?江蘇省南京市聯(lián)合體2021-2022學(xué)年
九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、 單選題
1．一元二次方程x2＝－2x的解是（）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
【答案】D
【分析】
先移項、然后再利用因式分解法解方程即可．
【詳解】
解：x2＝－2x
x2+2x=0
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝-2．
故選：D．
【點睛】
本題考查了解一元二次方程?因式分解法,把解一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題成為解答本題的關(guān)鍵．
2．不透明的布袋內(nèi)裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的1個白球，2個紅球，3個黑球，若隨機摸出一個球恰是黑球的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由在不透明的布袋中裝有1個白球，2個紅球，3個黑球，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【詳解】
解：∵在不透明的布袋中裝有1個白球，2個紅球，3個黑球，
∴從袋中任意摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是：．
故選：B．
【點睛】
此題考查了概率公式的應(yīng)用．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
3．小明根據(jù)演講比賽中9位評委所給的分數(shù)制作了如下表格：
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
8.0
8.2
8.3
0.2
如果去掉一個最高分和一個最低分，那么表格中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是（）
A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差
【答案】B
【分析】
根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可．
【詳解】
解：七個分數(shù)，去掉一個最高分和一個最低分，對中位數(shù)沒有影響．
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了統(tǒng)計量的選擇，掌握中位數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
4．如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，則下列結(jié)論中正確的是（）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)DE∥BC，可得 ，再由相似三角形對應(yīng)邊成比例，周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方，逐項判斷即可求解．
【詳解】
解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A錯誤，不符合題意；
∴，故B錯誤，不符合題意；
∴，故C正確，符合題意；
∴，故D錯誤，不符合題意；
故選：C
【點睛】
本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例，周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，F(xiàn)C＝6，則DG的長是（）

A．4 B． C． D．5
【答案】B
【分析】
先運用勾股定理可求得EF, 過G作GH⊥DE垂足為H，則四邊形EFGH是矩形可得HG=EF,再說明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，進一步可得△EBF∽△GHD，最后運用相似三角形的性質(zhì)解答即可.
【詳解】
解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3
∴EF=
如圖：過G作GH⊥DE垂足為H，
∵DE⊥EF，EF⊥FG
∴四邊形EFGH是矩形
∴HG=EF=
∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠ADE=90°
∵DE⊥EF
∴∠AED+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠ADE
又∵∠A=∠B=90°
∴△EBF∽△DAE
同理：△DAE∽△GHD
∴△EBF∽△GHD
∴,即,解得DG=.
故選B.

【點睛】
本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、運用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝x2－2x的圖像先沿x軸翻折，再向上平移5個單位長度，得到的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式是（）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由折疊的性質(zhì)，得到翻折后的解析式，然后再向上平移即可．
【詳解】
解：將函數(shù)y＝x2－2x的圖像先沿x軸翻折，
∴翻折后的解析式為，
∵函數(shù)圖像再向上平移5個單位長度，
∴解析式為：；
故選：A．
【點睛】
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．

第II卷（非選擇題）
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評卷人
得分



二、填空題
7．若＝，則＝__________.
【答案】
【分析】
由比例的性質(zhì)即可解答此題.
【詳解】
∵，
∴a=b，
∴= ，
故答案為
【點睛】
此題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握這個性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
8．設(shè)x1，x2是方程x2－3x－1＝0的兩個根，則x1＋x2＝_____，x1x2＝______．
【答案】3－1
【分析】
利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．
【詳解】
解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的兩個根，
∴ ．
故答案為：3，-1
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握若，是一元二次方程 的兩個實數(shù)根，則，是解題的關(guān)鍵．
9．二次函數(shù)y＝x2－2x＋2圖像的頂點坐標(biāo)是______．
【答案】（1，1）
【詳解】
分析：把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式形式，然后寫出頂點坐標(biāo)即可．
詳解：∵
∴頂點坐標(biāo)為(1,1).
故答案為(1,1).
點睛：考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.
10．已知B是線段AC的黃金分割點，AB＞BC，若AC＝6，則AB的長為______．（結(jié)果保留根號）
【答案】##
【分析】
根據(jù)黃金分割的定義得到，把AC＝6代入計算即可解題．
【詳解】
解：B是線段AC的黃金分割點，

AC＝6

故答案為：3－3．
【點睛】
本題考查黃金分割的有關(guān)計算，掌握黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．
11．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠D＝110°，則的長為__．

