廣州市執(zhí)信中學(xué)2023屆高三年級(jí)第二次月考數(shù)  學(xué) 第一部分  選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合的實(shí)部為0}，，，為虛數(shù)單位，則為(    )A．  B．  C.    D．2．己知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的值為(    )A．    B．1       C．2       D．43．己知集合，一個(gè)必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(    )A．    B．   C．   D．4．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的表面積為(    )A．    B．    C．    D．5．小樺班的數(shù)學(xué)老師昨天組織了一次小測(cè)，老師給了小樺滿分100分，但實(shí)際上小樺有一處表述錯(cuò)誤，告訴了小岍和小江，這一處錯(cuò)誤需要扣4分，這一處錯(cuò)誤小樺自己不會(huì)告訴老師，小岍有的可能告訴老師，小江有的可能告訴老師，他們都不會(huì)告訴其他同學(xué)，老師知道后就會(huì)把分扣下來(lái)，則最后小樺的聽(tīng)寫(xiě)本上的得分期望(    )A．    B．98    C．    D．976．若，則的值為(    )A．    B．    C．    D．7．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為(    )A．0              B．1                C．2               D．38．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，則實(shí)數(shù)的最小值是(    )A．    B．   C．   D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的不得分．9．下列命題中，真命題的是(    )A．若回歸方程，則變量與正相關(guān)B．線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)用來(lái)刻畫(huà)回歸效果，若值越小，則模型的擬合效果越好C．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)方差為8D．一個(gè)人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對(duì)立事件是“至多擊中一次”10．已知是空間中兩條不同的直線，為空間中兩個(gè)互相垂直的平面，則下列命題不正確的是(    )A．若，則     B．若，，則C．若，，則   D．若，，則11．已知雙曲線的一條漸近線方程為，雙曲線的左焦點(diǎn)在直線上，分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，的斜率分別為，則的取值可能為(    )A．    B．1    C．    D．212．若圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)對(duì)稱(chēng)為函數(shù)的“友情點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”）若恰有兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的值可以是(    )A．0       B．   C．    D．第二部分  非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．不等式的解集為        ．14．已知向量滿足，，，則等于       ．15．已知是曲線上的兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作曲線的切線 且，切線交軸于點(diǎn)，切線交軸于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為       ．16．對(duì)于集合A，B，定義集合.己知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，，。設(shè)數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，將集合A-B的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前30項(xiàng)和         . 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(10分)己知二次函數(shù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)解關(guān)于的不等式：. 18．(12分)如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的面積．   19．(12分)如圖，三棱柱中，是的中點(diǎn)．(1)證明：面；(2)若是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且，，平面平面．求平面與側(cè)面所成二面角的正弦值．   20．（12分）2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》（也稱(chēng)“強(qiáng)基計(jì)劃”），《意見(jiàn)》宣布：2020年起不再組織開(kāi)展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，己知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為，，，其中.(1)若分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，則當(dāng)該考生更希望通過(guò)甲大學(xué)的筆試時(shí)，求的范圍．  21．（12分）如圖，已知點(diǎn)是拋物線在第一象限上的點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，且垂直于軸，過(guò)作圓的兩條切線，與拋物線在第四象限分別交于兩點(diǎn)，且直線的斜率為4．(1)求拋物線的方程及A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)問(wèn)：直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．  22．(12分)已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求證：當(dāng)時(shí)，；(2)若不等式對(duì)成立，求實(shí)數(shù)的值.        數(shù)學(xué)參考答案 單選題：1-8題ACBA DCBC    9．CD    10．ABD    11. CD    12．BD 5．【解析】由題意可知的可能取值為：96，100，則，，因此，.7．【解析】，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為1．故選：B．8．【解析】由，可得，由余弦定理得：，兩式結(jié)合得：，即，即，，則當(dāng)時(shí)，，則，故由可得其最小值為.11．【答案】CD．【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，可得，雙曲線的左焦點(diǎn)在直線上，即，由，解得，，雙曲線的方程為，由題意可得，，設(shè)，可得，即有，可得，，則，由為左右頂點(diǎn)，可得，則.12．【答案】BD．【解析】若有兩個(gè)友情點(diǎn)對(duì)，則且與在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，則，，即與在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，，又時(shí)，，時(shí)，，的大致圖象為：要使與在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即．故選13．   14．  15．   16．1632. 17．【解析】(1)∵函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，所以，即，因?yàn)?/span>，所以的對(duì)稱(chēng)軸為，所以，解得，故.(2)由(1)，.①當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)解集為；②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，解集為：；當(dāng)時(shí)，解集為：；③當(dāng)， 即或時(shí)， 方程有兩個(gè)根為，，不等式的解集為綜上，時(shí)，不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為：. 18．【解析】(1)，，則，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.(2)由得，所以，得，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以， 19．【解析】(1)連接交AC于E，連接，故為中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面. 故平面.(2)取邊中點(diǎn)連接，因?yàn)?/span>，為等邊三角形，，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以兩兩互相垂直．故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則由題意可知，，.設(shè)平面的法向量，則，即，令，得．顯然平面的一個(gè)法向量為. ，二面角的正弦值為. 20．【解析】(1)設(shè)該生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過(guò)一門(mén)筆試科目為事件A，則；該考生報(bào)乙大學(xué)恰好通過(guò)一門(mén)筆試科目為事件，.(2)設(shè)該生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，則，報(bào)考乙大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，隨機(jī)變量的可能取值為：0，1，2，3．，，，，隨機(jī)變量的分布列：0123，因?yàn)樵摽忌Ｍㄟ^(guò)甲大學(xué)的筆試，，則，得：. 21．【解析】(1)因?yàn)?/span>．由，所以拋物線方程為，且.(2)：直線的方程為，其中分別對(duì)應(yīng)，于是，即，，即，由可知，因?yàn)橹本€的方程為，其中分別對(duì)應(yīng)，再設(shè)直線的方程為，聯(lián)立求得其交點(diǎn)均滿足，代入拋物線的方程，于是有，將，整理得，進(jìn)而得到，．將代入前式，有，化簡(jiǎn)得，再代入的方程得，所以恒過(guò)定點(diǎn). 22．【解析】(1)，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.，而，故；(2)令，即對(duì)成立，若，則，與題意不符；故只需考慮的情況：，，，，顯然當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，①       若，則，，故，使得， 上單調(diào)遞減，，與題意不符，舍；②       若，則，當(dāng)時(shí)，，，故，單調(diào)遞增，又，故，使得，在上單調(diào)遞增，，與題意不符，舍；③       若，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，恒成立.    綜上，
 

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