南京市2023屆高三年級學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷及參考答案

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注意事項：
1．本試卷共6頁，包括單項選擇題（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）四部分．本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號填涂在答題卡上指定的位置．
3．作答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
4．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)，在其他位置作答一律無效．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．
1．設(shè)集合A＝{x|x2＋x－6＜0}，B＝{x|x＋1＞0}，則A∩B＝
A．(－3，－1) B．(－1，2) C．(2，＋∞) D． (－3，＋∞)
2．已知復(fù)數(shù)z＝(2＋i)i，其中i為虛數(shù)單位，則zeq \(z,\s\up6(－))的值為
A．eq \R(,3) B．eq \R(,5)C．3D． 5
3．已知隨機(jī)變量X~N(4，22)，則P(8＜X＜10)的值約為
A．0.0215 B．0.1359 C．0.8186 D．0.9760
附：若Y~N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Y＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜Y＜μ＋2σ)≈0.9545，
P(μ－3σ＜Y＜μ＋3σ)≈0.9974
4．若直線x＋y＋a＝0與曲線y＝x－2lnx相切，則實數(shù)a的值為
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
5．阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移y（m）和時間t（s）的函數(shù)關(guān)系為y＝sin(ωt＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)，如圖2．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時間分別為t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為
A．eq \f(1,3)s B．eq \f(2,3)s C．1s D．eq \f(4,3)s
t
O
y
（第5題圖）
圖1
圖2
6．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且PF2⊥F1F2．若AB∥PF1，則橢圓的離心率為
A．eq \F(eq \R(,5),5) B．eq \F(1,2) C．eq \F(eq \R(,3),3) D．eq \F(eq \R(,2),2)
7．已知圓柱 QUOTE OO1 的軸截面 QUOTE ABCD 是邊長為2 QUOTE 2 的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑， E為下底面圓周上一點(diǎn)，則三棱錐P－ABE QUOTE P-ABE 外接球的表面積為
A. eq \f(25π,16) B. eq \f(25π,4) C. eq \f(5π,2) D. 5π QUOTE 5π4
8．已知函數(shù)f (x)，任意x，y∈R，滿足f (x＋y) f (x－y)＝f 2(x)－f 2(y)，且f (1)＝2，f (2)＝0，則f (1)＋f (2)＋…＋f (90)的值為
A．－2 B．0 C．2 D．4
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有錯選的得0分．
9．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列選項中，“l(fā)⊥m”的充分條件有
A．α⊥β，l⊥α，m∥β B．α∥β，l∥α，m⊥β
C．α⊥β，l⊥α，m⊥β D．α⊥β，l∥α，m∥β
10．已知a＞b＞0，則
A．eq \F(1,b)＞eq \F(1,a) B．a(chǎn)－eq \F(1,b)＞b－eq \F(1,a)
C．a(chǎn)3－b3＞2(a2b－ab2) D．eq \R(,a＋1)－eq \R(,b＋1)＞eq \R(,a)－eq \R(,b)
11．已知直線l：x＋1＝0，點(diǎn)P(1，0)，圓心為M的動圓經(jīng)過點(diǎn)P，且與直線l相切，則
A．點(diǎn)M的軌跡為拋物線
B．圓M面積的最小值為4π
C．當(dāng)圓M被y軸截得的弦長為2eq \R(,5)時，圓M的半徑為3
D．存在點(diǎn)M，使得eq \F(MO,MP)＝eq \F(2eq \R(,3),3)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)
12．已知函數(shù)f (x)＝3x－2x，x∈R，則
A．f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增
B．存在a∈R，使得函數(shù)y＝eq \F(f (x),ax)為奇函數(shù)
C．函數(shù)g (x)＝f (x)＋x有且僅有2個零點(diǎn)
D．任意x∈R，f (x)＞－1
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．(1－eq \f(1,x2))(1＋x)6的展開式中x3的系數(shù)為eq \(▲,________)．
14．雙曲線x2－eq \f(y2,4)＝1右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對稱．若PF⊥QF，則△PQF的面積為eq \(▲,________)．
15．如圖是構(gòu)造無理數(shù)的一種方法：線段OA1＝1；第一步，以線段OA1為直角邊作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以O(shè)A2為直角邊作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以O(shè)A3為直角邊作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1；… ，如此延續(xù)下去，可以得到長度為無理數(shù)的一系列線段，如OA2，OA3，…，則eq \(OA2,\s\up6(→))·eq \(OA4,\s\up6(→))＝eq \(▲,________)．
A1
A2
A3
A4
A5
O
（第15題圖）
16．若函數(shù)f (x)＝2x－sinx－a在(－π，π)上存在唯一的零點(diǎn)x1，函數(shù)g (x)＝x2＋csx－ax＋a在(－π，π)上存在唯一的零點(diǎn)x2，且x1＜x2，則實數(shù)a的取值范圍為eq \(▲,________)．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
在平面四邊形ABCD中，∠ABD＝45°，AB＝6，AD＝3eq \r(2)．對角線與交于點(diǎn)E，且AE＝EC，DE＝2BE．
（1）求BD的長；
（2）求cs∠ADC的值．
18．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列{an}中，a1＝6，a2＝12，a3＝20，且數(shù)列{ an＋1－an}為等差數(shù)列，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{ eq \f(1,an)}的前n項和為Sn，證明：Sn＜ eq \f(1,2)．
19．（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）若AB＝AD＝PA＝2，∠BAD＝120°，求二面角B－AM－D的正弦值．
M
D
C
B
A
P
（第19題圖）
20．（本小題滿分12分）
某高校男、女學(xué)生人數(shù)基本相當(dāng)，為了解該校英語四級考試情況，隨機(jī)抽取了該校首次參加英語四級考試的男、女各50名學(xué)生的成績，情況如下表：
（1）是否有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語四級考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān)？
（2）從這50名男生中任意選2人，求這2人中合格人數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
（3）將抽取的這100名學(xué)生合格的頻率視為該校首次參加英語四級考試的每位學(xué)生合格的概率．若學(xué)生首次考試不合格，則經(jīng)過一段時間的努力，第二次參加考試合格的概率會增加0.1．現(xiàn)從該校學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，求至多兩次英語四級考試后，這兩人全部合格的概率．
附：K2＝ eq \s\d1(\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))) ，
21．（本小題滿分12分）
已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)F時，點(diǎn)A恰好為線段PF中點(diǎn)．
（1）求p的值；
（2）是否存在定點(diǎn)T，使得eq \(TA,\s\up6(→))·eq \(TB,\s\up6(→))為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及該常數(shù)；若不存在，說明理由．
22．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f (x)＝eax－x，a∈R．
（1）若a＞0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若任意x≥0，f (x)≥1＋eq \F(1,2)ax2，求a的取值范圍．合格
不合格
男生
35
15
女生
45
5
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828.