【答案】##
【分析】
連接OA、OC，先求出∠ABC的度數(shù)，然后得到∠AOC，再由弧長公式即可求出答案．
【詳解】
解：連接OA、OC，如圖，

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠D＝110°，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點睛】
本題考查了弧長的計算以及圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長公式．
12．在陽光下，身高1.6米的小明在地面上的影長為0.4米，同一時刻旗桿的影長為6米，則旗桿的高度為______米．
【答案】24
【分析】
根據(jù)陽光下，同一時刻影長與物高成比例解答即可．
【詳解】
解：設(shè)旗桿的高度為x米，
根據(jù)題意，得：，
解得：x=24，
即旗桿的高度為24米，
故答案為：24．
【點睛】
本題考查相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時刻物高與影長成比例是解答的關(guān)鍵．
13．如圖，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，則BE的長為______．

【答案】
【分析】
由題意知；如圖過點作交于點，交于點；有四邊形與四邊形均為平行四邊形，且有，，；；可得的值，由可知的值．
【詳解】
解：如圖過點作交于點，交于點；

四邊形與四邊形均為平行四邊形
，，
由題意知






故答案為：．
【點睛】
本題考查了平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似等知識點．解題的關(guān)鍵在于作輔助線將平行線分線段成比例應(yīng)用于相似三角形中找出線段的關(guān)系．
14．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，則∠ABC＝______°．

【答案】132°
【分析】
連接AO、BO、CO，根據(jù)AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，可得 ， ，從而得到∠ABO=60°，再由BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，可得 ，BO=CO，從而得到，即可求解．
【詳解】
解：如圖，連接AO、BO、CO，

∵AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，
∴ ， ，
∴ ，
∵BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，
∴ ，BO=CO，
∴，
∴∠ABC=∠ABO+ ∠CBO=60°+72°=132°．
故答案為：132°
【點睛】
本題主要考查了圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像的頂點坐標(biāo)為（1，m），與y軸的交點為（0，m－2），則a的值為______．
【答案】－2
【分析】
利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意，設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a(x－1)2+m，
將（0，m－2）代入得：a+m=m－2，
解得：a=－2，
故答案為：－2．
【點睛】
本題考查待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法步驟，設(shè)為頂點式求解是解答的關(guān)鍵．
16．如圖，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一點，CD＝5，則AD的長為______．

【答案】3
【分析】
過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥AD于F，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性質(zhì)可知BE=CE=6，根據(jù)相似三角形的判定證明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求得AE、DF、CF， AF即可求解．
【詳解】
解：過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥AD于F，則∠AEB=∠CFD=90°，
∵＝， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
則，
∴AD=DF+AF=3＋2，
故答案為：3＋2．

【點睛】
本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

評卷人
得分



三、解答題
17．解方程：（1）x2－2x－3＝0；（2）x (x－2)－x＋2＝0．
【答案】（1）x1＝3，x2＝－1；（2）x1＝2，x2＝1
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【詳解】
（1）解：x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝3＋1
(x－1)2＝4
x－1＝±2
∴x1＝3，x2＝－1；
（2）解：x (x－2)－(x－2)＝0
(x－2)(x－1)＝0
x-2=0或x-1=0
∴x1＝2，x2＝1．
【點睛】
本題考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求解方法，并根據(jù)題意靈活選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法是解題關(guān)鍵．
18．從1名男生和3名女生中隨機抽取參加2022年北京冬季奧運會的志愿者．
（1）抽取2名，求恰好都是女生的概率；
（2）抽取3名，恰好都是女生的概率是．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用列表法進行求解即可；
（2）利用樹狀圖的方法列出所有可能的情況，再求解即可．
【詳解】
解：（1）列表如下：

男
女1
女2
女3
男

（女1，男）
（女2，男）
（女3，男）
女1
（男，女1）

（女2，女1）
（女3，女1）
女2
（男，女2）
（女1，女2）

（女3，女2）
女3
（男，女3）
（女1，女3）
（女2，女3）

由表格知，共有12種等可能性結(jié)果，其中滿足“都是女生”(記為事件A)的結(jié)果只有6種，
∴抽取2名，恰好都是女生的概率；
（2）列樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有24種等可能性結(jié)果，其中滿足“恰好都是女生”(記為事件B)的結(jié)果只有6種，
∴抽取3名，恰好都是女生的概率，
故答案為：．
【點睛】
本題考查列樹狀圖或表格法求概率，掌握列樹狀圖或表格的方法，做到不重不漏的列出所有情況是解題關(guān)鍵．
19．甲、乙兩班各10名同學(xué)參加“國防知識”比賽，其預(yù)賽成績?nèi)缦卤恚?br />
6分
7分
8分
9分
10分
甲班
1人
2人
4人
2人
1人
乙班
2人
3人
1人
1人
3人
（1）填寫下表：

