?2021-2022學(xué)年湖南省長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題為單選題，共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒數(shù)是（　?。?br /> A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）2021年春節(jié)檔電影《你好，李煥英》，溫馨、有趣，體現(xiàn)了深厚的母女之情．收獲好評(píng)的同時(shí)也成為了票房黑馬．截止3月6日13：43：32，《你好，李煥英》票房成功突破50億，成為中國影史上第三部突破50億票房大關(guān)的電影．其中50億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．50×108 B．5×109 C．5×1010 D．0.5×1010
3．（3分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
4．（3分）下列選項(xiàng)中，y是x的反比例函數(shù)的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝
5．（3分）下列調(diào)查中，適合于采用普查方式的是（　?。?br /> A．調(diào)查央視“五一晚會(huì)”的收視率
B．了解外地游客對(duì)興城旅游景點(diǎn)的印象
C．了解一批新型節(jié)能燈的使用壽命
D．了解某航班上的乘客是否都持有“綠色健康碼”
6．（3分）下列四個(gè)命題：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形；③一組鄰邊相等的矩形是正方形；④三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的外心．其中真命題共有（　?。?br /> A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
7．（3分）如圖，∠AOB＝60°，以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧交OA，OB于C，D兩點(diǎn)；分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，在射線OP上截取線段OM＝6，則M點(diǎn)到OB的距離為（　?。?br />
A．6 B．2 C．3 D．
8．（3分）如圖，OA為⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點(diǎn)P．若BC＝8，AP＝2，則⊙O的直徑長為（　?。?br />
A．6 B．5 C．10 D．2
9．（3分）高鐵為居民出行提供了便利，從鐵路沿線相距360km的甲地到乙地，乘坐高鐵列車比乘坐普通列車少用3h．已知高鐵列車的平均速度是普通列車平均速度的3倍，設(shè)普通列車的平均速度為xkm/h，依題意，下面所列方程正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．＝3
10．（3分）如圖，A，B，C，D為⊙O的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿O﹣C﹣D﹣O路線做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．∠APB＝y(tǒng)（°），則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵ā　。?br />
A． B．
C． D．
二、填空題（本題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣9a＝　 ?。?br /> 12．（3分）一個(gè)不透明的盒子里只裝有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，這些球除顏色外沒有其他不同．若從盒子里隨機(jī)摸取一個(gè)球，則摸到紅球的概率為 　 　．
13．（3分）如圖，直線a，b被直線c所截，已知a∥b，∠1＝130°，則∠2為 　 　度．

14．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　 ?。?br /> 15．（3分）用半徑為3cm，圓心角是120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 　 　cm．
16．（3分）如圖，AB，AC分別為⊙O的內(nèi)接正六邊形，內(nèi)接正方形的一邊，BC是圓內(nèi)接n邊形的一邊，則n等于　 ?。?br />
三、解答題（本題共9個(gè)小題，共72分）
17．（6分）計(jì)算：．
18．（6分）先化簡，再求值：，其中a＝．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，連接ED，EF．求證：四邊形DEFC是矩形．

20．（8分）為提高學(xué)生的安全意識(shí)，學(xué)校就學(xué)生對(duì)校園安全知識(shí)的了解程度，對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，將收集信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分成A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并將結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息解答下列問題：

（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有 　 　；
（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”等級(jí)的扇形的圓心角角的度數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）七年一班從“A”等級(jí)的2名女生和2名男生中隨機(jī)抽取2人參加學(xué)校競賽，請用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（﹣2，1）、B（1，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接OA、OB，求△AOB的面積．

22．（9分）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點(diǎn)P，連接PC并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：PC是半⊙O的切線；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求由劣弧AC、線段PA和線段PC所圍成的圖形面積S．

