長(zhǎng)郡集團(tuán)初一選拔卷（缺7、11、12、15題）一．選擇題（共9小題）1．（2015秋?黃陂區(qū)校級(jí)月考）已知，且，則等于　　A．105 B．100 C．75 D．502．（2016春?西湖區(qū)期末）已知多項(xiàng)式分解因式后有一個(gè)因式是，則的值為　　A．3 B． C．1 D．3．方程組　　A．沒(méi)有解 B．有1組解 C．有3組解 D．以上答案都不對(duì)4．（2018秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知是方程的一個(gè)解，則的值為　A．2022 B．2021 C．2020 D．20195．（2022春?重慶月考）如果關(guān)于的不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和是　　A．8 B．9 C．11 D．76．（2020?浙江自主招生）使分式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)的和是　　A．5 B．6 C．12 D．22二．填空題（共10小題）7．（2020秋?邗江區(qū)期末）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若用有序數(shù)對(duì)表示第排、第個(gè)數(shù)，比如表示的數(shù)是8，則若表示的數(shù)是　　．8．（2020?浙江自主招生）設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值為　　．9．若，則　　．10．分解因式：　　．11．已知，，則　　．12．若、、滿足和，則分式的值為　 　．13．如果關(guān)于的方程有正整數(shù)解，那么正整數(shù)的所有可能取值之和為　 　．14．（1）已知實(shí)數(shù)、、滿足，，，則　　．（2）已知實(shí)數(shù)、、滿足，，，則　　．15．已知，，．則　 　．16．已知，，，，，，，是互不相等的非零實(shí)數(shù)，且，則的值為　　． 三．解答題（共6小題）17．設(shè)，，．求（1）的值；（2）的值．  18．（2020?浙江自主招生）是大于零的實(shí)數(shù)，已知存在唯一的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的二次方程的兩個(gè)根均為質(zhì)數(shù)．求的值．   19．對(duì)于有理數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)，請(qǐng)解方程．   20．已知，均為自然數(shù)，且滿足不等式．若對(duì)于某一給定的自然數(shù)，只有唯一的自然數(shù)使不等式成立，求所有符合要求的自然數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)．    21．設(shè)，是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，為質(zhì)數(shù)，滿足，且是整數(shù)．（1）求證：；（2）求的值；（3）求，的值．
          長(zhǎng)郡集團(tuán)初一選拔卷參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．（2015秋?黃陂區(qū)校級(jí)月考）已知，且，則等于　　A．105 B．100 C．75 D．50【考點(diǎn)】代數(shù)式求值；完全平方式；因式分解的應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想【分析】由已知，且，兩等式左右兩邊分別相減，可得到，觀察發(fā)現(xiàn)，利用完全平方差公式，可轉(zhuǎn)化為，再將上面的式子代入，問(wèn)題得解．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方差公式因式分解．將看作是難點(diǎn)．2．（2016春?西湖區(qū)期末）已知多項(xiàng)式分解因式后有一個(gè)因式是，則的值為　　A．3 B． C．1 D．【考點(diǎn)】因式分解的意義【專題】整式；一次方程（組及應(yīng)用；運(yùn)算能力【分析】由多項(xiàng)式分解因式后有一個(gè)因式是得出當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為0，由此得出關(guān)于的方程，求出方程的解即可，【解答】解：多項(xiàng)式分解因式后有一個(gè)因式是，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為0，即，解得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，能得出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵．3．方程組　　A．沒(méi)有解 B．有1組解 C．有3組解 D．以上答案都不對(duì)【考點(diǎn)】分式方程的解【專題】方程思想；計(jì)算題；數(shù)感【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，對(duì)給出的方程組進(jìn)行變形，進(jìn)而進(jìn)行求解．【解答】解：原方程組可變形為：，根據(jù)方程組可得；對(duì)方程組進(jìn)行變形可得，，①②，可得，④，②③，可得，⑤，④⑤，得，④⑤，得，將，，代入原方程組，可得，，．檢驗(yàn)可知，，，是原方程組的解．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等式的基本性質(zhì)，以及對(duì)等式的變形的能力，正確的變形，并進(jìn)行消元是解決本題的關(guān)鍵．4．