玉溪一中2022—2023學(xué)年上學(xué)期高二年級期中考 數(shù)學(xué)學(xué)科試卷總分：150分  考試時間：120分鐘   命題人：試題研究中心  審題人： 試題研究中心 注意事項：1.答卷前,考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、班級、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。一、單選題：本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),,則(    ) A.        B.       C.          D.2.若經(jīng)過,兩點的直線的傾斜角是,則(    )   A.          B.            C.              D.3.若構(gòu)成空間的一個基底,則下列向量共面的是(    )A.,,  B.,,  C.,,  D.,, 4.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼,已知各人能破譯的概率分別是,,求密碼被成功破譯的概率(    )   A.           B.            C.             D.      5.已知,若,,,則(    )A.      B.       C.        D.      6.已知圓錐的表面積為,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓,則這個圓錐底面的面積為(    )    A.             B.             C.             D.7.已知圓,直線經(jīng)過點,則直線被圓截得的最短弦長為(    )A.              B.               C.               D.  8.如圖,平行六面體的底面是菱形,,且,則異面直線與所成角的余弦值為（      ）A.            B.         C.          D.  二、多選題：本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的,漏選得3分,錯選不得分。9.某市為了考察一所高中全體學(xué)生參與第六屆全國中小學(xué)生“學(xué)憲法,講憲法”憲法小衛(wèi)士活動的完成情況,對本校2000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計,按照[50,60）、[60,70）、…、[90,100]分成5組,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖,下列說法正確的是 （      ）A．圖中的值為0.020B．由直方圖中的數(shù)據(jù),可估計75%分位數(shù)是82C．由直方圖中的數(shù)據(jù),可估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77D．90分以上將獲得金牌小衛(wèi)士稱號,則該校有20人獲得該稱號10.已知為任意實數(shù),當(dāng)變化時,關(guān)于方程的說法正確的是（      ）A.該方程表示的直線恒過點 B.當(dāng)且僅當(dāng)時,該方程表示的直線垂直于軸C.若直線與平行,則D.若直線與直線垂直,則         11.已知函數(shù),則（       ）A.函數(shù)的最大值為     B.當(dāng)時,的最小正周期為C.若是的一條對稱軸,則D.若在區(qū)間內(nèi)有三個零點,則12.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美,其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn),故也被稱作阿基米德體.如圖,這是一個棱數(shù)為24,棱長為的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點（包含端點）,則下列說法正確的是（   ）A.該半正多面體的體積為B.當(dāng)點運動到點時, C.當(dāng)點在線段上運動時（包含端點）,始終與垂直D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為    三、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分。13.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是             .14.若向量,滿足,,則的最大值為            .15.設(shè)空間兩個單位向量,與向量的夾角的余弦值都等于,則              .16.已知實數(shù)滿足,則的最大值為             . 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題10分）已知直線（1）已知直線經(jīng)過點,且與垂直,求的方程;（2）在上任取一點,在上任取一點,連接,取靠三等分點,過點作的平行線,求與之間的距離.   18.（本小題12分）在長方體中,,為上的動點,（1）求證：∥平面;（2）求與平面所成角的正弦值.    19.（本小題12分）在中,角的對邊分別為,已知（1）求角;（2）當(dāng)求的周長.  20.（本小題12分）已知圓內(nèi)有一點,為過點且傾斜角為的弦.（1）當(dāng)時,求的長;（2）若為的中點,求所在直線的方程.21.（本小題12分）如圖,在直三棱柱中,,,,分別是棱,上的動點;（1）當(dāng)時,求證：;（2）已知為中點時,線段上是否存在點,使得平面與平面夾角的余弦值為,若存在,請確定點的位置,若不存在,請說明理由.         22.（本小題12分）環(huán)保生活,低碳出行,電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.新能源汽車采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源,目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車,純電動汽車.為了提高生產(chǎn)質(zhì)量,有關(guān)部門在國道上對某型號純電動汽車進(jìn)行測試,國道限速,經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：（且）(1)當(dāng)時,請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（說明理由,并求所選函數(shù)模型的函數(shù)解析式;(2)根據(jù)（1）中所得函數(shù)解析式,求解如下問題：現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從地駛到地,前一段是的國道（汽車勻速行駛）,后一段是的高速路（汽車行駛速度不低于,勻速行駛）,若高速路上該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系滿足,則如何行使才能使得總耗電量最少,最少為多少？玉溪一中2022—2023學(xué)年上學(xué)期高二年級期中考 數(shù)學(xué)學(xué)科 參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。題號123456789101112答案DBDBCACDACABDACDBCD 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。  題號13141516答案 三、解答題：本大題共6小題，共70分。 （本小題10分）（1）設(shè)直線的方程為：,代入點,則有，,;···················································· 5分 （2）,直線與直線之間的距離,點是線段靠近點的三等分點,與之間的距離.······································ 10分  18.（本小題12分）（1）證：如圖,連接、,在長方體中,∥且,四邊形為平行四邊形,∥,又平面,平面,∥平面,同理∥平面,又,平面∥平面,又平面,∥平面;······························· 6分 （2）如圖，過點作垂足為,平面,平面,,又,平面,平面,平面,為直線與平面所成角,,,又,.····················· 12分  19.（本小題12分）（1）解：由已知得角化邊得,,,,,·································· 5分 （2）解：由（1）得,,,又由余弦定理得,,,,所以周長為.············································ 12分  20.（本小題12分）（1）由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓心的坐標(biāo)為,半徑,當(dāng)時，直線的斜率.所以直線的方程為,即.圓心到直線的距離.所以.········································ 6分（2）由（1）知圓心的坐標(biāo)為,為中點時,,,直線的斜率不存在,直線的方程為.················································· 12分 21.（本小題12分）（1）證：如圖，以為原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則················ 5分（2）設(shè),其中,則,故,設(shè)平面的法向量為,則,令，得,平面為平面，所以平面的法向量可為,假設(shè)存在點滿足條件,設(shè)平面與平面的夾角為,則,即,,符合題意,所以線段上存在點,滿足使得平面與平面夾角的余弦值為. ·····································································12分 22.（本小題12分）（1）若選,則當(dāng)時,該函數(shù)無意義,不合題意.若選,顯然該函數(shù)是減函數(shù),這與矛盾,不合題意.故選擇,有表中數(shù)據(jù)得,解得,所以當(dāng)時,.················ 5分（2）由題可知該汽車在國道路段所用時間為,所耗電量所以當(dāng)時,.該汽車在高速路段所用時間為所耗電量已知在上單調(diào)遞增,所以故當(dāng)該汽車在國道上行駛速度為,在高速路上的行駛速度為時,總耗電量最少,最少為.··································· 12分 

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