23．（9分）為了節(jié)能減排，我市某校準(zhǔn)備購買某種品牌的節(jié)能燈，已知3只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需50元，2只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元．
（1）求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買這兩種型號(hào)的節(jié)能燈共200只，要求A型節(jié)能燈的數(shù)量不超過B型節(jié)能燈的數(shù)量的3倍，請?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并說明理由．
24．（10分）若y是x的函數(shù)，h為常數(shù)（h＞0），若對(duì)于該函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2），當(dāng)a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b為常數(shù)，a＜b）時(shí)，總有|y1﹣y2|≤h，就稱此函數(shù)在a≤x≤b時(shí)為有界函數(shù)，其中滿足條件的所有常數(shù)h的最小值，稱為該函數(shù)在a≤x≤b時(shí)的界高．
（1）函數(shù)：①y＝2x，②，③y＝x2在﹣1≤x≤1時(shí)為有界函數(shù)的是 　 ?。ㄌ钚蛱?hào)）；
（2）若一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0），當(dāng)a≤x≤b時(shí)為有界函數(shù)，且在此范圍內(nèi)的界高為b﹣a，請求出此一次函數(shù)解析式；
（3）已知函數(shù)y＝x2﹣2ax+5（a＞1），當(dāng)1≤x≤a+1時(shí)為有界函數(shù)，且此范圍內(nèi)的界高不大于4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
25．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥x軸交BC于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，線段MN的長度最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段MN的長度；
（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD．
①將線段AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求FD長度的取值范圍．



2021-2022學(xué)年湖南省長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題為單選題，共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒數(shù)是（　?。?br /> A．﹣ B． C．﹣ D．
【解答】解：∵（﹣）×（﹣）＝1，
∴﹣的倒數(shù)是﹣．
故選：C．
2．（3分）2021年春節(jié)檔電影《你好，李煥英》，溫馨、有趣，體現(xiàn)了深厚的母女之情．收獲好評(píng)的同時(shí)也成為了票房黑馬．截止3月6日13：43：32，《你好，李煥英》票房成功突破50億，成為中國影史上第三部突破50億票房大關(guān)的電影．其中50億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．50×108 B．5×109 C．5×1010 D．0.5×1010
【解答】解：50億＝5000000000＝5×109．
故選：B．
3．（3分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確．
故選：D．
4．（3分）下列選項(xiàng)中，y是x的反比例函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝
【解答】解：A、y不是x反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、y不是x反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、y＝﹣2x﹣1＝﹣，y是x的反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
D、y不是x反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
5．（3分）下列調(diào)查中，適合于采用普查方式的是（　?。?br /> A．調(diào)查央視“五一晚會(huì)”的收視率
B．了解外地游客對(duì)興城旅游景點(diǎn)的印象
C．了解一批新型節(jié)能燈的使用壽命
D．了解某航班上的乘客是否都持有“綠色健康碼”
【解答】解：A．調(diào)查央視“五一晚會(huì)”的收視率，適合抽樣調(diào)查，故選項(xiàng)不合題意；
B．了解外地游客對(duì)興城旅游景點(diǎn)的印象，適合抽樣調(diào)查，故選項(xiàng)不合題意；
C．了解一批新型節(jié)能燈的使用壽命，適合抽樣調(diào)查，故選項(xiàng)不合題意；
D．了解某航班上的乘客是否都持有“綠色健康碼”，適于全面調(diào)查，故選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
6．（3分）下列四個(gè)命題：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形；③一組鄰邊相等的矩形是正方形；④三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的外心．其中真命題共有（　?。?br /> A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【解答】解：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正確，是真命題，符合題意；
②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
③一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確，是真命題，符合題意；
④三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意，
真命題由2個(gè)，
故選：B．
7．（3分）如圖，∠AOB＝60°，以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧交OA，OB于C，D兩點(diǎn)；分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，在射線OP上截取線段OM＝6，則M點(diǎn)到OB的距離為（　?。?br />
A．6 B．2 C．3 D．
【解答】解：過點(diǎn)M作ME⊥OB于點(diǎn)E，
由題意可得：OP是∠AOB的角平分線，
則∠POB＝×60°＝30°，
∴ME＝OM＝3．
故選：C．

