高三數(shù)學試卷一、選擇題: 本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】，解得或，所以.所以，AB選項錯誤.反之不成立，故C選項正確，D選項錯誤.故選：C2. 已知點是角終邊上一點，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求出點P到原點的距離，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解.【詳解】依題意點P的坐標為 ， ， ；故選：D.3. 火車站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火車，現(xiàn)要停放3列不同的火車，則不同的停放方法有（    ）A. 種 B. 種 C. 種 D. 種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，直接利用排列列式作答.【詳解】火車站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火車，現(xiàn)要停放3列不同的火車，它是排列問題，所以不同的停放方法有種.故選：B4. （    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】結(jié)合誘導公式、兩角和的正弦公式求得正確選項.【詳解】.故選：B5. 要得到的圖象，只需要將的圖象（    ）A. 向左平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度【答案】A【解析】【分析】先將函數(shù)化為，然后由正弦函數(shù)的圖像平移可得答案.【詳解】又所以將的圖像向左平移個單位長度，可得的圖像故選：A6. 定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.若對，都有，則的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合圖像進行求解.【詳解】因為當時，，所以，又因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)的部分圖像如下，由圖可知，若對，都有，則.故A，C，D錯誤.故選：B.7. 如圖，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（    ）A. 23 條 B. 24 條 C. 25條 D. 26 條【答案】D【解析】【分析】先假設(shè)是實線，計算出所有的最短路徑的條數(shù)，然后減去經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，從而求得正確答案.【詳解】先假設(shè)是實線，則從到，向上次，向右次，最短路徑有條，其中經(jīng)過的，即先從到，然后到，最后到的最短路徑有條，所以，當不通時，最短路徑有條.故選：D8. 當時，恒成立，則整數(shù)的最大值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，求得，令，求得，單調(diào)在上僅有一個實數(shù)根，設(shè)為，根據(jù)，得到，將代入得到，即可求解.【詳解】因為當時，恒成立，可得在上恒成立，不妨設(shè)，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以在上僅有一個實數(shù)根，設(shè)為，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，因為，所以，且，將代入可得，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為為整數(shù)，所以.故選：C.二、選擇題: 本題共 4 小題，每小題5分，共 20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0分.9. 下列說法正確有（    ）A. 已知集合，，全集，若，則實數(shù)的集合為B. 命題，成立的充要條件是C. 設(shè)，則“”的充要條件是“都不為”D. 已知，，，則的最小值為【答案】CD【解析】【分析】解方程求得集合，當時，可知，由此可得，知A錯誤；利用一元二次不等式能成立的求法可求得范圍，由其與的推出關(guān)系可知B錯誤；根據(jù)可知C正確；由，利用基本不等式可求得最小值，知D正確.【詳解】對于A，集合；當時，，，滿足，但，A錯誤；對于B，若，，則，當時，，；由，，是，成立的充分不必要條件，B錯誤；對于C，由題意知：，且，“”的充要條件是“都不為”，C正確；對于D，（當且僅當，即，時取等號），的最小值為，D正確.故選：CD.10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A. 的定義域為B. 當函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱時，C. 當時，在上單調(diào)遞減D. 設(shè)定義域為函數(shù)關(guān)于中心對稱，若，且與的圖象共有2022個交點，記為（，2，…，2022），則的值為0【答案】ACD【解析】【分析】對A：由即可判斷；對B：由，可得的圖象關(guān)于點成中心對稱，從而即可判斷；對C：，且，即可判斷；對D：由函數(shù)和圖象關(guān)于對稱，則與圖象的交點成對出現(xiàn)，且每一對均關(guān)于對稱，從而即可求解判斷.【詳解】解：對A：要使函數(shù)有意義，則，即，∴的定義域為，所以選項A正確；對B：∵，∴的圖象關(guān)于點成中心對稱，∴當函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱時，，所以選項B不正確；對C：由選項B知，當時，，∴在單調(diào)遞減，所以選項C正確；對D：∵，，∴的圖象關(guān)于對稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于對稱， ∴與圖象的交點成對出現(xiàn)，且每一對均關(guān)于對稱，，所以選項D正確.故選：ACD.11. 