(1)(多選)已知函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))(x∈R)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2π
B．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)
C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱
D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
(2)已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)為偶函數(shù)，其圖象與直線y＝2的某兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，|x2－x1|的最小值為π，則( )
A．ω＝2，θ＝eq \f(π,2) B．ω＝eq \f(1,2)，θ＝eq \f(π,2)
C．ω＝eq \f(1,2)，θ＝eq \f(π,4) D．ω＝2，θ＝eq \f(π,4)
【解析】 (1)由題意，可得f(x)＝－cs x，
對(duì)于選項(xiàng)A，T＝eq \f(2π,1)＝2π，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，y＝cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，f(－x)＝－cs(－x)＝－cs x＝f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選ABC.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝2sin(ωx＋θ)的最大值為2，且其圖象與直線y＝2的某兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，|x2－x1|的最小值為π，所以函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.
由eq \f(2π,ω)＝π得ω＝2.
因?yàn)楹瘮?shù)y＝2sin(ωx＋θ)為偶函數(shù)，
所以θ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
又0＜θ＜π，所以θ＝eq \f(π,2)，故選A.
【答案】 (1)ABC (2)A
eq \a\vs4\al()
(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acs ωx＋b的形式．
(2)周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為eq \f(2π,ω)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為eq \f(π,ω)求解．
1．(多選)下列函數(shù)中，最小正周期為π的是( )
A．y＝cs|2x| B．y＝|cs x|
C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
解析：選ABC.A項(xiàng)，y＝cs|2x|＝cs 2x，最小正周期為π；
B項(xiàng)，由圖象知y＝|cs x|的最小正周期為π；
C項(xiàng)，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π；
D項(xiàng)，y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T＝eq \f(π,2).
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增
B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增
解析：選A.f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,4)))，因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，所以ω＝2，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,4))).f(－x)＝f(x)，即f(x)為偶函數(shù)，所以φ－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以φ＝kπ＋eq \f(3π,4)(k∈Z)．因?yàn)閨φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,4)，所以f(x)＝－cs 2x，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上單調(diào)遞減，故選A.
三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性
(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，其圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為eq \f(π,4)，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq \f(3π,16)個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象( )
A．關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,16)，0))對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,16)，0))對(duì)稱
C．關(guān)于直線x＝eq \f(π,16)對(duì)稱 D．關(guān)于直線x＝eq \f(π,8)對(duì)稱
【解析】 由題意，知f(x)的最小正周期T＝2×eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，所以ω＝eq \f(2π,T)＝4，所以f(x)＝sin(4x＋φ)，此時(shí)函數(shù)圖象平移后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,16)))＋φ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(3π,4)＋φ))，當(dāng)函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(3π,4)＋φ))的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，必有eq \f(3π,4)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)，結(jié)合|φ|＜eq \f(π,2)，得φ＝－eq \f(π,4)，所以由4x－eq \f(π,4)＝nπ(n∈Z)，得x＝eq \f(nπ,4)＋eq \f(π,16)(n∈Z)，當(dāng)n＝0時(shí)，x＝eq \f(π,16)，所以函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,16)，0))，由4x－eq \f(π,4)＝mπ＋eq \f(π,4)(m∈Z)，得x＝eq \f(mπ,4)＋eq \f(π,8)(m∈Z)，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝eq \f(π,8)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(π,8)對(duì)稱，故選BD.
【答案】 BD
eq \a\vs4\al()
三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和
對(duì)稱中心的求解思路和方法
(1)思路：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可結(jié)合y＝sin x圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心求解．
(2)方法：利用整體代換的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x＝eq \f(（2k＋1）π－2φ,2ω)，k∈Z，即對(duì)稱軸方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ－φ,ω)，k∈Z，即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為0)．對(duì)于y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用類似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的圖象無對(duì)稱軸)．
1．下列函數(shù)中，周期為π，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增的奇函數(shù)是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))
C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))
解析：選C.y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))＝－cs 2x為偶函數(shù)，排除A；y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝sin 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上為減函數(shù)，排除B；y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x為奇函數(shù)，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，且周期為π，符合題意；y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x為偶函數(shù)，排除D.故選C.
