上海交通大學附屬中學2021-2022學年高一上學期開學摸底數(shù)學試題（解析版）-試卷下載-教習網

上海交通大學附屬中學2021-2022學年度第一學期高一數(shù)學摸底試卷一?填空題（本大題滿分54分，前6題每題4分，后6題每題5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分）1. 已知：點?在反比例函數(shù)的圖像上，則a___________b（用“>”“=”?“<”填）.【答案】【解析】【分析】結合題意求出，即可求解【詳解】由點在反比例函數(shù)的圖像上，得，由在反比例函數(shù)的圖像上，得，因為，所以，故答案為：2. 若集合，則實數(shù)___________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，得到的兩根為和，從而可求出結果.【詳解】因為關于的不等式的解集為，所以不等式的解集為即方程的兩根為和，即.故答案為：.3. 在和中，，且，則的周長=___________cm.【答案】40【解析】【分析】先證明,再利用相似三角形的性質求解.【詳解】因為，所以,所以,所以.所以的周長=40.故答案為：404. 如圖，內接于，，，BD為的直徑，，則AB等于___________.【答案】【解析】【分析】由圓的性質結合題意可知，，進而由求解即可【詳解】因為，，所以，又因為，，所以，則，故答案為：5. 把有理數(shù)a代入得到，稱為第一次操作，再將作為a的值代入得到，稱為第二次操作，…，若，經過第2021次操作后得到的是___________.【答案】【解析】【分析】利用題中法則，依次計算、、…、、，得到規(guī)律，即得.【詳解】由代入，經過第1次操作后，得；經過第2次操作后，得；經過第3次操作后，得；經過第4次操作后，得；經過第5次操作后，得；經過第6次操作后，得；……經過第2021次操作后，得.故答案為：.6. 已知集合，，若，則實數(shù)m的取值構成的集合為___________.【答案】【解析】【分析】先化簡集合M，然后再根據(jù)N?M，求出m的值，即可求解．【詳解】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三種情況，當時，可得；當時，∵，∴，∴；當，，∴；∴實數(shù)m的取值構成的集合為，故答案為：7. 若和或都是假命題，則的范圍是__________【答案】【解析】【分析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案為：8. 已知是實數(shù)，若a，b是關于x一元二次方程的兩個非負實根，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】a，b是關于的一元二次方程的兩個非負實根，根據(jù)根與系數(shù)的關系，化簡即可求解．【詳解】解：a，b是關于x的一元二次方程的兩個非負實根，可得，，，又，可得，，又，，又，，故答案為：．9. 如圖，點C是線段AB上的一點，分別以AC?BC為邊在AB的同側作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG?BG?BE，當時，的面積記為；當時，的面積記為，……，以此類推，當時，的面積記為，則的值為___________.【答案】
【解析】【分析】作輔助線,構建同底等高三角形,根據(jù)等腰直角三角形面積公式可得結論.詳解】連接EC,∵正方形ACDE和正方形CBFG，,和是同底（BG ）等高的三角形，即，當BC=n時, ，故答案為：10. 如圖，已知圓O的面積為，AB為直徑，弧AC的度數(shù)（劣弧AC所對圓心角的度數(shù)）為，弧BD的度數(shù)為，點P為直徑AB上任一點，則的最小值為___________.【答案】3【解析】【分析】先設圓O的半徑為r，由圓O的面積為3π求出r的值，再作點C關于AB的對稱點C′，連接OD，OC′，DC′，則DC′的長即為PC+PD的最小值，由圓心角、弧、弦的關系可知，故，由可知，由OC′＝OD可求出∠ODC′的度數(shù)，進而可得出結論．詳解】設圓O的半徑為r，∵⊙O的面積為3π，∴3π＝πr2，即r＝．作點C關于AB的對稱點C′，連接OD，OC′，DC′，如圖，則DC′的長即為PC+PD的最小值，∵的度數(shù)為80°，∴，∴，∵，∴，∵OC′＝OD，∴∠ODC′＝30°∴，即PC+PD的最小值為3．故答案為：311. 設為非空實數(shù)集滿足：對任意給定的（可以相同），都有，，，則稱為幸運集.①集合為幸運集；②集合為幸運集；③若集合、為幸運集，則為幸運集；④若集合為幸運集，則一定有；其中正確結論的序號是________【答案】②④【解析】【分析】①取判斷；②設判斷；③舉例判斷；④由可以相同判斷；【詳解】①當，，所以集合P不是幸運集，故錯誤；②設，則，所以集合P是幸運集，故正確；③如集合為幸運集，但不為幸運集，如時，，故錯誤；④因為集合為幸運集，則，當時，，一定有，故正確；故答案為：②④【點睛】關鍵點點睛：讀懂新定義的含義，結合“給定的（可以相同），都有，，”，靈活運用舉例法.12. 