（2018秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知是方程的一個(gè)解，則的值為　　A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【考點(diǎn)】一元二次方程的解【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，變形得到，，然后利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：由題意得：，所以，，所以，原式．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了代數(shù)式的變形能力．5．（2022春?重慶月考）如果關(guān)于的不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和是　　A．8 B．9 C．11 D．7【考點(diǎn)】分式方程的解；一元一次不等式組的整數(shù)解【專題】運(yùn)算能力；分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組及應(yīng)用【分析】解不等式組和分式方程得出關(guān)于的范圍及的值，根據(jù)不等式組有且僅有三個(gè)整數(shù)解和分式方程的解為非負(fù)整數(shù)得出的值，即可求解．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解，，解得：，解關(guān)于的分式方程，得：，分式方程有非負(fù)整數(shù)解，且，，解得：，所以所有滿足條件的整數(shù)值的和為7．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的解和一元一次不等式組的解，熟練掌握解分式方程和不等式組的能力，并根據(jù)題意得到關(guān)于的范圍是解題的關(guān)鍵．6．（2020?浙江自主招生）使分式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)的和是　　A．5 B．6 C．12 D．22【考點(diǎn)】分式的值【專題】分式；運(yùn)算能力【分析】利用原式，為使為整數(shù)，進(jìn)而求出即可．【解答】解：由于原式，為使為整數(shù)，則自然數(shù)可取0，1，2，3，5，11，其和為22．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的值，逆用分式加減法則進(jìn)行變形，使分子為整數(shù)，再用整除的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）7．（2020秋?邗江區(qū)期末）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若用有序數(shù)對(duì)表示第排、第個(gè)數(shù)，比如表示的數(shù)是8，則若表示的數(shù)是　306　．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類【專題】創(chuàng)新題型；能力層次【分析】據(jù)表示整數(shù)8，對(duì)圖中給出的有序數(shù)對(duì)進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)所有數(shù)對(duì)，有：，．【解答】解：若用有序數(shù)對(duì)表示從上到下第排，從左到右第個(gè)數(shù)，對(duì)如圖中給出的有序數(shù)對(duì)和表示整數(shù)8可得，，；，；，由此可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)所有數(shù)對(duì)，有：，．所以，．故答案為：306．【點(diǎn)評(píng)】此題考查對(duì)數(shù)字變化類知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形、數(shù)值、數(shù)列等已知條件，認(rèn)真分析，找出規(guī)律，解決問(wèn)題．8．（2020?浙江自主招生）設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值為　　．【考點(diǎn)】因式分解運(yùn)用公式法【專題】因式分解；運(yùn)算能力【分析】中后兩項(xiàng)提取變形，根據(jù)題中等式表示出，代入中配方變形后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出的最大值即可．【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．9．若，則　　．【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值【分析】根據(jù)已知可得，再把的值整體代入所求式子中，合并、約分即可．【解答】解：，，，故答案是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是注意整體代入．10．分解因式：　　．【考點(diǎn)】56：因式分解分組分解法【專題】69：應(yīng)用意識(shí)；512：整式【分析】先利用乘法公式展開(kāi)、合并得到原式，再進(jìn)行分組得到完全平方公式，所以原式，然后再把括號(hào)內(nèi)分組分解即可．【解答】解：原式．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解分組分解：分組分解法一般是針對(duì)四項(xiàng)或四項(xiàng)以上多項(xiàng)式的因式分解，分組有兩個(gè)目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式．11．已知，，則　6　．【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值【專題】計(jì)算題【分析】先把和的值分母有理化得到，，則，，再利用完全平方公式變形原式得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：，，，，，，原式．