重慶南開中學高2023屆高三九月考數(shù)學考試一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設復數(shù)，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由已知復數(shù)寫出其共軛復數(shù)，利用復數(shù)除法化簡.【詳解】由題設，故.故選：C2. 命題的否定是（）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即得.【詳解】命題的否定是.故選；C.3. 設集合，且，則a的取值范圍是（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先化簡集合，再由并集的定義求解即可【詳解】因為或，，，所以，故選：D4. 若曲線在點處的切線方程為，則（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義有，且，即可求出參數(shù)a.【詳解】由題設，則，又，所以，故.故選：B5. 橙子輔導中學的高一?二?三這三個年級學生的平均身高分別為，若按年級采用分層抽樣的方法抽取了一個600人的樣本，抽到高一?高二?高三的學生人數(shù)分別為100?200?300，則估計該高中學生的平均身高為（）A B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由分層抽樣的定義結合平均數(shù)的計算公式即可得出答案.【詳解】設橙子輔導中學的總人數(shù)為，由題意知，高一?高二?高三的學生總人數(shù)分別為：，所以估計該高中學生平均身高為：.故選：A.6. 若，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷出，再根據(jù)函數(shù)單調性判斷出，從而求出答案.【詳解】由基本不等式得：，所以，因為單調遞增，所以，所以故選：B.7. 圓上一點發(fā)出的光線經軸反射后經過點，則光線從點到點的最短路程為（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設點關于軸的對稱點為，求出圓心的坐標以及圓的半徑，作出圖形，分析可知光線從點到點的最短路程，即可得解.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑長為，如下圖所示：設點關于軸的對稱點為，設反射光線交軸于點，，則，所以，光線從點到點的路程為，光線從點到點的最短路程為.故選：B.8. 公元年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的開立圓術.祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理，我們可以應用此原理將一些復雜幾何體轉化為常見幾何體的組合體來計算體積.如圖，將雙曲線與直線所圍成的平面圖形繞雙曲線的實軸所在直線旋轉一周得到幾何體，下列平面圖形繞其對稱軸（虛線所示）旋轉一周所得幾何體與的體積相同的是（）A. 圖①，長為?寬為的矩形的兩端去掉兩個弦長為?半徑為的弓形B. 圖②，長為?寬為的矩形的兩端補上兩個弦長為?半徑為的弓形C. 圖③，長為?寬為的矩形的兩端去掉兩個底邊長為?腰長為的等腰三角形D. 圖④，長為?寬為的矩形的兩端補上兩個底邊長為?腰長為的等腰三角形【答案】B【解析】【分析】將所有圖形均以矩形的中心為原點，以對稱軸為軸建立平面直角坐標系，根據(jù)在軸的最短和最長距離與雙曲線實軸長和幾何體母線長對比可排除③④；假設，與雙曲線相交后旋轉，可求得圓環(huán)面積；分別在①②中求得與圖形相交所得的弦長，根據(jù)旋轉后的圓環(huán)面積和圓面積是否與已知的圓環(huán)面積相等來判斷出結果.【詳解】由得：，則當與相交于兩點時，內圓半徑，則在該位置旋轉一周所得圓環(huán)面積為；將所有圖形均以矩形的中心為原點，以對稱軸為軸建立平面直角坐標系，對于③，雙曲線實軸長為，③中軸的最短距離為，不合題意，③錯誤；對于④，幾何體母線長為，④中軸的最長距離為，不合題意，④錯誤；對于①，在軸的最短距離為，母線長為，與幾何體吻合；當與①中圖形相交時，兩交點之間距離為，此時圓環(huán)面積為，不合題意，①錯誤對于②，在軸的最長距離為，矩形高為，與幾何體吻合；當與②中圖形相交時，兩交點之間距離為，此時圓面積為，與圓環(huán)面積相同，滿足題意，②正確.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題以祖暅原理為載體，考查了旋轉體截面面積的求解問題；解題關鍵是能夠充分理解祖暅原理，根據(jù)直線與平面圖形的相交弦來確定旋轉后所得的圖形，并求得圖形面積，根據(jù)“冪勢既同，則積不容異”來得到結論.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 已知角的終邊落在第二象限，則下列不等式一定成立的是（）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】由題設可得，，結合三角函數(shù)的性質及各選項描述即可判斷正誤.【詳解】由題設，，故，，所以在第一象限右上部分或第三象限左下部分（不含邊界），故符號不定且與大小不定，而，.