突破1　利用導數(shù)研究與不等式有關的問題
突破2　利用導數(shù)研究與函數(shù)零點有關的問題
從近五年的高考試題來看,對導數(shù)在函數(shù)中的應用的考查常常是一大一小兩個題目,其中解答題的命題特點是:以三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)為命題載體,以切線問題、單調(diào)性問題、極值最值問題、恒成立問題、存在性問題、函數(shù)零點問題為設置條件,與參數(shù)的范圍、不等式的證明、方程根的分布綜合成題,重點考查學生應用分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)換與化歸思想來分析問題、解決問題的能力.
突破1　利用導數(shù)研究與不等式有關的問題1.與ex,ln x有關的常用不等式的結(jié)論(1)由f(x)=ex圖象上任一點(m,f(m))的切線方程為y-em=em(x-m),得ex≥em(x+1)-mem,當且僅當x=m時,等號成立.當m=0時,有ex≥1+x;當m=1時,有ex≥ex.(2)由過函數(shù)f(x)=ln x圖象上任一點(n,f(n))的切線方程為y-ln n= (x-n),得ln x≤ x-1+ln n,當且僅當x=n時,等號成立.當n=1時,有l(wèi)n x≤x-1;當n=e時,有l(wèi)n x≤ x.(3)由(1),(2)得,若x∈(0,+∞),則ex≥x+1>x-1≥ln x.
2.證明含參數(shù)的函數(shù)不等式,其關鍵在于將所給的不等式進行“改造”,得到“一平一曲”,然后運用導數(shù)求出“曲”的最值,將其與“平”進行比較即可.3.函數(shù)不等式的類型與解法(1)?x∈D,f(x)≤k?f(x)max≤k;?x∈D,f(x)≤k?f(x)min≤k;(2)?x∈D,f(x)≤g(x) ?f(x)max≤g(x)min;?x∈D,f(x)≤g(x) ? f(x)min≤g(x)max.
4.含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略(1)?x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最大值.(2)?x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最小值.(3)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最小值.
(4)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最大值.(5)?x1∈[a,b],當x2∈[c,d]時,f(x1)=g(x2)?f(x)在[a,b]上的值域與g(x)在[c,d]上的值域交集非空.(6)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)?f(x)在[a,b]上的值域?g(x)在[c,d]上的值域.(7)?x2∈[c,d],?x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)?f(x)在[a,b]上的值域?g(x)在[c,d]上的值域.
考向1　求單變量函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍【例1】 已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)略;(2)若當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求實數(shù)a的取值范圍.
(ⅰ)當2-a≥0,即10時f(x)≥0成立.2.對于恒成立求參數(shù)取值范圍的問題,最值法與分離參數(shù)法是兩種最常用的方法.如果分離后的函數(shù)容易求最值,則選用分離參數(shù)法,否則選用最值法.最值法主要考查學生分類討論的思想,一般遵循“構(gòu)造函數(shù)——分類討論”兩步來展開.一些稍難的恒成立問題,如果用分離參數(shù)法來處理,往往需要多次求導和使用洛必達法則.
對點訓練1(2020新高考全國1,21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求實數(shù)a的取值范圍.
考向2　求雙變量函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍
解題心得對于含有兩個變量的不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題,一般要找到兩個變量的關系,轉(zhuǎn)化為一個變量,從而得到一個函數(shù);也可以從含有兩個變量的不等式中抽象出一個函數(shù)是單調(diào)函數(shù).對于求參數(shù)的取值范圍,可以分離出變量,得到一個不等式,通過函數(shù)的最值得參數(shù)的取值范圍;如果變量不易分離,可以對參數(shù)進行討論,看參數(shù)在什么范圍不等式成立,從而求出參數(shù)的取值范圍.
考向1　單未知數(shù)函數(shù)不等式的證明【例3】 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(1)略;(2)當m≤2時,證明f(x)>0.
解 (1)略.又因為當x→(-m)+時,f'(x)→-∞,當x→+∞時,f'(x)→+∞,所以f'(x)=0在(-m,+∞)上有唯一的實數(shù)根x0,當-m0,所以f(x)在(-m,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當x=x0時,f(x)取得最小值.
證法3:當m≤2,x∈(-m,+∞)時,ln(x+m)≤ln(x+2),于是f(x)≥ex-ln(x+2),所以只要證明ex-ln(x+2)>0(x>-2),就能證明當m≤2時,f(x)>0.由ln x≤x-1(x>0)可得ln(x+2)≤x+1(x>-2).又因為ex≥x+1(x∈R),且兩個不等號不能同時成立,所以ex>ln(x+2),即ex-ln(x+2)>0(x>-2),所以當m≤2時,f(x)>0.