故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值；二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．12．若、、滿足和，則分式的值為　　．【考點(diǎn)】64：分式的值；：解三元一次方程組【分析】把看成已知數(shù)解關(guān)于、的方程組，再代入求出即可．【解答】解：，，解得：，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組的應(yīng)用，主要考查的計(jì)算能力．13．如果關(guān)于的方程有正整數(shù)解，那么正整數(shù)的所有可能取值之和為　23　．【考點(diǎn)】：取整函數(shù)【分析】首先根據(jù)題意得出或，進(jìn)而分別分析得出的取值范圍，利用，的關(guān)系得出的值．【解答】解：由是整數(shù)知，或．若為前者，由于，故知只能為7．此時(shí)，，解得：，因此，2，3，但一一驗(yàn)證知均不成立，若為后者，設(shè)，其中是正整數(shù)．則，故時(shí)取到）或時(shí)取到）．因此所求答案為．故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了取整計(jì)算，利用分類討論得出的值是解題關(guān)鍵．14．（1）已知實(shí)數(shù)、、滿足，，，則　　．（2）已知實(shí)數(shù)、、滿足，，，則　　．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；分式的化簡(jiǎn)求值【專題】因式分解；整式；運(yùn)算能力；推理能力【分析】（1）根據(jù)完全平方公式變形可得，將已知條件代入可得；進(jìn)而求得和的值，則將要求的式子變形，分別代入、和的值，可得答案．（2）解法和（1）一致，區(qū)別在于，，，這三個(gè)式子的值不同與（1）中．【解答】解：（1），，，，；故答案為：．（2），，，，；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活掌握的展開(kāi)公式，并能靈活變形，本題屬于競(jìng)賽題，難度較大．15．已知，，．則　　．【考點(diǎn)】：分式的化簡(jiǎn)求值【專題】11：計(jì)算題【分析】由已知，兩邊平方整理可得，又，所以，可得，同理可得，，，代入原式，整理即可得出；【解答】解：，兩邊平方得，，，，又，，同理得，，，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟記分式的基本性質(zhì)，是正確解答本題的關(guān)鍵．16．已知，，，，，，，是互不相等的非零實(shí)數(shù)，且，則的值為　2　．【考點(diǎn)】：分式的化簡(jiǎn)求值【專題】11：計(jì)算題；66：運(yùn)算能力【分析】可設(shè)，則，即，，，設(shè)，，由可得，由得，代入計(jì)算即可求解．【解答】解：設(shè)，則，整理得，，，，設(shè)，，由得，由得，原式．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）17．設(shè)，，．求（1）的值；（2）的值．【考點(diǎn)】59：因式分解的應(yīng)用【專題】11：計(jì)算題；66：運(yùn)算能力；44：因式分解；512：整式【分析】（1）由已知得出，再由，將已知條件代入即可解出；（2）由，將已知條件及（1）中推得的式子代入，即可求出的值，由，即可解出答案．【解答】解：（1）．（2）的值為98．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用因式分解進(jìn)行整式的化簡(jiǎn)求值，計(jì)算難度較大，需要較高的計(jì)算技巧．18．（2020?浙江自主招生）是大于零的實(shí)數(shù)，已知存在唯一的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的二次方程的兩個(gè)根均為質(zhì)數(shù)．求的值．【考點(diǎn)】：質(zhì)數(shù)與合數(shù)【專題】34：方程思想【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得方程，①．②，從而得到，③．得出，求得，，代入①得，④，再根據(jù)判別式求得的值．【解答】解：設(shè)方程的兩個(gè)質(zhì)數(shù)根為、．由根與系數(shù)的關(guān)系，有，①，②①②，得，則．③由③知，、顯然均不為2，所以必為奇數(shù)．故和均為整數(shù)，且，若為奇數(shù)，則必，2，，從而，為合數(shù)，矛盾．因此，必為偶數(shù)．同理，也為偶數(shù)．所以，和均為整數(shù)，且．不妨設(shè)，則或5．當(dāng)時(shí)，，得，，均為質(zhì)數(shù)．當(dāng)時(shí)，，得，，為合數(shù)，不合題意．綜上可知，，．代入①得．④依題意，方程④有唯一的實(shí)數(shù)解．故△．解得．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系，質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì)，有一定的難度．19．對(duì)于有理數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)，請(qǐng)解方程．【考點(diǎn)】取整函數(shù)；換元法解一元二次方程【分析】由表示不大于的最大整數(shù)，得出整數(shù)，且，進(jìn)而得到是整數(shù)，得到關(guān)于的不等式，并列舉出所有可能，得到列表的結(jié)果，總結(jié)出符合要求的答案．【解答】解：因?yàn)榉匠套筮叺牡?/span>1、3項(xiàng)都是整數(shù)，所以是整數(shù)．