所以A、C錯誤，B、D正確.故選：BD10. 已知數(shù)列滿足：函數(shù)的圖象經過點，設數(shù)列的前n項和為，則下列命題中的真命題是（）A. 若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列B. 若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列C. 若是單增數(shù)列，則是單增數(shù)列D. 若是單增數(shù)列，則是單增數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義可判斷AB，利用特值可判斷CD.【詳解】若為等差數(shù)列，則有，則有，故為等比數(shù)列，所以A正確；若為等比數(shù)列，因為，所以，則有，則有，則有，故為等差數(shù)列，所以B正確；設，則有，可知單增，但不單增，故C錯誤；設，則有，則為單增數(shù)列，但，所以是單增數(shù)列不成立，故D錯誤.故選：AB.11. 在棱長為3的正方體中，點在棱上運動（不與頂點重合），則點到平面的距離可以是（）A.  B.  C. 2 D. 【答案】CD【解析】【分析】利用坐標法，設，可得平面的法向量，進而即得.【詳解】以D為原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，設，所以，，設為平面的法向量，則有：，令，可得，則點到平面的距離為，因為，所以距離的范圍是.故選：CD.12. 已知，則（）A.  B.  C.  D. 若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)各個選項中的不等式，通過構造新函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性，再結合特例法進行判斷即可.【詳解】因為，所以，設函數(shù)，，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以A選項錯誤；因為，所以由，設函數(shù)，，當時，，函數(shù)單調遞增，所以B選項正確；因為，設函數(shù)，所以，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以，即，因為，所以，因此，所以C選項正確.令，則有，又令，所以，顯然不成立，所以D選項錯誤，故選：BC【點睛】方法點睛：不等式是否成立可以通過構造函數(shù)利用導數(shù)的性質來進行判斷.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知，則___________.【答案】##0.28【解析】【分析】利用倍角余弦公式求得，由誘導公式，即可求值.【詳解】，而.故答案為：14. 已知拋物線的焦點為 ， 為拋物線上第一象限內一點，直線與軸交于點，且，則直線的斜率為___________.【答案】【解析】【分析】由題意可設、、的坐標，運用可解出，利用拋物線解析式可得，由斜率公式解出即可.【詳解】由題意可設，，，，，為拋物線上第一象限內一點直線的斜率為；直線的斜率為：故答案為：.15. 將6名同學分成兩個學習小組，每組至少兩人，則不同分組方法共有___________種.【答案】25【解析】【分析】根據(jù)題意分兩類：一是一組2人，一組4人，另一個是兩組均為3人，求出各類的方法數(shù)，再利用分類加法原理求解即可.【詳解】由題知，6人分為兩組共有兩種分法：（1）一組2人，一組4人：這種分法數(shù)為種；（2）兩組均為3人：這種分法數(shù)為種，所以，由分類加法原理可得共有25種分法.故答案為：2516. 已知平面向量滿足，則在方向上的投影的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】法一：由題意可知A，B在以原點為圓心，半徑分別為1，2的圓上運動，所以，當與反向時，投影最小，即可求出答案.法二：由題意，求出，由向量投影的定義表示出在方向上的投影，即可求出答案.【詳解】法一：設，因為平面向量滿足則有A，B在以原點為圓心，半徑分別為1，2的圓上運動，則，當與反向時，投影最小，可設，所以，投影為.法二：設，則，則在方向上的投影為，所以投影最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17. 已知數(shù)列的前n項和，為是公差為1的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求；（2）設，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用題意假設即，則能求出，結合成等比數(shù)列即可得到答案；（2）利用裂項相消法即可求解【小問1詳解】因為為是公差為1的等差數(shù)列，所以設，則有，所以，由成等比數(shù)列可得即，解得，故；【小問2詳解】，設數(shù)列的前n項和為，所以18. 的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為BC邊上一點，，且，（1）求b；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，得到的關系式，再用余弦定理求出；（2）先求出的面積，進而利用，求出的面積.