平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲班
8
8

乙班


7和10
（2）利用方差判斷哪個班的成績更加穩(wěn)定？
【答案】（1）8；8；7.5；（2）甲班的成績更加穩(wěn)定
【分析】
（1）分別求出甲、乙兩班的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，即可得到答案；
（2）分別求出甲、乙兩個班的方差，即可進行判斷．
【詳解】
解：（1）甲班的眾數(shù)為：8；
乙班的平均數(shù)為：；
乙班的中位數(shù)為：；
故答案為：8；8；7.5；
（2）甲班的方差為：
；
乙班的方差為：
；
∵，
∴，
∴甲班的成績更加穩(wěn)定；
【點睛】
本題考查了利用方差判斷穩(wěn)定性，也考查了加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進行數(shù)據(jù)的處理．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．
（1）求證△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出
（2）由得，，推出，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求出CD的長．
【詳解】
（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【點睛】
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，F(xiàn)為AB延長線上一點，連接CF，DF．
（1）若OE＝3，BE＝2，求CD的長；
（2）若CF與⊙O相切，求證DF與⊙O相切．

【答案】（1）8；（2）見解析
【分析】
（1）連接OC，利用勾股定理求解CE＝4，再利用垂徑定理可得答案；
（2）證明再證明可得從而可得結(jié)論.
【詳解】
（1）解：連接OC，

∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴OC＝OB＝OE＋BE＝3＋2＝5，
在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，由勾股定理得：CE2＝OC2－OE2，
∴CE2＝52－32，
∴CE＝4，
∴CD＝2CE＝8.
（2）解：連接OD，

∵CF與⊙O相切，
∴∠OCF＝90°，
∵CE＝DE，CD⊥AB，
∴CF＝DF，
又OF＝OF，OC＝OD，
∴△OCF≌△ODF，
∴∠ODF＝∠OCF＝90°，即OD⊥DF．
又D在⊙O上，
∴DF與⊙O相切．
【點睛】
本題考查的是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)與判定，證明△OCF≌△ODF得到∠ODF＝∠OCF＝90°是解本題的關(guān)鍵.
22．如圖，AD和BG是△ABC的高，連接GD．
（1）求證△ADC∽△BGC；
（2）求證△CDG∽△CAB．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）利用有兩對角相等的兩個三角形相似證明即可；
（2）由（1）可得，證明△GDC∽△BAC；
【詳解】
（1）∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC＝∠ADC＝90°
又∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BGC．
（2）∵△ADC∽△BGC，
∴，
∴，
又∠C＝∠C，
∴△CDG∽△CAB．
【點睛】
本題考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)進行證明是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1，0），頂點坐標(biāo)為（－1，－4）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）當(dāng)－5＜x＜0時，y的取值范圍為；
（3）直接寫出該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的平移恰好過點（3，4），且與x軸只有一個公共點．

【答案】（1）y＝(x＋1) 2－4；（2）－4≤y＜12；（3）向上平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度；或向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度
【分析】
（1）設(shè)為頂點式，運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）拋物線開口向上，有最小值，在－5＜x＜0范圍內(nèi)，有最小值是-4，求出當(dāng)x=-5時，y=12，結(jié)合函數(shù)圖象可得y的取值范圍；
（3）根據(jù)題意設(shè)出平移后的函數(shù)解析式，再把（3，4）代入設(shè)出的解析式并求出待定系數(shù)即可得解．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a(x＋1) 2－4．
將(1，0)代入y＝a(x＋1) 2－4，得，

