2020張掖臨澤一中高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題含答案

這是一份2020張掖臨澤一中高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題含答案，共9頁。試卷主要包含了已知復(fù)數(shù)，已知復(fù)數(shù)z滿足，則，設(shè)，，則，用數(shù)學(xué)歸納法證明，函數(shù)的部分圖象大致為，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量等內(nèi)容，歡迎下載使用。
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
測試范圍： 選修2-2．
一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．1B．-1C．D．
2．曲線與軸所圍成的封閉圖形的面積為（ ）
A．2B．C．D．4
3．已知復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A．B．C．D．
4．利用反證法證明“若，則”時，假設(shè)正確的是（ ）
A．都不為2B．且都不為2
C．不都為2D．且不都為2
5．設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
6．若曲線上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，那么整數(shù)等于（ ）
A．0B．1C． D．
7．歐拉公式eix＝cs x＋isin x(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
8．用數(shù)學(xué)歸納法證明（，）成立時，第二步歸納假設(shè)的正確寫法為（ ）
A．假設(shè)時，命題成立B．假設(shè)（）時，命題成立
C．假設(shè)（）時，命題成立D．假設(shè)（）時，命題成立
9．函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量（為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（ ）
A．B．C．D．
11．定義方程的實根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)，，的“新駐點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
12．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是 （是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，是常數(shù)），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（ ）
A．8萬斤B．6萬斤C．3萬斤D．5萬斤
二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．一輛汽車沿直線方向行駛，剎車后汽車速度（v的單位：m/s，t的單位：s），則該汽車剎車后至停車時的距離為____________米.
14．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則____.
15．在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式________________________________成立.
16．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個零點(diǎn)，則實數(shù)的的取值范圍是__________．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）若，求復(fù)數(shù)的模．
18．（12分）已知（i為虛數(shù)單位），求：
（1）；
（2）；
（3）類比，探討（，為虛數(shù)）的性質(zhì)，求的值.
19．（12分）已知是二次函數(shù)，方程有兩個相等的實根，且.
（1）求的解析式．
（2）求曲線與曲線所圍成的圖形的面積.
20．（12分）某地環(huán)保部門跟蹤調(diào)查一種有害昆蟲的數(shù)量．根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，該昆蟲的數(shù)量（萬只）與時間（年）（其中）的關(guān)系為．為有效控制有害昆蟲數(shù)量、保護(hù)生態(tài)環(huán)境，環(huán)保部門通過實時監(jiān)控比值（其中為常數(shù)，且）來進(jìn)行生態(tài)環(huán)境分析．
（1）當(dāng)時，求比值取最小值時的值；
（2）經(jīng)過調(diào)查，環(huán)保部門發(fā)現(xiàn)：當(dāng)比值不超過時不需要進(jìn)行環(huán)境防護(hù)．為確保恰好3年不需要進(jìn)行保護(hù)，求實數(shù)的取值范圍．（為自然對數(shù)的底，）
21．（12分）某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t百萬元，可增加銷售額約為百萬元.
（Ⅰ）若該公司將一年的廣告費(fèi)控制在4百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費(fèi)，才能使該公司由此增加的收益最大？
（Ⅱ）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入5百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費(fèi)百萬元，可增加的銷售額約為百萬元，請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此增加的收益最大.
（注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費(fèi)和技術(shù)改造費(fèi)，不考慮其他的投入）
22．（12分）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，求的最小值.
高二理科數(shù)學(xué)·參考答案
13．18 14．15．16．.
17．（本小題滿分10分）
【答案】（1） （2）
【解析】
∵是純虛數(shù)
∴，且
∴，∴
∴
18．（本小題滿分12分）
【答案】（1）3 （2）—1 （3）
【解析】（1），
，，，，
.
（2）.
（3）由（1）可知，，.
19．（本小題滿分12分）
【答案】（1） （2）9
【解析】（1）設(shè)，則
所以，.
（2）或.
.
20．（本小題滿分12分）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）當(dāng)時，，∴
列表得：
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴在時取最小值；
（2）∵ 根據(jù)（1）知：在上單調(diào)減，在上單調(diào)增,∵確保恰好3年不需要進(jìn)行保護(hù) ∴，解得：,實數(shù)的取值范圍為．
21．（本小題滿分12分）
【解析】（Ⅰ）設(shè)投入t百萬元的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)百萬元，
則由，
∴當(dāng)t=3時，f(t)取得最大值9，即投入3百萬元的廣告費(fèi)時，該公司由此增加的收益最大.
（Ⅱ）用于技術(shù)改造的資金為x百萬元，則用于廣告促銷的資金為(5-x)百萬元，設(shè)由此增加的收益是g(x)百萬元.
則.
.
則當(dāng)時，；當(dāng)時，.
∴當(dāng)x=4時，g(x)取得最大值.
即4百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大.
22．（本小題滿分12分）
【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 （2）.
【解析】（1）當(dāng)時，，定義域為，
則，
令，得，令，得
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，
在區(qū)間上，恒成立或恒成立，
，
，
①當(dāng)時，，
在區(qū)間上，，
記，
則，
在區(qū)間上，，
在區(qū)間上，單調(diào)遞減，
，即，
，
即在區(qū)間上恒成立，滿足題意；
②當(dāng)時，，，
，
，，
，
在上有零點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，不符合題意.
綜上所述，，此時，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，的最小值為.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
D
C
A
B
B
C
D
D
B
B
2
0
單調(diào)減
極小值
單調(diào)增