解方程即可．
本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．
 26.【答案】 【解析】解：，
，
解得：，，
故方程的衍生點的坐標(biāo)為．
故答案為：；
，
不論為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根，
，
解得：，，
故方程的衍生點為．
如圖，直線：與軸交于點，
則，
由得，，
令，，
，
點在直線上，剛好和的邊交于點，
令，則，
，
；
．
因式分解法解方程，求得方程的解即可求得；
，即可得出結(jié)論；
先確定出點的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷出點在在直線上，借助圖象即可得出結(jié)論．
本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，兩條直線相交問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
 27.【答案】 【解析】初步探索證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，
，
，
、、三點在同一條直線上，
，
是等邊三角形，
，
，
是等邊三角形，
，
；
是的弦，且的半徑為，
當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時，，此時的值最大，
的最大值是，
故答案為：．
類比遷移解：如圖，，，
是的直徑，且圓心在上，
，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，則，，，
，
，
、、三點在同一條直線上，
，
，
當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時，，此時的值最大，
，
的最大值是，
，
周長的最大值是．
拓展延伸解：如圖，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，
，，
，
連接、，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
的最小值為．
初步探索由旋轉(zhuǎn)得，，，則，所以、、三點在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；當(dāng)是的直徑時，，此時的值最大，所以的最大值是；
類比遷移先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點在同一條直線上，則，當(dāng)是的直徑時，，此時的值最大，則，即可求得周長的最大值是；
拓展延伸連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．
此題重點考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 

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2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市東臺市第二教育聯(lián)盟九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市東臺市第二教育聯(lián)盟九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析），共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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