長(zhǎng)郡中學(xué)2022年下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共8頁。時(shí)量120分鐘。滿分150分。第Ⅰ卷一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．在數(shù)列中,且,則（    ）A． B． C． D．2．在棱長(zhǎng)為1的正方體中,（    ）A．1     B．     C．     D．23．在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A．  B．  C． D．4．在等比數(shù)列中,,若成等差數(shù)列,則的公比為（    ）A．5     B．4     C．3     D．25．若一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距之和為短軸長(zhǎng)的兩倍，則該橢圓的離心率為（    ）A．     B．     C．     D．6．已知某圓錐的母線長(zhǎng)為2，記其側(cè)面積為，體積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，母線與圓錐底面所成角的正弦值為（    ）A．     B．     C．     D．7．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)，則橢圓的面積為（    ）A．    B．    C．    D．8．如圖，在棱長(zhǎng)為 2 的正四面體中，點(diǎn)分別為和的重心,為線段上一點(diǎn)，則（    ）A．的最小值為2B．若平面，則C．若平面，則三棱錐外接球的表面積為D．若為線段的中點(diǎn)，且，則二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．已知直線，則（    ）A．直線過定點(diǎn)(-2,-1)B．當(dāng)時(shí),C．當(dāng)時(shí),D．當(dāng)時(shí),兩直線之間的距離為110．若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是（    ）A．B．C．(為常數(shù))D．11.“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)·商功》:“斜解立方,得兩塹堵,斜解塹堵,其一為陽馬,其一為鱉臑.”一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面斜解(圖1),得到一模一樣的兩個(gè)塹堵(圖2),再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解(圖2),得一個(gè)四棱錐稱為陽馬(圖3),一個(gè)三棱錐稱為鱉臑(圖4).若長(zhǎng)方體的體積為，由該長(zhǎng)方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．        B．C．          D．12．已知是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（    ）A．若，則的面積為B．若，則C．拋物線的準(zhǔn)線方程為D．若的中點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的投影為，則第Ⅱ卷三、填空題 (本大題共4小題,每小題5分,共20分)13．橢圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則與雙曲線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成三角形的周長(zhǎng)為_____.14．已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)_____.15．在平面直角坐標(biāo)系中,，若動(dòng)點(diǎn)在直線上，圓過三點(diǎn),則圓的面積最小值為_____.16．已知數(shù)列滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____,若數(shù)列 的前項(xiàng)和為，則滿足不等式的的最小值為_____.四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖，在棱長(zhǎng)是2的正方體中,分別為的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的大小;(2)證明:平面.18．(本小題滿分 12 分)已知曲線上任一點(diǎn)與點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等.(1)求曲線的方程;(2)求過定點(diǎn)，且與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程.19．(本小題滿分 12 分)在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為.(1)求邊上的中線所在直線的方程;(2)求的外接圓被直線截得的弦長(zhǎng).20．(本小題滿分 12 分)已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足的前項(xiàng)和為，證明: .21．(本小題滿分 12 分)如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形,是正三角形，且平面平面為棱的中點(diǎn),四棱錐的體積為.(1)若為棱的中點(diǎn),求證:平面;(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為?若存在,指出點(diǎn)的位置并給以證明; 若不存在，請(qǐng)說明理由.22．(本小題滿分 12 分)已知雙曲線的離心率為為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線過與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且當(dāng)垂直于軸時(shí),.(1) 求雙曲線的方程;(2)過點(diǎn)且垂直于的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
長(zhǎng)郡中學(xué)2022年下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案DBACBACDCDBCDADABD一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）8．D  【解析】  如圖，易得，，又，則平面CDE，又平面CDE，則，同理可得，，則平面ABD，又，平面ABD，所以，．則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，又，則最小值為，A錯(cuò)誤．在正四面體ABCD中，因?yàn)?/span>平面ABC，易得在DN上，所以，又點(diǎn)N，M也是和的內(nèi)心，則點(diǎn)為正四面體ABCD內(nèi)切球的球心．，．設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)?/span>，所以，解得，即，故，B錯(cuò)誤．設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，易得球心在直線DN上，且，如圖．則，解得，故三棱錐外接球的表面積為，C錯(cuò)誤．若為線段EN的中點(diǎn)，則，．設(shè)，則．因?yàn)?/span>，所以設(shè)，則解得故，D正確．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）12．ABD  【解析】  因?yàn)閽佄锞€，故，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，設(shè)，，對(duì)于A，如圖1，由拋物線的定義可知，即，故，代入，解得，所以，故A正確；對(duì)于B，由得，故，即，又，，故，得或（舍去），則，，故，故B正確；對(duì)于C，易知準(zhǔn)線為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖2，過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，連接MN，，在中，，，所以，即，故D正確．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．2414．115．  【解析】  如圖，要使圓的面積盡可能小，則，點(diǎn)位于第一象限，設(shè)，又，，所以線段AB的中垂線方程為，則圓心在直線上，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以，即，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，所以圓面積的最小值為，此時(shí)．16．；6（第一空2分，第二空3分）【解析】  在數(shù)列中，，由得，而，于是得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；顯然，，則，由得，即，令，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列，由，得，而，因此，，從而得，，所以滿足不等式的的最小值為6．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．【解析】  根據(jù)題意，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，∴，，，．（1），∴，∴異面直線EF和所成的角為60°．（2），∴，即，，∴，即．又∵，平面，且，∴平面．18．【解析】  （1）設(shè)的坐標(biāo)，由拋物線的定義可知，的軌跡為拋物線，且焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以的軌跡方程為．（2）當(dāng)直線過點(diǎn)，且斜率為0時(shí)，即直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為；當(dāng)過的直線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，顯然與拋物線相切；當(dāng)過的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理可得，則，即，解得，此時(shí)直線的方程為，綜上所述，滿足條件的直線的方程為或或．19．【解析】  （1）∵，，∴邊的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴中線AD的斜率為，∴中線AD的直線方程為，即．（2）設(shè)的外接圓的方程為，∵，，三點(diǎn)在圓上，∴解得∴外接圓的方程為，即，其中圓心為，半徑，又圓心到直線的距離為，∴被截得的弦長(zhǎng)的一半為，∴被截得的弦長(zhǎng)為．20．【解析】  （1），，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，由得，即，滿足上式，因此，，于是得數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，而，則，即，則，，兩式相減得，所以．21．【解析】  （1）如圖，取SC中點(diǎn)，連接EF，FD，∵E，F分別為SB，SC的中點(diǎn)，∴，，∵底面四邊形ABCD是矩形，為棱AD的中點(diǎn)，∴，，∴，，故四邊形PEFD是平行四邊形，∴．又∵平面，平面SCD，∴平面SCD．（2）假設(shè)在棱SA上存在點(diǎn)滿足題意，在等邊中，為AD的中點(diǎn)，∴，又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，∴平面ABCD，則SP是四棱錐的高．設(shè)，則，，∴，解得．以點(diǎn)為原點(diǎn)，，的方向分別為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，．設(shè)，∴．設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為，則取．易知平面SAD的一個(gè)法向量為，∴，∵，∴，故存在點(diǎn)，位于AS靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿足題意．22．【解析】  （1）依題意，，當(dāng)垂直于軸時(shí)，，即，即，解得，，因此雙曲線的方程為．（2）設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，得，當(dāng)時(shí)，，，，，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，因?yàn)橹本€PQ與雙曲線右支相交，因此，即，同理可得，依題意，同理可得，，而，代入，，，分離參數(shù)得，，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，由，，所以，綜上可知，的取值范圍為．       

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