西安中學(xué)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試                高二 理科數(shù)學(xué)試題 一、選擇題：(本題共12小題，每題3.5分，共42分．每題有且只有一個(gè)正確答案, 直接將答案填寫(xiě)在指定位置)1．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，2．為了解戶籍和性別對(duì)生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各人；男性人，女性人.繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對(duì)應(yīng)比例，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（    ） A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)B．是否傾向選擇生育二胎與性別無(wú)關(guān)C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)3．已知平面的法向量為，點(diǎn)不在內(nèi)，則直線與平面的位置關(guān)系為（    ）A．         B．      C．與相交不垂直     D．4．2021年9月在西安舉行了第十四屆全運(yùn)會(huì)，西安中學(xué)體育館承辦了男子排球U20的比賽，這是全運(yùn)會(huì)歷史上第一次進(jìn)入一所高中校園．為了讓中學(xué)生也能在家門口看全運(yùn)，濃厚校園體育氛圍，學(xué)校采用分層抽樣的方法從高一1200人、高二1450人、高三n人中，抽取80人觀看排球決賽，已知高一被抽取的人數(shù)為24，那么高三年級(jí)人數(shù)n為（    ）A．1250                         B．1300             C．1350                           D．1400  5．如右圖，空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，則（    ）A．                          B．C．                          D．6．如右圖的程序框圖所描述的算法稱為歐幾里德輾轉(zhuǎn)相除法．若輸入，則輸出的的值為（    ）A．0                             B．11        C．22                            D．887．已知是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，，且當(dāng)時(shí)，的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A．                   B．      C．                   D．8．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則“”是“數(shù)列遞增”的（   ）A．充分而不必要條件              B．必要而不充分條件C．充分必要條件                  D．既不充分也不必要條件9．為了考察某校各班足球愛(ài)好者的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)愛(ài)好足球的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為（    ）A．9           B．10         C．11          D．1210．如圖，已知點(diǎn)是正方體的對(duì)角線的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（   ）A．  B．         C．        D．  11．現(xiàn)有A，B兩個(gè)不透明的袋子，分別裝有3個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中A袋裝有2個(gè)白球，1個(gè)紅球；B袋裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球．小明和小華商定了一個(gè)游戲規(guī)則：從搖勻后的A、B袋中各隨機(jī)摸出一個(gè)小球交換一下放入另一個(gè)袋子，若A、B袋中球的顏色沒(méi)有變化，則小明獲勝；若有變化，則小華獲勝．下面說(shuō)法正確的是（    ）A．小明獲勝概率大   B．小華獲勝概率大   C．游戲是公平的   D．獲勝概率大小不能確定12．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，小明同學(xué)通過(guò)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：首先利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間內(nèi)生成隨機(jī)數(shù)的方法取出n個(gè)三元有序數(shù)組（其中），滿足；然后計(jì)算出上面n個(gè)三元有序數(shù)組中一共有m個(gè)滿足不等式．依此估計(jì)圓周率（   ）A．     B．              C．    D．二、填空題：（本題共4小題，每題3.5分，共14分）13．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各10名同學(xué)的身高（單位：cm）．則這兩組數(shù)據(jù)方差較小的是_________組．  14．已知命題p：利用系統(tǒng)抽樣的方法從100個(gè)人中抽取5人，需要分成20組，組距為5；命題q：利用最小二乘法求得的線性回歸方程過(guò)樣本的平均點(diǎn)．對(duì)于命題①；②；③；④．其中為真命題的序號(hào)為______________．15．設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F． 若，則橢圓的離心率為______________．16．在直三棱柱中，底面ABC為直角三角形,,. 已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．若，則線段的長(zhǎng)度的最小值為______________．三、解答題：（本題共6小題，17題和18題每題6分，19-22題每題8分，共44分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，在答題卷中相應(yīng)位置作答）17．