已知，，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式及相互獨立事件、對立事件的概率公式計算可得；【詳解】解：，因為，所以，因此，，又，所以.故選：AD.12. 已知方程，其中.下列條件中使得該三次方程有且僅有一個實根的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】分別對所給的值逐個分析； 選項中添項去項，分組分解因式，可得有兩根，不符合題意;A, C, D中構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性和極值，分析函數(shù)的零點問題，由極值的正負判斷函數(shù)的零點個數(shù)，進而判斷出正確的命題.【詳解】對于選項A. 方程為: , 令 ,, 所以在R上單調(diào)遞增, 且， , 所以函數(shù)僅有一個零點, 所以方程僅有一個實根, 所以A正確.對于選項B. 方程:, 可得 , 即 , 即 , 即，可得方程有兩個根1，-2, 不符合題意, 所以B不正確;對于選項C. 方程為: , 令 , 則；當時， ，單調(diào)遞增；所以函數(shù)只有一個零點，即方程僅有一個實根, 所以C正確;對于選項D. 方程為: ， 令,，時，時，故 為極大值，， 時, 為極小值, 且 , 當 時,, 所以函數(shù)僅有一個零點, 即方程僅有一個實根, 所以D正確;故選: ACD.三、填空題: 本題共 4 小題，每小題5分，共 20分.13. 如果函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，將代入，求出的表達式，再根據(jù)確定的取值.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，，即，或恒成立，解得：，又，.故答案為：.14. 抽樣表明，某地區(qū)新生兒體重近似服從正態(tài)分布.假設(shè)隨機抽取個新生兒體檢，記表示抽取的個新生兒體重在以外的個數(shù).若的數(shù)學期望，則的最大值是___________.（）【答案】16【解析】【分析】根據(jù)正太分布的原則進行計算.【詳解】根據(jù)正太分布的原則可知：，得：，因為為正整數(shù)，故的最大值為16.故答案為：1615. 函數(shù)的最大值為，最小值為，則______.【答案】6【解析】【分析】求解可得的對稱中心，再根據(jù)取得最大與最小值的點關(guān)于對稱中心對稱求解即可.【詳解】由題意，，故關(guān)于對稱.故取得最大與最小值的點關(guān)于對稱，所以.故答案為：616. 已知、為實數(shù)，，若對恒成立，則的最小值為 ______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，判斷可得，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，依題意可得，即可得到，從而得到，再令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，即可求出的取值范圍.【詳解】解：因為，所以，若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且當時，不符合題意，所以，令，解得，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，則，令，，則，所以當時，當時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的最小值為.故答案為：【方法點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．四、解答題: 本題共 6 小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知的展開式中的系數(shù)是-35，（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）1（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）本題主要考查二項式定理，首先根據(jù)通項公式寫出，令，從而求出的值為1，于是問題轉(zhuǎn)化為的展開式，采用賦值法，首先令，求出的值，再令，可以求出的值，這樣得出的值；（2）兩次賦值，分別令，，兩個式子相減得到的值.試題解析：∵，∴，∴.（1）令時，，①令時，.∴（2）令時，.②①-②得. 18. 已知函數(shù).（1）求的最小正周期;（2）若，求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)利用二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為的形式, 再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,(2)根據(jù) ,令 ，則可求出的范圍,從而得出的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問1詳解】 . 的最小正周期為 .【小問2詳解】令 ，則 ，又函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，即 時，的單調(diào)遞減，當 時，的單調(diào)減區(qū)間為.19. 袋中有同樣的球5個，其中3個紅色，2個黃色，現(xiàn)從中隨機且不放回的摸球，每次摸1 個，當兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機變量為此時已摸球的次數(shù)，求:（1）的值;（2）隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）    （2）分布列見解析，ξ的數(shù)學期望為2.5【解析】【分析】(1)先求從袋中不放回的摸球兩次的所有取法，再求出事件所包含的取法數(shù)，利用古典概型概率公式求，(2)由條件確定隨機變量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.