2023屆黑龍江省部分學(xué)校高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式分別求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：D.2．（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)運算法則直接計算即可.【詳解】.故選：C.3．已知向量，，若，則（       ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標表示即可解出．【詳解】由，得，則.故選：D．4．一封閉的正方體容器，P，Q，R分別是AB，BC和的中點，由于某種原因，P，Q，R處各有一個小洞，當(dāng)此容器內(nèi)存水的表面恰好經(jīng)過這三個小洞時，容器中水的上表面形狀是（       ）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】過P，Q，R三點的平面為六邊形，可以根據(jù)平面的性質(zhì)公理，先后證明其余三個頂點在P，Q，R所確定的平面上.【詳解】 如圖，設(shè)過P，Q，R三點的平面為平面.分別取，，的中點F，E，M，連接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.由正方體性質(zhì)知，所以平面.又，所以平面.又，所以平面.所以點六邊形RFEPQM為容器中水的上表面的形狀.故選：D.5．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的最小值為（       ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】根據(jù)三個“二次”的關(guān)系可知，和是方程的兩根，由韋達定理求出，即可將化成關(guān)于的式子，變形，由基本不等式即可求出其最小值．【詳解】根據(jù)題意可得和是方程的兩根且，即，.故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：A．6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由最值可求得，根據(jù)最小正周期可求得，由可求得，從而得到解析式；由三角函數(shù)平移和伸縮變換原則可得.【詳解】由圖象可知：，最小正周期，，，，，解得：，又，，；將圖象向右平移個單位長度可得：；將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍得：.故選：A.7．“方程表示橢圓”的一個充分條件是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由方程表示橢圓則可得到或，再由充分條件的定義即可選出答案.【詳解】若方程表示橢圓，則解得或．對比選項，A符合題意.故選：A．8．香農(nóng)定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香農(nóng)公式來表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的帶寬（Hz），S是平均信號功率（W），N是平均噪聲功率（W）.已知平均信號功率為1000W，平均噪聲功率為10W，在不改變平均噪聲功率和信道帶寬的前提下，要使信道容量增加到原來的2倍，則平均信號功率需要增加到原來的（       ）A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍【答案】C【分析】根據(jù)題意解對數(shù)方程即可得解．【詳解】由題意可得，，則在信道容量未增加時，信道容量為，當(dāng)信道容量增加到原來的2倍時，，則，即，解得，則平均信號功率需要增加到原來的102倍.故選：C．9．甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（       ）A．240 B．192 C．96 D．48【答案】B【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【詳解】丙在正中間（4號位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.故選：B.10．在正四棱臺中，，，則該棱臺外接球的表面積為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)所求外接球球心為，則在上下底面中心的連線上，利用勾股定理可求得，設(shè)，在和中，利用勾股定理可構(gòu)造方程組求得，代入球的表面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：四邊形均為正方形，為上下底面的中心，設(shè)正四棱臺的外接球球心為，外接球半徑為，則直線；，，，又，，當(dāng)位于線段上時，設(shè)，則，解得：（舍）；當(dāng)位于線段的延長線上時，設(shè)，則，解得：；該棱臺的外接球表面積.故選：D.11．若直線是曲線與的公切線，則（       ）A． B．1 C． D．2022【答案】A【分析】設(shè)直線與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，求出，，由點、點在切線上，得切線方程，聯(lián)立切線方程可得答案..【詳解】設(shè)直線與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，又，，所以，，由點在切線上，得切線方程為；由點在切線上，得切線方程為，故，解得，故.故選：A.12．已知數(shù)列的前項和為，且或的概率均為，設(shè)能被整除的概率為．有下述四個結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，．其中所有正確結(jié)論的編號是（       ）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【答案】C【分析】分析可知被整除的余數(shù)有種情況，分別為、、，可得出，求出數(shù)列的通項公式，即可判斷①②③④的正誤.【詳解】被整除的余數(shù)有種情況，分別為、、，被整除的概率為，被整除余數(shù)分別為、的概率均為，所以，，所以，，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，，故.故，，，當(dāng)且為偶數(shù)時，，所以，①④錯，②③對.故選：C.【點睛】方法點睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法：（1）當(dāng)出現(xiàn)時，構(gòu)造等差數(shù)列；（2）當(dāng)出現(xiàn)（且）時，構(gòu)造等比數(shù)列；（3）當(dāng)出現(xiàn)時，用累加法求解；（4）當(dāng)出現(xiàn)時，用累乘法求解. 二、填空題13．已知為三角形的內(nèi)角，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式可由得，再將化成齊次式即可解出．【詳解】由，可得，故.故答案為：．14．已知圓與拋物線的準線相切，則___________.【答案】4【分析】根據(jù)直線與圓相切圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑，拋物線的準線為，所以，解得.故答案為：415．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)：______.①；②在R上恰有三個零點.