8．（3分）如圖，OA為⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點(diǎn)P．若BC＝8，AP＝2，則⊙O的直徑長為（　?。?br />
A．6 B．5 C．10 D．2
【解答】解：如圖，連接OB，設(shè)OB＝OA＝x．

∵OA⊥BC，
∴PB＝PC＝BC＝4，
在Rt△OPB中，OB2＝OP2+PB2，
∴x2＝（x﹣2）2+42，
∴x＝5，
∴⊙O的直徑為10．
故選：C．
9．（3分）高鐵為居民出行提供了便利，從鐵路沿線相距360km的甲地到乙地，乘坐高鐵列車比乘坐普通列車少用3h．已知高鐵列車的平均速度是普通列車平均速度的3倍，設(shè)普通列車的平均速度為xkm/h，依題意，下面所列方程正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．＝3
【解答】解：設(shè)普通列車的平均速度為xkm/h，則高鐵的平均速度是3xkm/h，
根據(jù)題意得：﹣＝3．
故選：B．
10．（3分）如圖，A，B，C，D為⊙O的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿O﹣C﹣D﹣O路線做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．∠APB＝y(tǒng)（°），則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵ā　。?br />
A． B．
C． D．
【解答】解：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB逐漸減小；當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB不變；當(dāng)P在DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB逐漸增大．
故選：C．
二、填空題（本題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣9a＝　a（b+3）（b﹣3）?。?br /> 【解答】解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案為：a（b+3）（b﹣3）．
12．（3分）一個(gè)不透明的盒子里只裝有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，這些球除顏色外沒有其他不同．若從盒子里隨機(jī)摸取一個(gè)球，則摸到紅球的概率為 　?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意可得：一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)白球，4個(gè)紅球，共6個(gè)球，
摸到紅球的概率為＝，
故答案為：．
13．（3分）如圖，直線a，b被直線c所截，已知a∥b，∠1＝130°，則∠2為 　50　度．

【解答】解：∵∠1＝130°，

∴∠3＝180°﹣130°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°，
故答案為：50．
14．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　k?。?br /> 【解答】解：∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k；
故答案為：k．
15．（3分）用半徑為3cm，圓心角是120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 　1　cm．
【解答】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為r，由題意，得
2πr＝，
解得r＝1cm．
故答案為：1．
16．（3分）如圖，AB，AC分別為⊙O的內(nèi)接正六邊形，內(nèi)接正方形的一邊，BC是圓內(nèi)接n邊形的一邊，則n等于　12?。?br />
【解答】解：連接AO，BO，CO．
∵AB、AC分別為⊙O的內(nèi)接正六邊形、內(nèi)接正方形的一邊，
∴∠AOB＝＝60°，∠AOC＝＝90°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故答案為：12

三、解答題（本題共9個(gè)小題，共72分）
17．（6分）計(jì)算：．
【解答】解：原式＝2﹣2+1﹣（2﹣）
＝1﹣2+
＝﹣1+．
18．（6分）先化簡，再求值：，其中a＝．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
當(dāng)a＝時(shí)，原式＝＝．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，連接ED，EF．求證：四邊形DEFC是矩形．

【解答】證明：∵D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，
∴DE、EF分別是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，EF∥AC，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∵∠C＝90°，
∴平行四邊形DEFC是矩形．
20．（8分）為提高學(xué)生的安全意識(shí)，學(xué)校就學(xué)生對(duì)校園安全知識(shí)的了解程度，對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，將收集信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分成A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并將結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息解答下列問題：

（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有 　40　；
（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”等級(jí)的扇形的圓心角角的度數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）七年一班從“A”等級(jí)的2名女生和2名男生中隨機(jī)抽取2人參加學(xué)校競賽，請用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有：16＝40%＝40（人）．
故答案為：40；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”等級(jí)的扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×＝72°，
“B”等級(jí)的人數(shù)為：40﹣6﹣16﹣8＝10（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：


