2022-2023學(xué)年陜西省咸陽市秦都區(qū)西北工大啟迪中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共8小題，共24分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 下列單項(xiàng)式中，使多項(xiàng)式能用平方差公式因式分解的是(    )A.  B.  C.  D. 使分式有意義的的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，已知四邊形是平行四邊形，于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是(    )A. 兩組對邊分別相等 B. 兩組對邊分別平行
C. 對角線互相平分 D. 對角線互相垂直如圖，在菱形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，如果，那么菱形的周長為(    )
A.  B.  C.  D. 若關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，，，則對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共5小題，共15分）已知一個正多邊形的內(nèi)角和為，則它的一個外角的度數(shù)為______度．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是______．關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根為，，則______．關(guān)于的方程有增根，則的值為______．如圖，在菱形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接交對角線于點(diǎn)，連接若，，則的長為______．
  三、解答題（本大題共10小題，共61分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
解不等式組．本小題分
先化簡，再求值：，其中．本小題分
用配方法解方程．本小題分
用公式法解一元二次方程：本小題分
尺規(guī)作圖不寫作法，保留作圖痕跡
如圖，已知，求作的高．
本小題分
如圖所示，在?中，點(diǎn)，是對角線上的兩點(diǎn)，且，連接，，，求證：四邊形是平行四邊形．
本小題分
關(guān)于的一元二次方程，其根的判別式的值為，求的值及該方程的解．本小題分
已知關(guān)于的方程．
若該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；
若，是該方程的兩個根，且，求實(shí)數(shù)的值．本小題分
如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、．
求證：≌．
連接、，當(dāng)平分時，四邊形是什么特殊的四邊形？請說明理由．
本小題分
如圖，在菱形中，，、分別為線段、上的兩點(diǎn)．且，，相交于點(diǎn)證明：≌；
求的度數(shù)；
證明：．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：，不符合平方差公式，不符合題意；
B.，不符合平方差公式，不符合題意；
C.，不符合平方差公式，不符合題意；
D.，符合平方差公式，符合題意；
故選：．
接根據(jù)平方差公式進(jìn)行解答即可．
本題考查了公式法分解因式，正確掌握平方差公式：是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，得，
解得．
故選：．
根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零即可得出答案．
本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>于點(diǎn)，且，
所以，
又因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，
所以，
所以，
所以．
故選：．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推理即可．
本題考查了平行四邊形，熟練掌握平行四邊形的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：菱形的性質(zhì)有兩組對邊平行，兩組對邊相等，對角線互相垂直平分，平行四邊形的性質(zhì)有，兩組對邊平行，兩組對邊相等，對角線互相平分，
菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是對角線互相垂直，
故選：．
由菱形的性質(zhì)可直接求解．
本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：是中點(diǎn)，
，交于點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
菱形的周長是．
故選：．
易得長為長的倍，那么菱形的周長問題得解．
本題考查的是三角形中位線的性質(zhì)及菱形的周長公式，題目比較簡單．
 7.【答案】 【解析】解：
解得．
解得，
不等式組無解，
，
．
故選：．
首先解第一個不等式，然后根據(jù)不等式組無解確定的范圍．
本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理及含直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)求出長和長即可．
【解答】
解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

四邊形為菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故選：．  9.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識．關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：，外角和等于．
首先設(shè)此多邊形為邊形，根據(jù)題意得：，即可求得，再由多邊形的外角和等于，即可求得答案．
【解答】
解：設(shè)此多邊形為邊形，
根據(jù)題意得：，
解得：，
這個正多邊形的每一個外角等于：．
故答案為．  10.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，
，，
解得；
故答案為：．
根據(jù)一元二次方程的定義得到且，然后解方程和不等式即可得到滿足條件的的值．
此題主要考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程．
 11.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根為，，
，，
．
故答案為：．
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，再將其代入中，計(jì)算即可求出．
此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．，是一元二次方程的兩根時：，．
 12.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程有增根，則是增根，
將原分式方程去分母得，
，
而是方程的解，
所以，
故答案為：．
得出增根，而是分式方程去分母后整式方程的根，代入計(jì)算即可．
本題考查分式方程的增根，理解增根的意義，明確增根產(chǎn)生的原因是解決問題的前提．
 13.【答案】 【解析】解：如圖，連接交于，

四邊形是菱形，
，，，
，
，
點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，四邊形是菱形，
，，，，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，．
故答案：．
因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，可知，，，進(jìn)而可知，又因?yàn)辄c(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，可得，利用兩次勾股定理可求．
本題主要考查了直角三角形特殊角的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
 14.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式組的解集為：． 【解析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】解：


，
當(dāng)時，原式． 【解析】先根據(jù)分式的減法法則算括號里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
 16.【答案】解：，
，
則，即，
，
，
即，． 【解析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，，，
，
則，
即，． 【解析】直接利用求根公式計(jì)算可得．
本題考查的是解一元二次方程，根據(jù)題目的要求和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/span>
 18.【答案】解：如圖，即為所求．
． 【解析】以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫圓，交于點(diǎn)，，再作線段的垂直平分線即可．
本題考查的是作圖基本作圖，熟知過直線外一點(diǎn)作直線垂線的作法是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：連接，交于點(diǎn)，如圖．

四邊形是平行四邊形，
，平行四邊形的對角線互相平分．
，，
，即，
四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形． 【解析】連接，交于點(diǎn)，由平行四邊形的對角線互相平分可得，，結(jié)合還可推出，由以上分析可知四邊形的兩組對角線互相平分，再結(jié)合平行四邊形的判定定理證得結(jié)論．
本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：由題意知，，，
，
，
，
舍去，，
即，
當(dāng)時，原方程化為：，
解得：，． 【解析】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件．
由一元二次方程的判別式，建立的方程，求出的解后再化簡原方程并求解即可．
 21.【答案】解：根據(jù)題意得，解得；
由根與系數(shù)的關(guān)系得到，，
，
，
，
解得． 【解析】根據(jù)判別式的意義得到且，然后解不等式即可；
由根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再變形得到，所以，然后解關(guān)于的方程即可得到滿足條件的的值．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．
 22.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：四邊形是菱形，理由如下：
連接，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是平行四邊形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四邊形是菱形，
，
平行四邊形是菱形． 【解析】根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，，可證，，然后通過即可證得≌；
由平分，得，又因?yàn)?/span>，則，有，得到平行四邊形是菱形，得到，然后證出四邊形為平行四邊形即可解決問題．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明≌是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：連接，
證明：四邊形是菱形，
，
，
，是等邊三角形，
，，
在和中，
，
≌．

≌，
，
．

證明：如圖，作于，，交的延長線于．

，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
平分，
即，
在中，，
，
在和中，
，
≌，
，
≌，
，
，
即． 【解析】由題意可得，都是等邊三角形，根據(jù)即可證明≌．
由≌，推出，推出．
作于交的延長線于由≌，推出，由，，推出，得到，在中，由，推出，易證≌，推出，推出，由≌，推出，推出．
本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會證明角平分線添加輔助線的方法．
 

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