5.6　函數(shù)y＝Asin(ωx＋)的圖象和性質(zhì) 典例精析題型一　“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期為π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)，又因?yàn)?/span>T＝π，所以＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋)，所以函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的振幅為2，初相為.(2)列出下表，并描點(diǎn)畫出圖象如圖所示.[來(lái)源:..]　　(3)把y＝sin x圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y＝sin(x＋)的圖象，再把y＝sin(x＋)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，得到y＝sin(2x＋)的圖象，然后把y＝sin(2x＋)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y＝2sin(2x＋)的圖象.【點(diǎn)撥】用“五點(diǎn)法”作圖，先將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，，π，，2π求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)，用平滑的曲線連接五個(gè)點(diǎn)，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象.[來(lái)源:..]
【變式訓(xùn)練1】函數(shù) 的圖象如圖所示，則(　　)A.k＝，ω＝，φ＝B.k＝，ω＝，φ＝C.k＝，ω＝2，φ＝D.k＝－2，ω＝，φ＝【解析】本題的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其中一個(gè)是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k＝.另一個(gè)函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)ω由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T＝4×(－)＝4π，故ω＝.將點(diǎn)(，0)代入解析式y＝2sin(x＋φ)，得×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.結(jié)合各選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A正確.[來(lái)源:..]題型二　三角函數(shù)的單調(diào)性與值域【例2】已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(1)求ω的值；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】(1)f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋.令2ωx＋＝，將x＝代入可得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，經(jīng)過(guò)題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)＝sin(x－)＋，當(dāng)x＝4kπ＋π，k∈Z時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值.令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，即[4kπ＋，4kπ＋π](k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱，則|φ|的最小值是(　　)A.     B.     C.     D.[來(lái)源:..數(shù)理化網(wǎng)]【解析】將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移個(gè)單位后得到y＝2sin[3(x－)＋φ]＝2sin(3x－＋φ)的圖象.因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱，所以2sin(3×－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，故有＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z).當(dāng)k＝0時(shí)，|φ|取得最小值，故選A.題型三　三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】已知函數(shù)y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)(1,2).(1)求φ的值；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝－cos(2ωx＋2φ)，因?yàn)?/span>y＝f(x)的最大值為2，又A＞0， 所以＋＝2，所以A＝2，又因?yàn)槠鋱D象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，ω＞0，所以×＝2，所以ω＝.所以f(x)＝－cos(x＋2φ)＝1－cos(x＋2φ)，因?yàn)?/span>y＝f(x)過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以cos(＋2φ)＝－1.所以＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，又因?yàn)?/span>0＜φ＜，所以φ＝.(2)方法一：因?yàn)?/span>φ＝，所以y＝1－cos(x＋)＝1＋sin x，[來(lái)源:....]所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，又因?yàn)?/span>y＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.方法二：因?yàn)?/span>f(x)＝2sin2(x＋φ)，所以f(1)＋f(3)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(＋φ)＝2，f(2)＋f(4)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，又因?yàn)?/span>y＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.【點(diǎn)撥】函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ，可得x＝，兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問(wèn)題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值為6，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為4，則f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝　　　　.【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×＋2＝＋＋2，則由題意知A＋2＝6，＝8，所以A＝4，ω＝，所以f(x)＝2cos x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…觀察周期性規(guī)律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.總結(jié)提高1.用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，關(guān)鍵是五個(gè)點(diǎn)的選取，一般令ωx＋φ＝0，，π，，2π，即可得到作圖所需的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整ωx＋φ的取值，以便列表時(shí)能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.2.在圖象變換時(shí)，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長(zhǎng)度單位是不同的，這是因?yàn)樽儞Q總是對(duì)字母x本身而言的，無(wú)論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.3.在解決y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)將ωx＋φ視為一個(gè)整體x后再與基本函數(shù)y＝sin x的性質(zhì)對(duì)應(yīng)求解.  

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