（3）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，恰好抽到1名男生和1名女生的結(jié)果有8種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率為＝．
21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（﹣2，1）、B（1，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接OA、OB，求△AOB的面積．

【解答】解：（1）將A（﹣2，1）代入反比例函數(shù)解析式得：m＝﹣2，
則反比例解析式為；
將B（1，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即B（1，﹣2），
將A與B坐標(biāo)代入y＝kx+b中，得：，解得：，
則一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣1；
（2）連接OA，OB，如圖所示，設(shè)一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，
對(duì)于一次函數(shù)y＝﹣x﹣1，令y＝0，得到x＝﹣1，即OC＝1，
則S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．

22．（9分）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點(diǎn)P，連接PC并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：PC是半⊙O的切線；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求由劣弧AC、線段PA和線段PC所圍成的圖形面積S．

【解答】（1）證明：如圖，連接OC，
∵PA是半⊙O的切線，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵OD⊥AC，OD經(jīng)過圓心O，
∴CD＝AD，
∴PC＝PA，
∵OC＝OA，OP＝OP，
∴△OCP≌△OAP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵PC經(jīng)過⊙O的半徑OC的外端，且PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切線．
（2）∵AB是⊙O的直徑，且AB＝10，
∴OA＝OB＝5，
∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，
∵∠OAP＝90°，∠AOP＝60°，
∴∠OPA＝30°，
∴OP＝2OA＝10，
∴S△POC＝S△POA＝×10×＝，
∴S四邊形PAOC＝2×＝25，
∵∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∴S扇形AOC＝＝，
∴S＝S四邊形PAOC﹣S扇形AOC＝25．