注意到，代入方程，得到，．所以是整數(shù)，是10的倍數(shù)．令，是整數(shù)，代入得，其中，對(duì)于有理數(shù)，．所以有，．當(dāng)取不同整數(shù)時(shí)，的情況如下表：的可能值是和3，相應(yīng)的和．代入驗(yàn)算得到或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了取整函數(shù)的性質(zhì)以及換元法解一元二次方程，假設(shè)，是整數(shù)，得出的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．已知，均為自然數(shù)，且滿足不等式．若對(duì)于某一給定的自然數(shù)，只有唯一的自然數(shù)使不等式成立，求所有符合要求的自然數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)．【考點(diǎn)】：函數(shù)最值問(wèn)題【分析】由題意可得：，整理得：①，也可得②，根據(jù)對(duì)于某一給定的自然數(shù)，的值只有一個(gè)，可得出的最大值，再由①可得，然后依次試驗(yàn)、9、，即可得出的最小值．【解答】解：，，①，②，為自然數(shù)，且對(duì)于給定來(lái)說(shuō)的值只有一個(gè)，，即，，當(dāng)時(shí)，代入②有：，只能取得唯一一個(gè)，的最大值為84；又根據(jù)①式，，顯然，當(dāng)取8時(shí)，，沒(méi)有符合條件的整數(shù)；當(dāng)取9時(shí)，，沒(méi)有符合條件的整數(shù)；當(dāng)取10時(shí)，，沒(méi)有符合條件的整數(shù)；當(dāng)取11時(shí)，，沒(méi)有符合條件的整數(shù)；當(dāng)取12時(shí)，，沒(méi)有符合條件的整數(shù)；當(dāng)取13時(shí)，，，為符合條件的最小值．綜上可得：的最大值為84，的最小值為13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的最值問(wèn)題，解答此類提競(jìng)賽類題目，關(guān)鍵是靈活變通，本題的靈活之處在與由得出，難度較大．21．設(shè)，是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，為質(zhì)數(shù)，滿足，且是整數(shù)．（1）求證：；（2）求的值；（3）求，的值．【考點(diǎn)】：質(zhì)數(shù)與合數(shù)；：約數(shù)與倍數(shù)；：質(zhì)因數(shù)分解；：因式分解【專題】15：綜合題；32：分類討論；49：反證法【分析】（1）運(yùn)用不等式的性質(zhì)和因式分解，由可推出，然后用反證法證明不成立，從而解決問(wèn)題；（2）設(shè)（其中，為正整數(shù)），則有，與條件“”結(jié)合，可得．若為正整數(shù)，則與中有一個(gè)是1，另一個(gè)是，或兩個(gè)都是；若是正整數(shù)，則與中有一個(gè)是1，另一個(gè)是，或兩個(gè)都是．只需通過(guò)分類討論就可解決問(wèn)題；（3）由（2）可知，只有當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)、及質(zhì)數(shù)，使得條件成立，此時(shí)，整理得，從而得到．由是大于1的正整數(shù)可得是小于3的正整數(shù)，從而求出，就可得到．【解答】解：（1），是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，，都是正整數(shù)，．是整數(shù)，，，，即．假設(shè)，則有．與連續(xù)整數(shù)，是偶數(shù)，為質(zhì)數(shù)，，，，，，與條件“是整數(shù)”矛盾，； （2）設(shè)（其中，為正整數(shù)），則有，，．是質(zhì)數(shù)，．①且，此時(shí)，整理得，方程無(wú)解．②且，此時(shí)，與條件“、為不相等的正整數(shù)”矛盾；③，此時(shí)，，．為整數(shù)，也是整數(shù)，正整數(shù)．，正整數(shù)，，，，與為正整數(shù)矛盾；④且，此時(shí)，整理得，解得，，與為正整數(shù)矛盾；⑤且，此時(shí)，，，，，與“是大于1的正整數(shù)”矛盾；⑥，此時(shí)，整理得，則．是大于1的正整數(shù)，是小于3的正整數(shù)，整數(shù)，，，．綜上所述：； （3）由（2）可知，只有當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)、及質(zhì)數(shù)，使得條件成立，此時(shí)，整理得，則．是大于1的正整數(shù)，是小于3的正整數(shù)，整數(shù)，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)、質(zhì)因數(shù)的分解、因式分解、分式的分解等知識(shí)，難度比較大，在解決問(wèn)題的過(guò)程中用到了分類討論、轉(zhuǎn)化（將一個(gè)分式轉(zhuǎn)化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)分子是整數(shù)的簡(jiǎn)單分式的和）、反證法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)學(xué)會(huì)使用．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/15 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這是一份2023長(zhǎng)郡集團(tuán)七上第一次月考數(shù)學(xué)試卷（長(zhǎng)培，郡維，湘郡未來(lái)聯(lián)考），共6頁(yè)。

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