已知a，b，c不全為無理數(shù)，則關于三個數(shù)，，，下列說法正確的是___________（把所有正確選項都填上）①可能均為有理數(shù)②可能均為無理數(shù)③可能恰有一個為有理數(shù)④可能恰有兩個為有理數(shù)【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)實數(shù)的定義解答即可.【詳解】a，b，c不全為無理數(shù),可以都為有理數(shù)，此時三個數(shù)，，均為有理數(shù)，故①正確；若中有2個無理數(shù)一個有理數(shù)時，此時三個數(shù)，，可能均為無理數(shù)，故②正確；若中有一對為相反數(shù)的無理數(shù)，一個有理數(shù)，則三個數(shù)，，恰有一個為有理數(shù)，故③正確；a，b，c不全為無理數(shù),與b或a與c，或b與c不可能均互為相反數(shù).關于三個數(shù)，，，不可能有兩個為有理數(shù).故④錯誤.故答案為：①②③二?選擇題（本大題滿分20分，共有4題，每題5分）13. 若二次根式有意義，且關于x的分式方程有正數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由二次根式有意義可得，解的根，解為正數(shù)解，進而確定的范圍，注意增根時的值除外，再根據(jù)為整數(shù)，確定的值，即可求解【詳解】由去分母得：，解得，關于x的分式方程有正數(shù)解，則，解得，又增根，當時，，即，所以，由二次根式有意義，則，解得，因此且，因為為整數(shù)，所以可以為：，所以符合條件的整數(shù)m的和是，故選：D14. 如圖，在中，，，.P是AB邊上一動點，于點D，點E在P的右側，，連結CE.P從點A出發(fā)，沿AB方向運動，當E到達點B時，P停止運動.在整個運動過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況（）A. 一直減小 B. 一直不變C. 先減小后增大 D. 先增大后減小【答案】C【解析】【分析】設PD＝x，AB邊上的高為h，想辦法求出AD、h，構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質解決問題即可．【詳解】在RT△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝，設PD＝x，AB邊上的高為h，則∵PD∥BC，,∴AD＝2x，AP＝，，∴當時，的值隨x的增大而減小，當時，的值隨x的增大而增大．故選：C15. 古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質量的乘積等于右臀長與右盤物品質量的乘積，某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（）A. 大于 B. 小于 C. 大于等于 D. 小于等于【答案】A【解析】【分析】設天平左臂長為，右臂長為（不妨設），先稱得的黃金的實際質量為，后稱得的黃金的實際質量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設天平左臂長為，右臂長為（不妨設），先稱得的黃金的實際質量為，后稱得的黃金的實際質量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因為，因為，所以，即.所以這樣可知稱出的黃金質量大于.故選：A16. 關于x的一元二次方程有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次方程同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正.給出三個結論：①這兩個方程的根都是負根；②；③.其中正確結論的個數(shù)是（）A 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】A【解析】【分析】列出兩個方程的根與系數(shù)關系和判別式，判斷①②的正誤；再根據(jù)兩個方程的根與系數(shù)關系，分別求得的表達式，證得和，由此判斷③的正誤.【詳解】設方程的兩根為、，方程的兩根為、.由題意知，，所以，，這兩個方程的根都是負根，故①正確；依題意，第一個方程的判別式，第二個方程的判別式，，故②正確；，，，又因為、均為負整數(shù)，，；，，又、均為負整數(shù)，，，即；，故③正確.綜上所述，正確的結論有3個.故選:A.三?解答題（本大題滿分76分）解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內寫出必要步驟.17. 已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可得出B={x|1 <x <3 }，t=2時求出集合A，然后進行并集的運算即可;（2）根據(jù)即可得出集合A={x|-1≤x≤t}，進而可得出t的取值范圍.【詳解】（1），，當時，，（2），A={x|-1≤x≤t}，，實數(shù)t的取值范圍18. 如圖，點，在反比例函數(shù)的圖象上，經過點A?B的直線與x軸相交于點C，與y軸相交于點D.