23．（9分）為了節(jié)能減排，我市某校準(zhǔn)備購買某種品牌的節(jié)能燈，已知3只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需50元，2只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元．
（1）求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買這兩種型號(hào)的節(jié)能燈共200只，要求A型節(jié)能燈的數(shù)量不超過B型節(jié)能燈的數(shù)量的3倍，請?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)1只A型節(jié)能燈的售價(jià)是x元，1只B型節(jié)能燈的售價(jià)是y元，
，解得，，
答：1只A型節(jié)能燈的售價(jià)是5元，1只B型節(jié)能燈的售價(jià)是7元；
（2）設(shè)購買A型號(hào)的節(jié)能燈a只，則購買B型號(hào)的節(jié)能燈（200﹣a）只，費(fèi)用為w元，
w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150，
∴當(dāng)a＝150時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w＝1100，200﹣a＝50，
答：當(dāng)購買A型號(hào)節(jié)能燈150只，B型號(hào)節(jié)能燈50只時(shí)最省錢．
24．（10分）若y是x的函數(shù)，h為常數(shù)（h＞0），若對(duì)于該函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2），當(dāng)a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b為常數(shù)，a＜b）時(shí)，總有|y1﹣y2|≤h，就稱此函數(shù)在a≤x≤b時(shí)為有界函數(shù)，其中滿足條件的所有常數(shù)h的最小值，稱為該函數(shù)在a≤x≤b時(shí)的界高．
（1）函數(shù)：①y＝2x，②，③y＝x2在﹣1≤x≤1時(shí)為有界函數(shù)的是 ?、佗邸。ㄌ钚蛱?hào)）；
（2）若一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0），當(dāng)a≤x≤b時(shí)為有界函數(shù)，且在此范圍內(nèi)的界高為b﹣a，請求出此一次函數(shù)解析式；
（3）已知函數(shù)y＝x2﹣2ax+5（a＞1），當(dāng)1≤x≤a+1時(shí)為有界函數(shù)，且此范圍內(nèi)的界高不大于4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）①當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，
∴|y1﹣y2|≤|2﹣（﹣2）|＝4，故y＝2x在﹣1≤x≤1時(shí)是有界函數(shù)；
②∵的x不等于0，
∴函數(shù)在﹣1≤x≤1時(shí)沒有最大值和最小值，
∴函數(shù)在﹣1≤x≤1時(shí)不是有界函數(shù)；
③當(dāng)x＝﹣1或x＝1時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，
∴|y1﹣y2|≤|1﹣0|＝1，故y＝x2在﹣1≤x≤1時(shí)是有界函數(shù)；
故答案為：①③；
（2）由函數(shù)y＝kx+2在a≤x≤b時(shí)為有界函數(shù)，且此時(shí)的界高為b﹣a，
∴y最大值﹣y最小值＝b﹣a，
當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴x＝a時(shí)，y最小值＝ka+2，x＝b時(shí)，y最大值＝kb+2，
∴kb+2﹣（ka+2）＝b﹣a，
∴k＝1，
∴y＝x+2；
當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴x＝a時(shí)，y最大值＝ka+2，x＝b時(shí)，y最小值＝kb+2，
∴ka+2﹣（kb+2）＝b﹣a，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x+2，
綜上所述，一次函數(shù)的解析式為y＝x+2或y＝﹣x+2．
（3）∵y＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2，a＞1，
∴當(dāng)1≤x＜a時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)a＜x≤a+1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵當(dāng)1≤x≤a+1時(shí)為有界函數(shù)，且此范圍內(nèi)的界高不大于4，
∴y最大值﹣y最小值≤4，
當(dāng)a≤，即1＜a≤2時(shí)，a+1離a的距離比1離a的距離遠(yuǎn)或一樣遠(yuǎn)，
∴x＝a時(shí)，y最小值＝5﹣a2，x＝a+1時(shí)，y最大值＝（a+1）2﹣2a（a+1）+5＝﹣a2+6，
∴﹣a2+6﹣（5﹣a2）≤4，
化簡得：1≤4，
∴1＜a≤2，
當(dāng)a＞，即a＞2時(shí)，a+1離a的距離比1離a的距離近，
∴x＝a時(shí)，y最小值＝5﹣a2，x＝1時(shí)，y最大值＝1﹣2a+5＝﹣2a+6，
∴﹣2a+6﹣（5﹣a2）≤4，
解得：1＜a≤3，
∴2＜a≤3，
綜上所述，a的取值范圍為1＜a≤3．
25．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥x軸交BC于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，線段MN的長度最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段MN的長度；
（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD．
①將線段AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求FD長度的取值范圍．


【解答】解：（1）直線AC：y＝﹣5x+5，
x＝0時(shí)，y＝5，
∴C（0，5），
y＝﹣5x+5＝0時(shí)，解得：x＝1，
∴A（1，0），
∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，
∴，解得：，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣6x+5；
（2）當(dāng)y＝x2﹣6x+5＝0時(shí)，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴B（5，0），
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+5，
設(shè)M（m，m2﹣6m+5），則N為（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝，
∴當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到（，）時(shí)，線段MN的長度最大為；
（3）①∵A（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣1＝4，
∵將線段AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣4）；
②如圖2，連接BP，過點(diǎn)A作AQ⊥AB，并截取AQ＝AB＝4，連接DQ，

∵∠PAD＝∠BAQ＝90°，
∴∠BAP＝∠QAD，
∵AB＝AQ，AP＝AD，
∴△BAP≌△QAD（SAS），
∴PB＝DQ＝2，
∴點(diǎn)D在以Q為圓心，以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)Q在線段DF上時(shí)，DF最長，如圖3所示，

Rt△AQF中，AQ＝4，AF＝4+2＝6，
∴QF＝＝2，
∴此時(shí)DF的最大值是2+2；
當(dāng)D在線段QF上時(shí)，DF的長最小，同理可得DF的最小值是2﹣2；

∴FD的取值范圍是：．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/10/17 20:30:41；用戶：初中；郵箱：16680502460；學(xué)號(hào)：29313762

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