2．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin4x－cs4x，則下列說法正確的是( )
A．f(x)的最小正周期為π
B．f(x)的最大值為2
C．f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
D．f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增
解析：選ACD.因?yàn)閒(x)＝sin4x－cs4x＝sin2x－cs2x＝－cs 2x，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值為1.因?yàn)閒(－x)＝－cs(－2x)＝－cs 2x＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．因?yàn)閥＝cs 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，所以f(x)＝－cs 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增．故選ACD.
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合問題
已知函數(shù)f(x)＝sin(2π－x)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3).
(1)求f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；
(2)當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(7π,12)))時(shí)，求f(x)的最小值和最大值．
【解】 (1)由題意，得f(x)＝(－sin x)(－cs x)－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)＝sin xcs x－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)(cs 2x＋1)＋eq \r(3)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π；
令2x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，則x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
故所求圖象的對(duì)稱軸方程為x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)．
(2)當(dāng)0≤x≤eq \f(7π,12)時(shí)，－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，
由函數(shù)圖象(圖略)可知，－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，即0≤sin(2x－eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2)≤eq \f(2＋\r(3),2).
故f(x)的最小值為0，最大值為eq \f(2＋\r(3),2).
eq \a\vs4\al()
解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法
先將y＝f(x)化為y＝asin x＋bcs x的形式，然后用輔助角公式化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)(如周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．
1．(2020·西安五校聯(lián)考)當(dāng)x＝eq \f(π,4)時(shí)，函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，則函數(shù)y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))是( )
A．奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x＝eq \f(π,2)對(duì)稱
B．偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x＝eq \f(π,2)對(duì)稱
C．奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))對(duì)稱
D．偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))對(duì)稱
解析：選D.因?yàn)楫?dāng)x＝eq \f(π,4)時(shí)，函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，所以eq \f(π,4)＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即φ＝－eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,4)))(A>0)，所以y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x－\f(3π,4)))＝－Acs x，所以函數(shù)y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))為偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))對(duì)稱，故選D.
2．(2020·河北九校第二次聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線x＝－π對(duì)稱，則ω的值為________．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)ω＋\f(π,6)≥－\f(π,2),\f(π,2)ω＋\f(π,6)≤\f(π,2)))，得0＜ω≤eq \f(2,3).又函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的圖象關(guān)于直線x＝－π對(duì)稱，所以－π·ω＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得ω＝－k－eq \f(1,3)(k∈Z)，又0＜ω≤eq \f(2,3)，所以ω＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
思想方法系列9 三角函數(shù)中ω值的求法
一、利用三角函數(shù)的周期T求解
為了使函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的最小值為( )
A．98π B．eq \f(197,2)π
C．eq \f(199,2)π D．100π
【解析】 由題意，至少出現(xiàn)50次最大值即至少需要49eq \f(1,4)個(gè)周期，所以eq \f(197,4)T＝eq \f(197,4)·eq \f(2π,ω)≤1，所以ω≥eq \f(197,2)π.
【答案】 B
eq \a\vs4\al()
解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期T＝eq \f(2π,ω)與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系．
二、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解
將函數(shù)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的圖象向左平移eq \f(π,3ω)個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上為增函數(shù)，則ω的最大值為________．
【解析】 將函數(shù)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的圖象向左平移eq \f(π,3ω)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3ω)))－\f(π,3)))＝2sin ωx的圖象．再根據(jù)y＝g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上為增函數(shù)，可得ω·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))≥－eq \f(π,2)，且ω×eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)，解得ω≤2，故ω的最大值為2.
【答案】 2
eq \a\vs4\al()
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)g(x)＝2sin ωx(ω>0)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求ω的取值范圍．
三、利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求解
(1)已知函數(shù)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的一條對(duì)稱軸為x＝eq \f(π,3)，一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，則ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
(2)若函數(shù)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω∈N*)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，則ω的最小值為________．
【解析】 (1)因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最短距離是eq \f(T,4)，兩條對(duì)稱軸間的最短距離是eq \f(T,2)，所以對(duì)稱中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))到對(duì)稱軸x＝eq \f(π,3)間的距離用周期可表示為eq \f(π,3)－eq \f(π,12)＝eq \f(T,4)＋eq \f(kT,2)(k∈N，T為周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝eq \f(2π,ω)，所以(2k＋1)·eq \f(2π,ω)＝π，則ω＝2(2k＋1)，當(dāng)k＝0時(shí)，ω＝2最?。蔬xA.