【小問1詳解】因為，所以，因為在中，，所以，因為，則在中：，所以；【小問2詳解】因為，，所以.19. 冬奧會在我國圓滿結束，越來越多的人們喜歡冰雪運動，公眾號山城學術圈為了研究喜愛滑雪是否與性別有關，對橙子輔導的200位居民進行問卷調查，根據(jù)統(tǒng)計結果得到如下列聯(lián)表： 喜愛滑雪不喜愛滑雪合計男性 40 女性70  合計  200已知從接受問卷調查的200位橙子輔導社區(qū)居民中任選一人，選到喜歡滑雪的居民的概率為0.65.（1）是否有的把握認為人們喜愛滑雪與性別有關？（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從接受問卷調查且不喜愛滑雪的居民中隨機抽取7人認定為該滑雪館的免費會員，若從這7名免費會員中隨機抽取3人進行滑雪培訓，記抽到的3人中有位女士，求的分布列與數(shù)學期望.附：，其中0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828 【答案】（1）沒有的把握認為二者有關（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）依題意完善列聯(lián)表，再計算出卡方，即可判斷；（2）首先由分層抽樣求出男、女的人數(shù)，則的可能取值分別為，，，，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望.【小問1詳解】解：由題可知，喜歡滑雪的人有，所以列聯(lián)表如下： 喜愛滑雪不喜愛滑雪合計男性6040100女性7030100合計13070200所以，所以沒有的把握認為二者有關；【小問2詳解】解：由題知：抽取的7人中男性有人，女性有人，所以的所有可能取值分別為，，，，所以，，，，所以的分布列為：0123故的數(shù)學期望.20. 如圖，在三棱柱中，，D是棱的中點.（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由三線合一證明線線垂直，進而證明線面垂直，得到平面，從而證明；（2）作出輔助線，由三棱錐的體積求出，方法一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求解二面角；方法二：作出輔助線，找到二面角的平面角，再求解余弦值.【小問1詳解】取BC中點O，連接AO，,,因為,所以,因為，，所以，所以，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以；【小問2詳解】連接，則平面即為平面，由（1）知平面，因為平面ABC，且平面，故平面平面ABC，平面平面，過O作于M，則平面ABC，過作于H，則平面，因為知，在中：，所以，所以，所以，法一：設，則，在中，所以，又，所以點M為線段的中點，以O為原點，分別以分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，，，設面的法向量為，則有，兩式相減得：，所以，令，可得：，所以，設面的法向量為，則有，解得：，令，解得：所以，設銳二面角為，則有.法二：過H做，連接，面，，則面，，則即為所求二面角.在中，，則，在中，，由可得：，，則，.21. 已知橢圓的離心率為，上頂點為D，斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，M為線段AB的中點，當點M的坐標為時，直線l恰好經過D點.（1）求橢圓C方程：（2）當l不過點D時，若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù)，求k的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由離心率可得，又因為即可求出，即可得出橢圓C的方程；（2）設直線為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到關于的一元二次方程，可表示出的坐標，即可表示出直線DM的斜率解得，因為l不過D點，則，再結合即可求出k的取值范圍.【小問1詳解】由題意知，離心率，所以，設，兩式相減得，所以；所以直線為，即，所以，橢圓方程為；【小問2詳解】設直線為，由得，則，，，所以，解得，，因為l不過D點，則，即則，化簡得，解得，，所以或.22. 設函數(shù).（1）若恒成立，求a的值；（2）當且時，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1），用導數(shù)法研究即可；（2）由（1）可知恒成立，令，所以，再用累加法求解即可證明【小問1詳解】令，則有，，若，則存在，使得在上單調遞增，所以，矛盾；若，則存在，使得在上單調遞減，所以，矛盾；若即，，在上單減，在上單增，故，符合；綜上，【小問2詳解】由（1）知，當時，恒成立，即恒成立，當且僅當時取等.令，所以，，兩邊累加即即證【點睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：（1）恒成立?；（2）恒成立?；.
 

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