解題心得1.對于含有參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式,其證明方法與不含參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式證明大體一致.可以直接證明,也可以放縮后再證明,也可以分離參數(shù)后,利用導數(shù)求最值來證明.2.證法1與證法2中出現(xiàn)的x0的具體數(shù)值是無法求解的,只能求出其范圍,我們把這種零點稱為“隱性零點”.證法2比證法1簡單,這是因為利用了函數(shù)單調(diào)性將命題ex-ln(x+m)>0加強為ex-ln(x+2)>0,轉(zhuǎn)化為研究一個特例函數(shù)的問題,從而大大降低了題目的難度.證法2中,因為φ(x0)的表達式涉及
(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程;(2)求證:當a≥1時,f(x)+e≥0.
(1)略;(2)設函數(shù)g(x)=ln x+1,證明:當x∈(0,+∞)且a>0時,f(x)>g(x).
解題心得欲證函數(shù)不等式f(x)>g(x)(x∈I,I是區(qū)間),設h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即證h(x)>0,為此研究h(x)的單調(diào)性,先求h'(x)的零點,根據(jù)零點確定h(x)在給定區(qū)間I上的正負,若h(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增,只須h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在,則須求函數(shù)h(x)在與區(qū)間I相應的閉區(qū)間上的端點處的函數(shù)值),若h(x)在區(qū)間I上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,只須區(qū)間I的端點的函數(shù)值大于或等于0;若h'(x)的零點不好求,可設出零點x0,然后確定零點的范圍,進而確定h(x)的單調(diào)區(qū)間,求出h(x)的最小值h(x0),再研究h(x0)的正負.
對點訓練4(2020全國2,理21)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;
考向2　雙未知數(shù)函數(shù)不等式的證明
解題心得對于兩個未知數(shù)的函數(shù)不等式問題,其關鍵在于將兩個未知數(shù)化歸為一個未知數(shù),常見的證明方法有以下四種:方法1:利用換元法,化歸為一個未知數(shù);方法2:利用未知數(shù)之間的關系消元,化歸為一個未知數(shù);方法3:分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明;方法4:利用主元法,構(gòu)造函數(shù)證明.
所以h(a)在[e,+∞)上單調(diào)遞減.所以h(a)≤h(e).即g'(a)≤g'(e)=ln 8e-6e+2=(1+3ln 2)-6e+2=3ln 2-6e+30,∴g(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,得g(t)>g(2)=e2-2>0,即f(k+1)>0.∴f(x)在[ln k,+∞]上有唯一的零點,故函數(shù)f(x)在定義域(-∞,+∞)上有唯一的零點.綜合①②可知,當k>0時,函數(shù)f(x)在定義域(-∞,+∞)上有且只有一個零點.
解題心得有關函數(shù)的零點問題的解決方法主要是借助數(shù)形結(jié)合思想,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,利用函數(shù)的單調(diào)性模擬函數(shù)的圖象,根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)的要求,控制極值點函數(shù)值的正負,從而解不等式求出參數(shù)的取值范圍.
(1)當m=-1時,求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的零點個數(shù);(2)若?x0∈[1,+∞),使得f(x0)0.所以f(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增,故當x=ln a時,f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)=-a(1+ln a).
【例4】 (2019全國3,理20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.
(2)滿足題設條件的a,b存在.①當a≤0時,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.②當a≥3時,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.
解題心得依據(jù)已知條件,判別某種數(shù)學對象是否存在的問題,由解答者去探索和確定,它的解法是:假設存在,直接推斷,通過推理或計算,若推出合理的結(jié)果,則先前假設成立,對象存在;若推出矛盾,則否定先前假設,對象不存在.
對點訓練4(2020湖北名師聯(lián)盟一模,文21)已知函數(shù)f(x)=ln x- ax2-x.(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.(2)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線平行于x軸,是否存在整數(shù)k,使不等式x[f(x)+x-1]>k(x-2)在x>1時恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,請說明理由.
(2)不存在.理由如下,∵f'(x)= -ax-1,∴f'(1)=1-a-1=-a.∵函數(shù)f(x)在x=1處的切線平行于x軸,∴a=0,∴f(x)=ln x-x.∵不等式x[f(x)+x-1]>k(x-2)在x>1時恒成立,∴xln x-x>k(x-2)在x>1時恒成立,即xln x-(k+1)x+2k>0在x>1時恒成立,令g(x)=xln x-(k+1)x+2k,x>1,∴g'(x)=ln x-k,當k≤0時,g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,即g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)>g(1)=k-1>0,則k>1,矛盾;
當k>0時,令g'(x)>0,解得x>ek,令g'(x)0,函數(shù)h(k)單調(diào)遞增,當k>ln 2時,h'(k)

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