高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第4章4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識重溫】
一、必記2個知識點
1．周期函數(shù)
(1)周期函數(shù)的定義
對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有①________________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．②________________叫做這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期，如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個③________________，那么這個④________________就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
二、必明2個易誤點
1．三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時易錯用“∪”聯(lián)結(jié)．
2．研究三角函數(shù)單調(diào)性、對稱中心、奇偶性及對稱軸時易受基本函數(shù)影響，遺漏問題的多解，同時也可能忽視“k∈Z”這一條件．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函數(shù)．( )
(2)余弦函數(shù)y＝cs x的對稱軸是y軸．( )
(3)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.( )
(5)y＝sin|x|是偶函數(shù)．( )
(6)若sin x>eq \f(\r(2),2)，則x>eq \f(π,4).( )
二、教材改編
2．下列關(guān)于函數(shù)y＝4sin x，x∈[0,2π]的單調(diào)性的敘述，正確的是( )
A．在[0，π]上單調(diào)遞增，在[π，2π]上單調(diào)遞減
B．在[0，eq \f(π,2)]上單調(diào)遞增，在[eq \f(3π,2)，2π]上單調(diào)遞減
C．在[0，eq \f(π,2)]及[eq \f(3π,2)，2π]上單調(diào)遞增，在[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]上單調(diào)遞減
D．在[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]上單調(diào)遞增，在[0，eq \f(π,2)]及[eq \f(3π,2)，2π]上單調(diào)遞減
3．函數(shù)y＝－eq \f(3,2)cs(eq \f(1,2)x－eq \f(π,6))的最大值為________，此時x的集合為________．
三、易錯易混
4．關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說法：
①y＝sin|x|與y＝sin x的圖象關(guān)于y軸對稱；
②y＝cs(－x)與y＝cs|x|的圖象相同；
③y＝|sin x|與y＝sin(－x)的圖象關(guān)于x軸對稱；
④y＝cs x與y＝cs(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱．
其中正確的是________．(寫出所有正確說法的序號)
5．函數(shù)y＝1＋2sin(eq \f(π,6)－x)的單調(diào)增區(qū)間是________．
四、走進(jìn)高考
6．[2019·全國卷Ⅱ]下列函數(shù)中，以eq \f(π,2)為周期且在區(qū)間(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))單調(diào)遞增的是( )
A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cs |x| D．f(x)＝sin |x|

eq \x(考點一) 三角函數(shù)的定義域[自主練透型]
1．y＝ eq \r(cs x－\f(1,2))的定義域為________．
2．函數(shù)y＝eq \f(1,tan x－1)的定義域為________．
3．函數(shù)y＝lg(sin x)＋ eq \r(cs x－\f(1,2))的定義域為________．

悟·技法
求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域的基本方法是“數(shù)形結(jié)合”，也就是在求這類函數(shù)定義域時，往往需要解有關(guān)的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲線，正切曲線，要么利用單位圓等圖形的直觀形象來解決問題.
考點二三角函數(shù)的值域與最值[互動講練型]
[例1] (1)[2019·全國卷Ⅰ]函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值為________．
(2)函數(shù)y＝sin x－cs x＋sin x·cs x，x∈[0，π]的值域為________．
悟·技法
三角函數(shù)最值或值域的三種求法
(1)直接法：利用sin x，cs x的值域．
(2)化一法：化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域．
(3)換元法：把sin x或cs x看作一個整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求給定區(qū)間上的值域(最值)問題.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
1．函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( )
A．2－eq \r(3) B．0
C．－1 D．－1－eq \r(3)
2．函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值為________．
考點三三角函數(shù)的性質(zhì)[互動講練型]
考向一：三角函數(shù)的周期性
[例2] 函數(shù)f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)的最小正周期是( )
A.eq \f(π,2) B．π
C.eq \f(3π,2) D．2π
考向二：三角函數(shù)的對稱性
[例3] 已知函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期為π，則函數(shù)f(x)的圖象( )
A．關(guān)于直線x＝eq \f(π,4)對稱 B．關(guān)于直線x＝eq \f(π,8)對稱
C．關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))對稱 D．關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))對稱
考向三：三角函數(shù)的單調(diào)性
[例4] 已知f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈[0，π]，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
悟·技法
1.奇偶性與周期性的判斷方法
(1)奇偶性：由正、余弦函數(shù)的奇偶性可判斷y＝Asin ωx和y＝Acs ωx分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)．
(2)周期性：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω＞0)的周期為eq \f(2π,ω)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期為eq \f(π,ω)求解．
2．求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法
(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解．
(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
3．[2021·貴陽市監(jiān)測考試]已知函數(shù)f(x)＝cs 2x＋eq \r(3)sin 2x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．[kπ－eq \f(π,3)，kπ＋eq \f(π,6)](k∈Z) B．[kπ，kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z)
C．[kπ＋eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(2π,3)](k∈Z) D．[kπ－eq \f(π,2)，kπ](k∈Z)
4．關(guān)于函數(shù)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，下列說法正確的是( )
A．是奇函數(shù)
B．在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞減
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))為其圖象的一個對稱中心
D．最小正周期為π
5．若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω＝________.
第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【知識重溫】
①f(x＋T)＝f(x) ②T ③最小正數(shù) ④最小正數(shù) ⑤{y|－1≤y≤1} ⑥{y|－1≤y≤1} ⑦R ⑧eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))
⑨eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ)) ⑩[(2k－1)π，2kπ]
?[2kπ，(2k＋1)π] ?eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))
?eq \f(π,2)＋2kπ ?－eq \f(π,2)＋2kπ ?2kπ ?π＋2kπ ?奇函數(shù) ?偶函數(shù) ?奇函數(shù) ?(kπ，0)，k∈Z eq \(○,\s\up1(21))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z eq \(○,\s\up1(22))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z eq \(○,\s\up1(23))x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
eq \(○,\s\up1(24))x＝kπ，k∈Z eq \(○,\s\up1(25))2π eq \(○,\s\up1(26))2π eq \(○,\s\up1(27))π
【小題熱身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．解析：結(jié)合正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象可知C正確．
答案：C
3．解析：當(dāng)cs(eq \f(1,2)x－eq \f(π,6))＝－1，即eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝4kπ＋eq \f(7π,3)，k∈Z時，函數(shù)y有最大值eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2) {x|x＝4kπ＋eq \f(7π,3)，k∈Z}
4．解析：對于②，y＝cs(－x)＝cs x，y＝cs|x|＝cs x，故其圖象相同；對于④，y＝cs(－x)＝cs x，故其圖象關(guān)于y軸對稱；由圖象(圖略)可知①③均不正確．故正確的說法是②④.
答案：②④
5．解析：y＝1＋2sin(eq \f(π,6)－x)＝1－2sin(x－eq \f(π,6))．令u＝x－eq \f(π,6)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，所給函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間就是y＝sin u的單調(diào)遞減區(qū)間，解eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得eq \f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(5π,3)＋2kπ(k∈Z)，故函數(shù)y＝1＋2sin(eq \f(π,6)－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[eq \f(2π,3)＋2kπ，eq \f(5π,3)＋2kπ](k∈Z)．
答案：[eq \f(2π,3)＋2kπ，eq \f(5π,3)＋2kπ](k∈Z)
6．解析：當(dāng)x∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))時，2x∈(eq \f(π,2)，π)，由于f1(x)＝cs 2x在x∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))上單調(diào)遞減，且cs 2x0，,cs x－\f(1,2)≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>0，,cs x≥\f(1,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ

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