2023屆北海市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.回答選考題時(shí)，考生須按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.5.本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則等于（    ）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，若z為純虛數(shù)，則（    ）A.-3 B. C.3 D.03.在等差數(shù)列中，，，則（    ）A.19 B.18 C.17 D.204.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v（單位：），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究發(fā)現(xiàn).當(dāng)時(shí)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為800.當(dāng)時(shí)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為（    ）A.12800 B.24800 C.25600 D.512005.如圖所示幾何體是底面直徑為2，高為3的圓柱的上底面挖去半個(gè)球，則該幾何體的表面積為（    ）A. B. C. D.6.如右圖所示，陰影部分由四個(gè)全等的三角形組成，每個(gè)三角形是腰長等于圓的半徑，頂角為的等腰三角形.如果在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)落到陰影部分內(nèi)的概率為，則（    ）A. B. C. D.7.已知角滿足，則（    ）A. B. C. D.8.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若，則的解集為（    ）A.  B.C.  D.9.已知，，若，恒成立，則正數(shù)m的最小值是（    ）A. B.1 C. D.e10.已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，已知在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A. B. C. D.11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則數(shù)列的前81項(xiàng)的和為（    ）A.1640 B.1660 C.1680 D.170012.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離比到直線的距離少，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線，與直線分別相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則直線的斜率為（    ）A.1或 B.1或2 C.或2 D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量是單位向量，向量，且，則與的夾角為_____________.14.的展開式中的系數(shù)為_____________.15.如圖，已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，正六邊形的一邊的中點(diǎn)恰好在雙曲線M上，則雙曲線M的離心率是_____________.16.如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為_____________.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分、17.（本小題滿分12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，求周長的最大值.18.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，F為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值.19.（本小題滿分12分）某校為了了解學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的時(shí)間收集了相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，學(xué)生完成數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)間的范圍是.其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，.（1）求直方圖中x的值；（2）以直方圖中的頻率作為概率，從該校學(xué)生中任選4人，這4名學(xué)生中完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且橢圓C的離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）相互垂直且斜率存在的直線，都過點(diǎn)，直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)且和曲線相切的直線方程；（2）若對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo).23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2023屆北海市高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)（理科）參考答案、提示及評分細(xì)則1.D  ∵，∴.2.C  由且，可知.3.  C由，有，可得.4.D  因?yàn)?/span>時(shí)，，故，所以，故時(shí)，，即.故選D.5.B  幾何體的表面積為.6.A  設(shè)圓的半徑為，圓的面積為，四個(gè)三角形的面積為，有，解得，可得.7.A  由，得，，故選A.8.B  作出圖象，可知解集為.9.B  由，即，即.令，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.故選B.10.D  ，令，由題意在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，即在上恰有5個(gè)不相等的實(shí)根，由的性質(zhì)可得，解得.故選D.11.A  由，有.又由，可得，可得則數(shù)列的前81項(xiàng)的和為.12.A  因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到直線的距離少，所以拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知，即，所以拋物線的方程為.，設(shè)的方程為，，.聯(lián)立方程組整理得，由韋達(dá)定理知，.直線的方程為，聯(lián)立方程組所以，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，.所以，又由，有，解得或，故直線的斜率為1或.故選A.13.  由題意可知，，，，故，，即和的夾角為.14.9  ，展開式中的系數(shù)為.15.  設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，易得，，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以雙曲線的離心率.15.  如圖，設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，，，，，由，有，由可知，為三棱錐外接球的球心，有，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），故三棱錐外接球體積的最小值為.17.解：（1）由及正弦定理得，因?yàn)?/span>，……………………3分所以，因?yàn)?/span>，所以，，…………5分又，解得；……………………………………6分（2）∵，，即，………………8分所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，……………………10分所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以周長的最大值為.………………………………12分18.（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接，，…………………………1分∵，，∴且，…………………………2分∵，，∴，且……………………3分∴四邊形是平行四邊形，∴，………………………………4分∵，平面，平面，∴平面；………………5分（2）解：由，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下，，，，，，，……………………………………6分設(shè)平面的法向量為，由，，有取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，……8分設(shè)平面的法向量為，由，，有取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，……10分有，，，可得，故平面與平面的二面角的正弦值為.……………………12分19.解：（1）由直方圖可得，解得；……3分（2）X的可能取值為0，1，2，3，4.…………………………4分由直方圖可知，每位學(xué)生完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為，……………………5分，………………………………6分，…………………………7分，………………………………8分，………………………………9分.……………………………………10分所以的分布列為01234……………………………………11分.……………………………………12分20.（1）解：設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為、，由題意有解得…………………………3分故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；………………………………4分（2）證明:設(shè)直線的斜率為，可得直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立方程消除后有，有，可得，，…………………………………………6分同理，，…………………………8分由對稱性可知直線所過的定點(diǎn)T必定在x軸上，設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，…………9分有，有，化簡得，解得，故直線過定點(diǎn).………………………………12分21.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)辄c(diǎn)沒有在曲線上，故不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，直線斜率為，……1分則切線方程為，又因?yàn)樵撝本€過點(diǎn)，所以，即，…………………………3分記，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，又，∴，故切線方程為；………………………………4分（2）當(dāng)時(shí)，由可得，即，……………………8分構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在R上為增函數(shù)，由可得，所以，即，其中，……………………………10分令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即.………………………………12分22.解：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程為，……3分直線l的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為；………5分（2）聯(lián)立方程…………………………6分解得或………………………………………………8分故點(diǎn)A，B的直角坐標(biāo)分別為，，可得點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B的極坐標(biāo)為.……………………10分23.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式化為，∴，此時(shí)；………………1分當(dāng)時(shí)，不等式化為，恒成立，此時(shí)；…………2分當(dāng)時(shí)，不等式化為，∴，此時(shí)，…………3分綜上所述，不等式的解集為；………………………………4分（2），…………6分若，則，………………7分當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；………………………8分當(dāng)時(shí)，不等式，兩邊平方可得，解得，∴，…9分綜上可得，a的取值范圍是.………………………………10分
 

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