解得，a＝1，
∴y＝(x＋1) 2－4．
（2）當(dāng)x=-5時，y=(-5+1)2-4=12
∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（-1，-4）
∴當(dāng)時，y的最小值為-4，
∴當(dāng)－5＜x＜0時，y的取值范圍為－4≤y＜12
故答案為4≤y＜12；
（3）∵拋物線與x軸只有一個公共點
∴該二次函數(shù)的圖象向上平移了4個單位，
設(shè)平移后的二次函數(shù)解析式為
∵平移后的二次函數(shù)圖象經(jīng)過點（3，4）
∴
∴
因此，該二次函數(shù)圖象經(jīng)過向上平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度或向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度恰好過點（3，4），且與x軸只有一個公共點．
【點睛】
本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是正確的求得解析式．
24．某超市銷售一種飲料，每瓶進價為6元．當(dāng)每瓶售價為10元時，日均銷售量為160瓶．經(jīng)市場調(diào)查表明，每瓶售價每增加0.5元，日均銷售量減少10瓶．
（1）當(dāng)每瓶售價為11元時，日均銷售量為瓶；
（2）當(dāng)每瓶售價為多少元時，所得日均總利潤為700元？
（3）當(dāng)每瓶售價為多少元時，所得日均總利潤最大？最大日均總利潤為多少元？
【答案】（1）140；（2）每瓶售價11或13元，所得日均總利潤為700元；（3）每瓶售價12元時，所得日均總利潤最大為720元
【分析】
（1）根據(jù)日均銷售量為計算可得；
（2）根據(jù)“總利潤=每瓶利潤×日均銷售量”列方程求解可得；
（3）根據(jù)（2）中相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，將其配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【詳解】
解：（1）當(dāng)每瓶的售價為11元時，日均銷售量為：（瓶）；
（2）解：設(shè)每瓶售價x元時，所得日均總利潤為700元．
根據(jù)題意，列方程：，
解得：x1＝11，x2＝13．
答：每瓶售價11或13元時，所得日均總利潤為700元；
（3）解：設(shè)每瓶售價m元時，所得日均總利潤為y元．
＝－20m2＋480m－2160＝－20(m－12) 2＋720，
∵－20＜0，
∴當(dāng)m＝12時，y有最大值720．
即每瓶售價12元時，所得日均總利潤最大為720元．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程和函數(shù)解析式．
25．如圖，在⊙O中，弦AC與弦BD交于點P，AC＝BD．
（1）求證AP＝BP；
（2）連接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半徑．

【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）連接，先證出，再根據(jù)圓周角定理可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；
（2）連接，并延長交于點，連接，過作于點，先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差、勾股定理可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理可得的長，從而可得的長，在中，利用勾股定理即可得．
【詳解】
證明：（1）如圖，連接，

，
，
，即，
，
；
（2）連接，并延長交于點，連接，過作于點，


，
，
是的垂直平分線，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
設(shè)，則，
在中，，即，解得，
在中，，
即的半徑為．
【點睛】
本題考查了圓周角定理、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．
26．已知函數(shù)y1＝x＋1和y2＝x2＋3x＋c（c為常數(shù)）.
（1）若兩個函數(shù)圖像只有一個公共點，求c的值；
（2）點A在函數(shù)y1的圖像上，點B在函數(shù)y2的圖像上，A，B兩點的橫坐標(biāo)都為m．若A，B兩點的距離為3，直接寫出滿足條件的m值的個數(shù)及其對應(yīng)的c的取值范圍．
【答案】（1）c＝2；（2）當(dāng)c＞5時，m有0個；當(dāng)c＝5時，m有1個；當(dāng)－1＜c＜5時，m有2個；當(dāng)c＝－1時，m有3個；當(dāng)c＜－1時，m有4個
【分析】
（1）只需求出y1=y2時對應(yīng)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根的c值即可；
（2）根據(jù)題意，AB=｜m2＋2m＋c－1｜=3，分m2＋2m＋c－1＞0和m2＋2m＋c－1＜0兩種情況，利用一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系求解即可．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意，若兩個函數(shù)圖像只有一個公共點，
則方程x2＋3x＋c＝x＋1有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=b2－4ac＝22－4(c－1)＝0，
∴c＝2；
（2）由題意，A（m，m+1），B（m，m2＋3m＋c）
∴AB=｜m2＋3m＋c－m－1｜=｜m2＋2m＋c－1｜=3，
①當(dāng)m2＋2m＋c－1＞0時，m2＋2m＋c－1=3，即m2＋2m＋c－4=0，
△=22－4（c－4）=20－4c，令△=20－4c=0，解得：c=5，
∴當(dāng)c＜5時，△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即m有2個；
當(dāng)c=5時，△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，即m有1個；
當(dāng)c＞5時，△＜0，方程無實數(shù)根，即m有0個；
②當(dāng)m2＋2m＋c－1＜0時，m2＋2m＋c－1=－3，即m2＋2m＋c+2=0，
△=22－4（c+2）=－4c－4，令△=－4c－4=0，解得：c=－1，
∴當(dāng)c＜－1時，△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即m有2個；
當(dāng)c=－1時，△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，即m有1個；
當(dāng)c＞－1時，△＜0，方程無實數(shù)根，即m有0個；
綜上，當(dāng)c＞5時，m有0個；
當(dāng)c＝5時，m有1個；
當(dāng)－1＜c＜5時，m有2個；
當(dāng)c＝－1時，m有3個；
當(dāng)c＜－1時，m有4個．
【點睛】
本題考查函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系、坐標(biāo)與圖形，解答的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系：△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，△＜0，方程無實數(shù)根．
27．（數(shù)學(xué)認識）
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，在初中幾何學(xué)習(xí)的歷程中，常常把角與角的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊的數(shù)量關(guān)系，把邊與邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為角與角的數(shù)量關(guān)系．
（構(gòu)造模型）
（1）如圖①，已知△ABC，在直線BC上用直尺與圓規(guī)作點D，使得∠ADB＝∠ACB．
（不寫作法，保留作圖痕跡）

