(通用版)高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理與過關(guān)練習(xí)36《橢圓》(含詳解)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?考點(diǎn)36 橢圓
（1）了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.
（2）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì).
（3）理解數(shù)形結(jié)合的思想.
（4）了解橢圓的簡單應(yīng)用.

一、橢圓的定義
平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓. 這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個定點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距，記作.
定義式：.
要注意，該常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離，才能構(gòu)成橢圓.
二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)在軸上，；
焦點(diǎn)在軸上，.
說明：要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：.
三、橢圓的圖形及其簡單幾何性質(zhì)
i)圖形
焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上

ii)

標(biāo)準(zhǔn)方程
幾何性質(zhì)
范圍
頂點(diǎn)
焦點(diǎn)
對稱性
離心率
橢圓

，

對稱軸：軸，軸，對稱中心：
原點(diǎn)
，

，

注意：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法可以采用待定系數(shù)法，此時要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；也可以利用橢圓的定義及焦點(diǎn)位置或點(diǎn)的坐標(biāo)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
求橢圓的離心率主要的方法有：根據(jù)條件分別求出與，然后利用計算求得離心率；或者根據(jù)已知條件建立關(guān)于的等量關(guān)系式或不等關(guān)系式，由此得到方程或不等式，通過解方程或不等式求解離心率的值或取值范圍.
四、必記結(jié)論
1．設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)時，有最小值b，P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)時，有最大值a，P點(diǎn)在長軸端點(diǎn)處．
2．已知過焦點(diǎn)F1的弦AB，則的周長為4A．

考向一橢圓定義的應(yīng)用
1．橢圓定義的集合語言:往往是解決計算問題的關(guān)鍵，橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理.
以橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)F1 (－c，0)，F(xiàn)2 (c，0)為頂點(diǎn)的中，若，注意以下公式的靈活運(yùn)用：
（1）；
（2）；
（3）.
2．解決已知橢圓的焦點(diǎn)位置求方程中的參數(shù)問題，應(yīng)注意結(jié)合焦點(diǎn)位置與橢圓方程形式的對應(yīng)關(guān)系求解.
典例1 已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上．
（1）若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于1，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為________________；
（2）過F1作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為________________；
（3）若，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為________________．
【答案】（1）3；（2）8；（3）．
【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，，
故，，．
（1）由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3．
（2）的周長
．
（3）在中，由余弦定理可得，
即，
由橢圓的定義可得，
兩式聯(lián)立解得．

1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的周長為，則的值是
A． B．
C． D．
考向二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
求橢圓的方程有兩種方法:
（1）定義法.根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：
第一步，做判斷.根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能（這時需要分類討論）.
第二步，設(shè)方程.根據(jù)上述判斷設(shè)方程為或.
第三步，找關(guān)系.根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組（注意橢圓中固有的等式關(guān)系）.
第四步，得橢圓方程.解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.
【注意】用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時，可進(jìn)行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為.

典例2 橢圓以x軸和y軸為對稱軸，經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的方程為
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由于橢圓長軸長是短軸長的2倍，即有a=2b，
又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，
則若焦點(diǎn)在x軸上，則a =2，b=1，橢圓方程為;
若焦點(diǎn)在y軸上，則a=4，b=2，橢圓方程為，故選C．

2．已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線交于兩點(diǎn)，且，則的方程為
A． B．
C． D．
考向三橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
1．與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形.理解頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量之間的關(guān)系，深挖出它們之間的聯(lián)系，求解自然就不難了.
2．橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法：
（1）求出a，c，代入公式.
（2）只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

典例3 已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m，(m>0)，則此橢圓的離心率為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝，
∴e2＝＝，即e＝.故選B．

3．已知橢圓(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2＝120°，則橢圓的離心率的取值范圍是_____．

1．橢圓：的焦距為
A． B．2
C． D．1
2．“”是“方程表示橢圓”的
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知橢圓上的一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則
A． B．
C． D．
4．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在橢圓上，于，，，則橢圓方程為
A． B．
C． D．
5．已知橢圓的對稱軸與兩條坐標(biāo)軸重合，且長軸長是短軸長的倍，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個頂點(diǎn)重合，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
A． B．
C．或 D．或
6．已知橢圓x2+my2=1的離心率e∈(，1)，則實數(shù)m的取值范圍是
A．(0，) B．(，+∞)
C．(0，)∪(，+∞) D．(，1)∪(1，)
7．已知點(diǎn)，.若橢圓上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，則橢圓的離心率是
A． B．
C． D．
8．若橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交橢圓于點(diǎn)，則
A． B．
C． D．
9．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，且滿足，則的面積為
A．1 B．
C．2 D．4
10．已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為
A． B．
C． D．
11．已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓短軸的一個端點(diǎn)，若為過的橢圓的弦的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為
A． B．
C． D．
12．已知橢圓的短軸長為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為
A． B．
C． D．
13．已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在四個不同點(diǎn)滿足的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍為
A． B．
C． D．
14．若橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，則實數(shù)=__________．
15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若以為直徑的圓與橢圓相切，則橢圓的長軸長是__________．
16．已知F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，過F1且與橢圓的長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若為正三角形，則橢圓的離心率為　　　　.?
17．如圖，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，是面積為4的等腰直角三角形，則b=　　　　.?