（本小題滿分6分）100名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示．回答下列問(wèn)題：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)這次考試的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）．   18．（本小題滿分6分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，已知P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，三角形周長(zhǎng)為定值．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若P的軌跡上有一點(diǎn)滿足，求的值．19．（本小題滿分8分）如圖，在斜三棱柱中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，平面．已知,．（1）求證：； （2）求與平面所成角的正弦值．   20．（本小題滿分8分）偏差是指?jìng)€(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差，在成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，我們把某個(gè)同學(xué)的某科考試成績(jī)與該科班平均分的差叫某科偏差（實(shí)際成績(jī)平均分偏差）．在某次考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，某老師為了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差（單位：分）與物理偏差（單位：分）之間的關(guān)系進(jìn)行分析，隨機(jī)挑選了8位同學(xué)，得到他們的兩科成績(jī)偏差數(shù)據(jù)如下：學(xué)生序號(hào)12345678數(shù)學(xué)偏差20151332-5-10-18物理偏差6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5（1）若與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）若該次考試該數(shù)學(xué)平均分為120分，物理平均分為91.5分，試由（1）的結(jié)論預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>128分的同學(xué)的物理成績(jī)．（下面是參考數(shù)據(jù)和參考公式）回歸直線方程為，其中21．（本小題滿分8分）陜西省高考綜合改革從2022年開(kāi)始實(shí)施，新高考將實(shí)行“3+1+2”模式，其中3表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科必選，1表示從物理、歷史兩科中選一科，2表示從化學(xué)、生物、政治、地理中選兩科．假設(shè)學(xué)生在選科中，選擇每門首選科目（物理和歷史）的機(jī)會(huì)均等，選擇每門再選科目（化學(xué)、生物、政治、地理）的機(jī)會(huì)也均等，回答下列問(wèn)題：（1）求某位學(xué)生選修科目是原來(lái)的理科（物化生）或文科（史地政）的概率；（2）某大學(xué)的一個(gè)熱門人文專業(yè)的招生簡(jiǎn)章要求，僅允許選修了歷史科目，且在地理和政治2門中至少選修了1門的考生報(bào)名．下表是隨機(jī)抽取了某校10位學(xué)生的選科意向的數(shù)據(jù)：        選科物化生物生地史地政史地生史化生人數(shù)31321如果這10位學(xué)生按照上表意向選擇新高考科目，那么從這10人中抽取2人，求至少有一人有報(bào)考這個(gè)人文專業(yè)資格的概率．   22．（本小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，，，，，分別為的中點(diǎn)，．（1）求證：平面⊥平面；（2）設(shè)，若平面與平面所成銳二面角，求的取值范圍．
西安中學(xué)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試                高二 理科數(shù)學(xué)答案 一、選擇題：（3.5分×12=42分）題號(hào)123456789101112答案DCDCCBABBDBA二、填空題（3.5分×4=14分）13．乙；    14．①③ ；    15．；   16．．三、解答題（共6個(gè)小題，17,18每題6分，19-22每題8分，共44分）17．（本小題滿分6分）解：（1）由頻率分布直方圖知組距為10，頻率總和為1，所以有，（0.01+0.015+0.03++0.01+a）×10＝1，解得a＝0.035． ……3分（2）前兩個(gè)小矩形面積為0.01×10＋0.015×10＝0.25．第三個(gè)小矩形的面積為0.035×10=0.35∵中位數(shù)要平分直方圖的面積．……6分18．（本小題滿分6分）解:（1）；……3分（2）點(diǎn)滿足，則有，且，，，即①，而點(diǎn)在橢圓上，則②，取立①②消去，得，所以．……6分 19．（本小題滿分8分） 解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則,,,,……1分（1）,,,……3分(2)設(shè),設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，令，得……6分與平面所成角的正弦值為． ……8分20．（本小題滿分8分）解：（1）由題意，，……1分，……2分，……4分所以，故線性回歸方程為．……5分（2）由題意，設(shè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?/span>，則物理偏差為：．而數(shù)學(xué)偏差為128-120=8，∴，解得，所以，可以預(yù)測(cè)這位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?/span>94分．……8分 21．（本小題滿分8分）解：簡(jiǎn)答（1）；……4分（2）．……8分（建議：學(xué)生無(wú)論是枚舉還是乘法原理都可以）22．（本小題滿分8分）解：（1），分別為的中點(diǎn)，為矩形， ,又面,面,平面⊥平面……3分（2）,又，又,所以面, 建系為軸，為軸，為軸,，,……4分平面法向量，……5分平面法向量……6分，……7分解得：．……8分

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