（1）若，求n的值；（2）求的值；（3）連接OA?OB，若，求直線AB的函數(shù)關系式.【答案】【解析】【分析】（1）先把A點坐標代入求出k的值得到反比例函數(shù)解析式為，然后把代可求出n的值；（2）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到4m＝k，﹣4n＝k，然后把兩式相減消去k即可得到m+n的值；（3）作AE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，利用正切的定義得到tan∠AOE，，則，加上，于是可解得，從而得到，，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式．【詳解】（1）當m＝2，則A（2，4），把A（2，4）代入得k＝2×4＝8，所以反比例函數(shù)解析式為，把代入得﹣4n＝8，解得n＝﹣2；（2）因為點A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函數(shù)的圖象上，所以4m＝k，﹣4n＝k，所以4m+4n＝0，即m+n＝0；（3）作AE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，在Rt△AOE中，tan∠AOE，在Rt△BOF中，，而tan∠AOD+tan∠BOC＝1，所以，而m+n＝0，解得m＝2，n＝﹣2，則A（2，4），B（﹣4，﹣2），設直線AB的解析式為y＝px+q，把代入得，解得，所以直線AB的解析式為y＝x+2．19. 某同學在解答題目：“化簡并求值，其中”時：解答過程是：；（1）請判斷他的解答是否正確；如果不正確，請寫出正確的解答過程.（2）設（n為正整數(shù)），考查所求式子的結構特征：①先化簡通項公式；②求出與S最接近的整數(shù)是多少？【答案】（1）不正確，解答過程見解析；（2）①；②當時，S最接近的整數(shù)是1或2；當時，S最接近的整數(shù)是.【解析】【分析】（1）利用根式運算求解；（2）①利用根式運算求解；②根據(jù)①的結果，利用裂項相消法求解.【詳解】（1）不正確；因為，所以.（2）①因為n為任意的正整數(shù)，所以，，，；②由①得：，，，，當時，S最接近的整數(shù)是1或2；當時，S最接近的整數(shù)是.20. 交中的新生小明同學非常喜歡數(shù)學，他在課外書上看到了一個有趣的定理——“中線長定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.如圖1，在中，點D為BC中點，“中線長定理”即.小明嘗試對它進行證明，部分過程如下：解：過點A作于點E，如圖2，在中，，同理可得：，，為證明的方便，不妨設，，∴……（1）請你完成小明剩余的證明過程；
理解運用：（2）①在中，點D為BC的中點，，，，則___________；②如圖3，的半徑為6，點A在圓內，且，點B和點C在上，且，點E?F分別為AO，BC的中點，則EF的長為___________；拓展延伸：（3）小明解決上述問題后，聯(lián)想到某課外書上的某題目：如圖4，已知的半徑為（圓心為原點O），以為直角頂點的的另兩個頂點B，C都在上，D為BC的中點，求AD長的最大值.請你利用上面的方法和結論，求出AD長的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）①，②；（3）10【解析】【分析】（1）結合題意，利用勾股定理證明即可；（2）①利用中線定理計算即可；②利用中線定理即可求解；（3）連接，取的中點，連接，利用中線定理求出，再利用三邊關系即可求解【詳解】（1）過點A作于點E，如圖2，在中，，同理可得：，，為證明的方便，不妨設，，∴；（2）①因為，所以，所以；②如圖3：因為是的中線，是的中線，是的中線，因為，，，所以，所以，所以（負根舍棄）；（3）如圖4中，連接，取的中點，連接，由（2）的②可知：，所以，在中，，，因為,所以AD長的最大值為10.21. 已知集合A為非空數(shù)集，定義：，（1）若集合，直按寫出集合S，T（無需寫計算過程）（2）若集合，，且，求證：（3）若集合，，記為集合A中元素的個數(shù)，求的最大值.【答案】（1），；（2）見解析；（3）1348.【解析】【分析】（1）根據(jù)題目定義，直接計算集合及；（2）根據(jù)兩集合相等即可找到，，，的關系；（3）通過假設集合，，，，，，，求出相應的及，通過建立不等關系求出相應的值．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，由集合，，計算集合，4，，，；（2）由于集合，，，，，且，所以中也只包含四個元素，即，，，，剩下的，所以；（3）設，，滿足題意，其中，則，，，，，由容斥原理，中最小的元素為0，最大的元素為，，，，實際上當，675，676，，時滿足題意，證明如下：設，，，，，，則，，，，，，1，2，，，依題意有，即，故的最小值為674，于是當時，中元素最多，即，675，676，，時滿足題意，綜上所述，集合中元素的個數(shù)的最大值是1348．

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