18．在橢圓上有兩個動點(diǎn)，為定點(diǎn)，，則的最小值為_________．
19．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.
20．設(shè)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，已知橢圓過點(diǎn)，當(dāng)線段長最小時橢圓的離心率為_______．
21．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
（1）焦點(diǎn)分別為(0，-2)，(0，2)，經(jīng)過點(diǎn)(4，3);
（2）對稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點(diǎn)P(-6，0)和Q(0，8).

22．已知橢圓C的方程為.
（1）求k的取值范圍；
（2）若橢圓C的離心率，求的值.

23．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，且橢圓長軸長為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）為橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積.

24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為2．
（1）若橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（，1），求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（﹣2，0），F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，滿足，求橢圓C的離心率的取值范圍．

25．如圖，過橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，．

（1）求橢圓的離心率；
（2）過右焦點(diǎn)作一條弦，使，若的面積為，求橢圓的方程．

1．（2017浙江）橢圓的離心率是
A． B．
C． D．
2．（2018新課標(biāo)全國Ⅰ文）已知橢圓：的一個焦點(diǎn)為，則的離心率為
A． B．
C． D．
3．（2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則p=
A．2 B．3
C．4 D．8
4．（2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為
A． B．
C． D．
5．（2017新課標(biāo)全國Ⅲ文）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為
A． B．
C． D．
6．（2017新課標(biāo)全國Ⅰ文）設(shè)A，B是橢圓C：長軸的兩個端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是
A． B．
C． D．
7．（2018新課標(biāo)全國Ⅱ文）已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為
A． B．
C． D．
8．（2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)）設(shè)為橢圓C:的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.
9．（2019年高考浙江卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________．
10．（2018浙江）已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大．
11．（2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)）已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若為等邊三角形，求C的離心率；
（2）如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．

12．（2019年高考天津卷文數(shù)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知（O為原點(diǎn)）.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，圓C同時與x軸和直線l相切，圓心C在直線x=4上，且，求橢圓的方程.

變式拓展

1．【答案】D
【解析】設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，則，，
由橢圓定義可知，的周長為，，
，∴解得，故選D.
【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義的應(yīng)用，考查利用橢圓定義求橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，在處理橢圓的焦點(diǎn)與橢圓上一點(diǎn)線段（焦半徑）問題，一般要充分利用橢圓定義來求解，屬于基礎(chǔ)題.解題時，由橢圓的定義知的周長為，可求出的值，再結(jié)合、、的關(guān)系求出的值，即的值.
2．【答案】C
【解析】因為，所以，
又，所以在直角三角形中，，
因為，所以，
所以橢圓的方程為：.
【名師點(diǎn)睛】本題考查焦半徑、橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，考查運(yùn)算求解能力.在直角三角形中利用勾股定理求，再由橢圓的定義求的值.
3．【答案】
【解析】由題意可得，橢圓的上頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形中，頂角大于等于120°，
所以底角小于等于30°，即，
故橢圓的離心率的取值范圍是.
故答案為：.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的取值范圍的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.求解時，由題意可得，橢圓的上頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形中，頂角大于等于120°，即得橢圓的離心率的取值范圍.
考點(diǎn)沖關(guān)

1．【答案】B
【解析】由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且，所以，因此，故.所以焦距為2.故選B.
2．【答案】C
【解析】方程表示橢圓，即且，
所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.
故選C.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的概念與充要條件的判斷，易錯點(diǎn)為橢圓中，屬于較為基礎(chǔ)題.先求得方程表示橢圓的m的取值范圍，再利用充分必要條件去判斷可得答案.
3．【答案】C
【解析】由橢圓的定義得
，
又，
∴.故選C.
4．【答案】C
【解析】橢圓的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A，B在橢圓上，
于，，，可得，，
結(jié)合，解得，，
所以所求橢圓方程為：，故選C．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓方程的求法，是基本知識的考查．求解時，利用橢圓的性質(zhì)，根據(jù)，可得，，求解，然后寫出橢圓方程．
5．【答案】D
【解析】由于橢圓的長軸長是短軸長的倍，即有，
又拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個頂點(diǎn)重合，得橢圓經(jīng)過點(diǎn)，
若焦點(diǎn)在軸上，則，，橢圓方程為；
若焦點(diǎn)在軸上，則，，橢圓方程為.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故選
6．【答案】C
【解析】橢圓x2+my2=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
又

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