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)題意為偶函數(shù)，且在上有三個零點，找一個符合要求的函數(shù)即可，答案不唯一.【詳解】因為，所以為偶函數(shù)，對于方程，設(shè)，則有，變形可得，方程有兩根，則有兩解，所以函數(shù)有三個零點.故答案為:.16．平面上到兩條相交直線的距離之和為常數(shù)的點的軌跡為平行四邊形，其中這兩條相交直線是該平行四邊形對角線所在的直線，若平面上到兩條直線，的距離之和為2的點P的軌跡為曲線，則曲線圍成的圖形面積為___________.【答案】【分析】先根據(jù)題意求出P的軌跡方程，再求出該平行四邊形的四個頂點坐標，根據(jù)曲線圍成的圖形面積即可求出．【詳解】設(shè)，則P的軌跡方程為，令，得曲線與交于，，令，得曲線與交于，，因為，所以.故答案為：． 三、解答題17．2022年6月某一周，“東方甄選”直播間的交易額共計3.5億元，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：第t天1234567交易額y/千萬元 (1)通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)（系數(shù)精確到0.01）加以說明；(2)利用最小二乘法建立y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.1），并預(yù)測下一周的第一天（即第8天）的交易額.參考數(shù)據(jù)：，，.參考公式：相關(guān)系數(shù).在回歸方程中，斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.【答案】(1)答案見解析(2)，1.1億元【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出，利用數(shù)值對應(yīng)的意義即可說明；（2）先由最小二乘法求出回歸方程，在令，即可預(yù)測出下一周的第一天的交易額．【詳解】(1)因為，，，，所以.因為交易額y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說明交易額y與t具有很強的正線性相關(guān)，從而可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系.(2)因為，，所以，，所以y關(guān)于t的回歸方程為，將代入回歸方程得（千萬元）億元，所以預(yù)測下一周的第一天的交易額為1.1億元.18．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)若BC邊上的高為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)式子形式采取角化邊，然后利用余弦定理的推論即可解出；（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知，，得出關(guān)系，再根據(jù)可求出，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式化簡，即可解出．【詳解】(1)由，得，即，∴，∵，∴.(2)∵，且BC邊上的高為，∴，∴，∴.∵，∴C為銳角，∴，∴.19．在多面體中，平面平面ABCD，EDCF是面積為的矩形，，，.(1)證明：.(2)求平面EDCF與平面EAB夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)、可得平面ABCD，由線面垂直的性質(zhì)得，作于M，于N，可得四邊形ABCD為等腰梯形，求出，利用勾股定理得，再用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案；（2）以點D為原點，建立空間直角坐標系，求出平面EAB、平面EDCF的法向量，由二面角的向量求法計算可得答案.【詳解】(1)因為平面平面，且平面平面，，所以平面，又平面，所以，在四邊形中，作于M，于N，因為，，，所以四邊形為等腰梯形，則，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以；(2)如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，，則，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量，則，可取，設(shè)平面的法向量，則，可取，則，由圖可知，平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.20．已知數(shù)列的首項為1，滿足，且，，1成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】(1)由，，1成等差數(shù)列可知數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)即可求得公差，從而確定的通項公式；(2)對通項進行裂項，根據(jù)裂項相消法即可求數(shù)列{ }的前n項和，從而判斷前n項和的范圍．【詳解】(1)由題意得，則，∴數(shù)列為等差數(shù)列．又，∴，即數(shù)列的公差為1，∴，即．(2)由已知得，∴．21．已知函數(shù)存在兩個極值點.(1)求的取值范圍；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極值點的定義可知，即有兩個不等正根，由一元二次方程根的分布可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍；（2）由（1）可知，由此化簡為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求的最小值.【詳解】(1)由題意知：定義域為，；令，則有兩個不等正根，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.(2)由（1）知：，是的兩根，則；；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，即的最小值為.22．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為.(1)求C的方程；(2)設(shè)A，B是直線上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線與C交于M，N兩點，證明：直線AM與BN的交點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)漸近線方程得到，結(jié)合點到直線距離公式求出，利用求出，寫出雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，寫出兩根之和，兩根之積，表達出直線AM與BN的方程，聯(lián)立后求得交點橫坐標滿足.【詳解】(1)雙曲線的漸近線方程為，所以.又焦點到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線C的標準方程為.(2)證明：聯(lián)立方程組消去y，并整理得.設(shè)，，則，.設(shè)，（），則得直線AM的方程為，直線BN的方程為，兩個方程相減得，①因為，把上式代入①得：，所以，因此直線AM與BN的交點在直線上.【點睛】直線與雙曲線結(jié)合的題目，一般處理思路，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，再利用題干條件列出方程，將問題轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積問題，代入求解. 

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