(2)由題意得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πω,6)＋\f(π,6)))＝0，則eq \f(πω,6)＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ω的最小值為＝2.
【答案】 (1)A (2)2
eq \a\vs4\al()
三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為eq \f(T,2)，相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為eq \f(T,4)，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性來研究其周期性，進(jìn)而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函數(shù)的對(duì)稱軸必經(jīng)過其圖象上的最高點(diǎn)(極大值)或最低點(diǎn)(極小值)，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱中心就是其圖象與x軸的交點(diǎn)，這就說明，我們也可利用三角函數(shù)的極值點(diǎn)(最值點(diǎn))、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期，進(jìn)而可以確定“ω”的取值．
四、利用三角函數(shù)的最值求解
(2020·貴陽市適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω＞0)的圖象在區(qū)間[0，1]上恰有1個(gè)縱坐標(biāo)是2的最高點(diǎn)，則ω的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))
B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(9π,4)))
D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
【解析】 當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，因?yàn)棣兀?，所以ωx＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，ω＋\f(π,4))).記t＝ωx＋eq \f(π,4)，則關(guān)于t的方程sin t＝1在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，ω＋\f(π,4)))上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知ω＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2)))，所以ω∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(9π,4)))，選C.
【答案】 C
eq \a\vs4\al()
利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍．
[A級(jí) 基礎(chǔ)練]
1．下列函數(shù)中，周期為2π的奇函數(shù)為( )
A．y＝sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2) B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cs 2x
解析：選A.y＝sin2x為偶函數(shù)；y＝tan 2x的周期為eq \f(π,2)；y＝sin 2x＋cs 2x為非奇非偶函數(shù)，故B，C，D都不正確．故選A.
2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，則f(－b)＝( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
解析：選A.因?yàn)閒(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，
即tan b＋sin b＝1.
所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1
＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.
3．同時(shí)具有性質(zhì)“①最小正周期是π；②圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))對(duì)稱；③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增”的一個(gè)函數(shù)可以是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(4π,3))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
解析：選B.對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)逐一驗(yàn)證：性質(zhì)①四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)都滿足；性質(zhì)②只有選項(xiàng)A，B中的函數(shù)滿足；進(jìn)一步驗(yàn)證性質(zhì)③，只有選項(xiàng)B中的函數(shù)滿足．故選B.
4．已知f(x)＝sin 2x＋|sin 2x|(x∈R)，則下列判斷正確的是( )
A．f(x)是周期為2π的奇函數(shù)
B．f(x)是值域?yàn)閇0，2]，周期為π的函數(shù)
C．f(x)是周期為2π的偶函數(shù)
D．f(x)是值域?yàn)閇－1，1]，周期為π的函數(shù)
解析：選B.當(dāng)2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.即kπ≤x≤kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z時(shí)，sin 2x≥0，則f(x)＝sin 2x＋|sin 2x|＝2sin 2x；
當(dāng)2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π，k∈Z，即kπ＋eq \f(π,2)≤x≤kπ＋π，k∈Z時(shí)，sin 2x≤0，f(x)＝sin 2x＋|sin 2x|＝0.
作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示．
根據(jù)圖象可知f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為π，函數(shù)的值域?yàn)閇0，2]．故選B.
5．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcs x＋eq \f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)的最大值為1
B．f(x)的最小正周期為2π
C．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，0))對(duì)稱
D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(π,3)對(duì)稱
解析：選CD.因?yàn)閒(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcs x＋eq \f(1,2)＝eq \f(1－cs 2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1，所以函數(shù)f(x)的最大值為2，最小正周期為π，故A，B不正確；由2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z，當(dāng)k＝1時(shí)x＝eq \f(7π,12)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，0))對(duì)稱，故C正確；由2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)x＝eq \f(π,3)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(π,3)對(duì)稱，故D正確．故選CD.
6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－eq \f(π,6))＋1(x∈R)的圖象的一條對(duì)稱軸為x＝π，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，2)，則ω＝________．
解析：由函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－eq \f(π,6))＋1(x∈R)的圖象的一條對(duì)稱軸為x＝π，可得ωπ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
所以ω＝k＋eq \f(2,3)，又ω∈(1，2)，所以ω＝eq \f(5,3).
