江蘇省百校聯(lián)考高三年級第一次考試數(shù)學試卷09.02第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 設(shè)集合，，則（）A.  B.  C.  D. 2. 已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 設(shè)向量，是互相垂直的單位向量，則與向量垂直的一個單位向量是（）A.  B.  C.  D. 4. 埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時期著名的地理學家，他最出名的工作是計算了地球（大圓）的周長.如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進該處一井內(nèi)而得到證明的）.同時在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽光線的夾角測得為.因太陽距離地球很遠，故可把太陽光線看成是平行的.埃拉托斯特尼從商隊那里知道兩個城市間的實際距離大概是5000斯塔蒂亞，按埃及的長度算，1斯塔蒂亞等于157.5米，則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為（）A. 38680千米 B. 39375千米 C. 41200千米 D. 42192千米5. 已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A. －4 B. 4 C. 5 D. 86. 在平面直角坐標系中，設(shè)拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，過點作，交準線于點，若直線的傾斜角為，則點的縱坐標為（）A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 若將整個樣本空間想象成一個的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積，則如圖所示的涂色部分的面積表示（）A. 事件發(fā)生的概率  B. 事件發(fā)生的概率C. 事件不發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率 D. 事件，同時發(fā)生的概率8. 已知，，，則（）A.  B.  C.  D. 二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9. 下列說法正確的有（）A. 已知一組數(shù)據(jù)7，7，8，9，5，6，8，8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8B. 已知一組數(shù)據(jù)，，，…，的方差為2，則，，，…，的方差為2C. 具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則D. 若隨機變量服從正態(tài)分布，，則10. 已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則（）A. 的圖象關(guān)于點對稱B. 將的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱C.在上的值域為D.在上單調(diào)遞增11. 在棱長為2的正方體中，點，分別是棱，的中點，則（）A. 異面直線與所成角的余弦值為B. C. 四面體的外接球體積為D. 平面截正方體所得的截面是四邊形12. 已知是數(shù)列的前項和，，則（）A. B. C. 當時，D. 當數(shù)列單調(diào)遞增時，的取值范圍是第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 展開式中的系數(shù)為_________.14. 已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，將角的終邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，經(jīng)過點，則_________.15. 已知函數(shù)，.若函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍是_________.16. 祖暅是我國南北朝時期偉大的數(shù)學家，他于5世紀末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平而的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.現(xiàn)已知直線與雙曲線及其漸近線圍成的平面圖形如圖所示.若將圖形被直線所截得的兩條線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)面的面積_________；若將圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積_________.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）從①，②，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.已知數(shù)列滿足，_________.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.注：若選兩個條件分別作答，則按第一個解答計分.18.（12分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，.（1）若的周長為，求，的值；（2）若的面積為，求的值.19.（12分）近年來，師范專業(yè)是高考考生填報志愿的熱門專業(yè).某高中隨機調(diào)查了本校2022年參加高考的90位文科考生首選志愿（第一個院校專業(yè)組的第一個專業(yè)）填報情況，經(jīng)統(tǒng)計，首選志愿填報與性別情況如下表：（單位：人） 首選志愿為師范專業(yè)首選志愿為非師范專業(yè)女性2535男性525（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù).能否有95%的把握認為首選志愿為師范專業(yè)與性別有關(guān)？