（應(yīng)用模型）
已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的半徑為r，△ABC的周長為c．
（2）如圖②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范圍．

（3）如圖③，已知線段MN，AB是⊙O一條定長的弦，用直尺與圓規(guī)作點C，使得c＝MN．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】（1）見解析；（2）16＜c≤8＋8；（3）見解析
【分析】
（1）可找到兩個這樣的點：①當(dāng)點D在BC的延長線上時：以點C為圓心，AC長為半徑，交BC的延長線于點D，連接AD，即為所求；②當(dāng)點D在CB的延長線上時：以點A為圓心，AD長為半徑，交CB的延長線于點，連接，即為所求；兩種情況均可利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)證明；
（2）考慮最極端的情況：當(dāng)C與A或B重合時，則，可得此時，根據(jù)題意可得，當(dāng)點C為優(yōu)弧AB的中點時，連接AC并延長至D，使得，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得點D的運動軌跡為一個圓，點C為優(yōu)弧AB的中點時，點C即為外接圓的圓心，AC長為半徑，連接CO并延長交AB于點E，連接AO，根據(jù)垂徑定理及勾股定理可得，當(dāng)AD為直徑時，c最大即可得；
（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分線交⊙O于點P；第2步：以點P為圓心，PA為半徑作⊙P；第3步：在MN上截取AB的長度；第4步：以A為圓心，MN減去AB的長為半徑畫弧交⊙P于點E；第5步：連接AE交⊙O于點C，即為所求；方法二：第1步：在圓上取點D，連接AD、BD，延長AD使得；第2步：作的外接圓；第3步：在MN上截取AB的長度；第4步：以點A為圓心，MN減去AB的長為半徑畫弧交△ABE的外接圓于點F；第5步：連接AF交⊙O于點C，即為所求．
【詳解】
（1）如圖所示：①當(dāng)點D在BC的延長線上時：以點C為圓心，AC長為半徑，交BC的延長線于點D，連接AD，即為所求；②當(dāng)點D在CB的延長線上時：以點A為圓心，AD長為半徑，交CB的延長線于點，連接，即為所求；

證明：①∵，
∴，
∴；
同理可證明；
（2）當(dāng)C與A或B重合時，則，
∴，
∵，
∴，

如圖，當(dāng)點C為優(yōu)弧AB的中點時，連接AC并延長至D，使得，
∴，
∵同弧所對的圓周角相等，
∴為定角，
∴為定角，
∴點D的運動軌跡為一個圓，當(dāng)點C為優(yōu)弧AB的中點時，點C即為外接圓的圓心，AC長為半徑，連接CO并延長交AB于點E，連接AO，
由垂徑定理可得：CE垂直平分AB，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴AD為直徑時最長，
∴最長，
∴的周長最長．
∴c最長為，
∴c的取值范圍為：；
（3）方法一：
第1步：作AB的垂直平分線交⊙O于點P；
第2步：以點P為圓心，PA為半徑作⊙P；
第3步：在MN上截取AB的長度；
第4步：以A為圓心，MN減去AB的長為半徑畫弧交⊙P于點E；
第5步：連接AE交⊙O于點C，即為所求；

方法二：
第1步：在圓上取點D，連接AD、BD，延長AD使得；
第2步：作的外接圓；
第3步：在MN上截取AB的長度；
第4步：以點A為圓心，MN減去AB的長為半徑畫弧交△ABE的外接圓于點F；
第5步：連接AF交⊙O于點C，即為所求．


【點睛】
題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，角的作法等，理解題意，綜合運用各個知識點作圖是解題關(guān)鍵．

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