答案：eq \f(5,3)
7．已知函數(shù)f(x)＝cs xsin x(x∈R)，給出下列四個(gè)命題：
①若f(x1)＝－f(x2)，則x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上是增函數(shù)；
④f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(3π,4)對(duì)稱．
其中真命題是________．(填序號(hào))
解析：f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x，當(dāng)x1＝0，x2＝eq \f(π,2)時(shí)，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，所以①是假命題；
f(x)的最小正周期為π，所以②是假命題；
當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時(shí)，2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以③是真命題；
因?yàn)閒eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝eq \f(1,2)sin eq \f(3π,2)＝－eq \f(1,2)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(3π,4)對(duì)稱，所以④是真命題．
答案：③④
8．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)滿足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2，f(π)＝0，且f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))上單調(diào)，則符合條件的ω的值有________個(gè)．
解析：設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2，f(π)＝0，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象的特征可知eq \f(T,4)＋eq \f(kT,2)＝eq \f(3π,4)，k∈N，
故T＝eq \f(3π,1＋2k)，k∈N；
又因?yàn)閒(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))上單調(diào)，
所以eq \f(π,3)－eq \f(π,4)≤eq \f(T,2)，故T≥eq \f(π,6)，
所以ω＝eq \f(2π,T)≤12，即eq \f(2（1＋2k）,3)≤12，
所以k≤eq \f(17,2)，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合條件的ω的值有9個(gè)．
答案：9
9．已知函數(shù)f(x)＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱中心．
解：因?yàn)閒(x)＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)－\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋1
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＋1
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋1
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為eq \f(2π,2)＝π，圖象的對(duì)稱中心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，1))，k∈Z.
10．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cs ωx(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸方程；
(2)討論函數(shù)f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)性．
解：(1)因?yàn)閒(x)＝sin ωx－cs ωx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).令2x－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)(k∈Z)，即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)(k∈Z)．
(2)令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．注意到x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以令k＝0，得函數(shù)f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,8)))；同理，其單調(diào)遞減區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(π,2))).
[B級(jí) 綜合練]
11．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))))，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A．f(x)的周期是eq \f(π,2)
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直線x＝eq \f(5π,3)是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸
D．f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z
解析：選ABC.函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))))的周期T＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π，故A錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))))的值域?yàn)閇0，＋∞)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝eq \f(5π,3)時(shí)，eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)≠eq \f(kπ,2)，k∈Z，即x＝eq \f(5π,3)不是f(x)圖象的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；
令kπ－eq \f(π,2)

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過關(guān)練習(xí)第02章 函數(shù)與基本初等函數(shù)第3節(jié) 奇偶性、對(duì)稱性與周期性 (含解析)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過關(guān)練習(xí)第02章 函數(shù)與基本初等函數(shù)第3節(jié) 奇偶性、對(duì)稱性與周期性 (含解析)，共21頁。試卷主要包含了理解函數(shù)奇偶性的含義，函數(shù)的周期性等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)講練 第2章 第3講　函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性 (含解析)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)講練 第2章 第3講　函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性 (含解析)，共19頁。試卷主要包含了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對(duì)稱性，已知定義在R上的函數(shù)f滿足等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考方案）課時(shí)跟蹤檢測(cè)(八) 函數(shù)的奇偶性與周期性、對(duì)稱性：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考方案）課時(shí)跟蹤檢測(cè)(八) 函數(shù)的奇偶性與周期性、對(duì)稱性，共5頁。試卷主要包含了全員必做題，重點(diǎn)選做題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第2章§2.3函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性(含詳解)

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第2章§2.3函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性(含詳解)
高中數(shù)學(xué)高考2 第2課時(shí)　三角函數(shù)的周期性、奇偶性及對(duì)稱性

高中數(shù)學(xué)高考2 第2課時(shí)　三角函數(shù)的周期性、奇偶性及對(duì)稱性
(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)練習(xí)3.3《函數(shù)的奇偶性及周期性》(含解析)

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)練習(xí)3.3《函數(shù)的奇偶性及周期性》(含解析)
(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第2章§2.3《函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性》(含詳解)

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第2章§2.3《函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性》(含詳解)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部