（2）用樣本估計總體，用本次調(diào)研中首選志愿樣本的頻率代替首選志愿的概率，從2022年全國文科考生中隨機抽取3人，設(shè)被抽取的3人中首選志愿為師范專業(yè)的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學期望和方差.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面底面，，且，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.（12分）設(shè)為橢圓：的右焦點，過點且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點.（1）當時，求；（2）在軸上是否存在異于的定點，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.22.（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.        江蘇省百校聯(lián)考高三年級第一次考試數(shù)學參考答案第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.【答案】A【解析】，，選A.2.【答案】D【解析】位于第四象限，選D.3.【答案】C【解析】，是相互垂直的單位向量，由是與垂直的單位向量，選C.4.【答案】B【解析】設(shè)地球半徑為，則，∴，選B.5.【答案】C【解析】的解集為，則，且，是方程的兩根，，∴，，，∴，選C.6.【答案】A【解析】設(shè)準線與軸交于點，則，，∴，∴，∴，選A.7.【答案】B【解析】圖中陰影既有發(fā)生的情況，又有不發(fā)生的情況，排除ACD，選B.8.【答案】D【解析】且，，∴最大構(gòu)造，，∴，∴在上，∴，即，∴，選D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.【答案】BD【解析】5，6，7，7，8，8，8，9中位數(shù)為7.5，A錯.，，…，方差為2，則，，…，方差為2，B正確.，則，C錯，選BD.10.【答案】ABD【解析】相鄰兩對稱軸間距離為，則，∴，∴，，，關(guān)于對稱，A對.關(guān)于軸對稱，B對.，則，則，，∴，C錯誤.，∴，的一個單調(diào)增區(qū)間為，而，∴在，D對.11.【答案】BC【解析】建系，，，，，A錯.，，，∴，B正確；外接球半徑，，∴，C正確；截面為五邊形，D錯誤.12.【答案】ACD【解析】方法一：，①時，，②①－②，，A正確；時，，即；時，，∴，時，不滿足條件，B錯誤；時，為奇數(shù)時是首項為0，公差為2的等差數(shù)列，共25項；為偶數(shù)時是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，共25項，所以，C正確；是單調(diào)遞增數(shù)列，∴，即，即；，即，即；，即，即，即，，即依次類推可知，D正確.方法二：，①當時，，②，∴時①－②，即，A正確；，∴，由于未知，B錯誤.，，∴，C正確；對于D，∵，分別遞增，要使，只需，而，，，∴，D正確；選ACD.對于D，法三：由，，要使，則必有且，∴且，D正確，選ACD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.【答案】26【解析】展開式第項，，，，，∴展開式中系數(shù)26.14.【答案】15.【答案】【解析】直線過定點，過四個象限與在正負半軸都有兩個交點，過作的切線，切點設(shè)為，，，切線過，時，時，斜率為1.∴與軸交于，，∴.16.【答案】；【解析】如圖所示，雙曲線，，，，.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.【解析】（1）選①，由及，可知，所以，當時，有.當時，，故.選②，由，得，所以為等差數(shù)列，由，，得該數(shù)列的公差，所以.（2），∴，∴.18.【解析】（1）因為，，所以①在中，由余弦定理得，即②由①②得③.由①③得.（2）由，得，由正弦定理，得，，所以，即.19.【解析】（1），∴有95%的把握認為首選志愿為師范專業(yè)與性別有關(guān).（2）某個考生首選志愿為師范專業(yè)的概率，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，∴的分布列如下：0123∴，.或由的二項分布知，.20.【解析】（1）取中點，連接，，∵為的中點，∴，又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，取中點，連接，∴，平面，∴，，∴，∴，，如圖建系，∴，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量，∴，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴.21.【解析】解析一：（1）設(shè)直線的方程為，，，，，，∴，∴，或設(shè)，，∴，即.（2）假設(shè)存在符合題意，則易知當軸時，，此時，這個定值一定為－1.當時，，∴，∴存在符合題意.解析二：（1）設(shè)，.由，得，即，因為，在橢圓上，所以，解得，所以.（2）假設(shè)在軸上存在異于點的定點，使得為定值.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，由韋達定理，得，，所以.所以.要使為定值，則，解得或（舍去），此時.故在軸上存在異于的定點，使得為定值.22.【解析】解析一：（1）時，，，，切點，切線方程為.（2）法一：，，，∴，∴.法二：必要性探路（端點效應(yīng)）由，，，，，若，即時，則存在，使得當時，，此時在上，∴，這與矛盾，舍去.若，即時，，在上∴，∴在上，∴符合題意，綜上：.法三：由，得，.構(gòu)造函數(shù)，，則恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，得，即當時，恒成立，所以，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，故.法四：由題意得，，令，，則.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，得，即，所以在上單調(diào)遞增，得.故當時，.②當時，在上單調(diào)遞增.因為，當時，，，所以存在唯一，使得.當時，，即在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當時，，不符合題意.故的取值范圍為.
 

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