【小問1詳解】由已知可得從袋中不放回的摸球兩次的所有取法有種，事件表示第一次取紅球第二次取黃球或第一次取黃球第二次取紅球，故事件包含種取法，所以【小問2詳解】隨機變量可取的值為 得隨機變量的概率分布列為:234P隨機變量的數(shù)學期望為：20. 已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值;（2）解關(guān)于的不等式;（3）設(shè)，若函數(shù)與圖象有個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)直接化簡求值；（2）判斷時函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性可得函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，解不等式即可；（3）由函數(shù)與圖象有個公共點，可得有兩個實數(shù)根，再利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個根，利用判別式求參數(shù)范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義或為，函數(shù)為偶函數(shù).，即 ，，；【小問2詳解】，當時，，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，，解得或，所以所求不等式的解集為 ；【小問3詳解】函數(shù)與圖象有個公共點，，即，，設(shè)，則，即，又在上單調(diào)遞增，所以方程有兩個不等的正根；，解得，即的取值范圍為.21. 為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.（1）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān).單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體   沒有抗體   合計   （2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，記個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當時，取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)及.參考公式： (其中為樣本容量)參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024 【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān)；（2）（i）；（ii）當接種人數(shù)為n=99時，；當n=100時，.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖算出每個區(qū)間段的小白鼠數(shù)量，然后根據(jù)指標值完成列聯(lián)表，并根據(jù)參考公式進行運算，然后進行數(shù)據(jù)比對，最終得到答案；（2）（i）根據(jù)古典概型公式，結(jié)合對立事件概率求法即可得到答案；（ii）根據(jù)最大，結(jié)合二項定理概率求法列出不等式組解出X，最后求出期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為：在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）.由題意，有抗體且指標值小于60的有50只；而指標值小于60的小白鼠共有（只），所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計70130200零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得.根據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”.記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，，，則，，所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率.（ii）由題意，知隨機變量，（）.因為最大，所以，解得，因為是整數(shù)，所以或，所以接受接種試驗的人數(shù)為99或100.①當接種人數(shù)為99時，；②當接種人數(shù)為100時，.22. 已知函數(shù).（1）求證: 當時，;（2）已知函數(shù)有3個不同的零點，（i）求證: ;（ii）求證: 是自然對數(shù)的底數(shù)).【答案】（1）證明見解析    （2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】(1)在條件下利用導數(shù)求的最大值，在時利用導數(shù)求的最小值，由此完成證明；(2) （i）利用證明極值點偏移的方法證明，再結(jié)合基本不等式證明；（ii）根據(jù)(1)證明，結(jié)合切線方程證明.【小問1詳解】①當 ，即證 ，令 ，令 ，則當時，所以在上單調(diào)遞減，則有當時，所以在上單調(diào)遞減，所以當，成立②當 時，，即證 ，令 設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以所以，在上單調(diào)遞減，，即 ，綜合①②當 時，【小問2詳解】，當 在 上單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，當 在上單調(diào)遞增，又函數(shù)有 3 個不同的零點 ，所以，，（i）令 ，在上單調(diào)遞增，又 ，又 在上單調(diào)遞減，，即 （ii)在處的切線方程與交點的橫坐標，過點 和的直線方程 與交點的橫坐標 ，由 （1）取 ，則與在軸右側(cè)交點橫坐標為 ，，綜上: 【點睛】本題第二小問中的第一個小題的解決的關(guān)鍵在于利用證明極值點偏移的方法證明，再利用基本不等式證明結(jié)論.

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