2021-2022學(xué)年江西省吉安市吉安縣、青原區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷  一、選擇題（本題共6小題，共18分）保護環(huán)境，人人有責(zé)．下列四個圖形是生活中常見的垃圾回收標(biāo)志，是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 下列式子；；；；其中是一元一次不等式的有(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 個如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則等于(    )A.
B.
C.
D. 若關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是(    )A.  B. 且
C.  D. 且隨著市場對新冠疫苗需求越來越大，為滿足市場需求，某大型疫苗生產(chǎn)企業(yè)更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)萬份疫苗，現(xiàn)在生產(chǎn)萬份疫苗所需的時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)萬份疫苗所需時間相同，設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)萬份，依據(jù)題意得(    )A.  B.  C.  D. 如圖，將?沿對角線進行折疊，折疊后點落在點處，交于點，有下列結(jié)論：≌；；；，其中正確結(jié)論的個數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本題共6小題，共18分）將因式分解為______ ．若點與點關(guān)于原點對稱，則______．如圖所示直線與軸、軸分別相交于點，，則不等式的解集為______．
 如圖，平行四邊形中，是上一點，、分別是、的平分線，若，則______．
如圖，在中，，，，將沿射線方向平移個單位后得到，連接，則的長為______ ．已知等腰中，，且，則等腰的頂角度數(shù)為______．三、解答題（本題共11小題，共84分）分解因式：；
解方程：．如圖所示，已知的周長是，、分別平分和，于，且，求的面積？
如圖，在四邊形中，，，為的中點，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖保留畫圖痕跡．
在圖中，畫出的邊上的中線；
在圖中，若，畫出的邊上的高．
 
解不等式組，并將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來．如圖，在中，，于點．
若，求的度數(shù)；
如圖，若點在邊上，過點作交的延長線于點，求證：．
先化簡：，然后在，，，四個數(shù)中給選擇一個你喜歡的數(shù)代入求值．請看下面的問題：把分解因式．
分析：這個二項式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢？
世紀的法國數(shù)學(xué)家蘇菲熱門抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項，隨即將此項減去，即可得
人們?yōu)榱思o念蘇菲熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”，請你依照蘇菲熱門的做法，將下列各式因式分解．
；
．為落實幫扶措施，確保精準(zhǔn)扶貧工作有效開展，加快貧困群眾早日脫貧步伐，經(jīng)過前期對貧困戶情況摸排了解，結(jié)合貧困戶實際養(yǎng)殖意愿，某扶貧工作隊開展精準(zhǔn)扶貧“送雞苗”活動，該工作隊為幫扶對象購買了一批土雞苗和烏雞苗，已知一只土雞苗比一只烏雞苗貴元，購買土雞苗的費用和購買烏雞苗的費用分別是元和元．
若兩種雞苗購買的數(shù)量相同，求烏雞苗的單價；
若兩種雞苗共購買只，且購買兩種雞苗的總費用不超過元，其中土雞苗至少購買只，根據(jù)中兩種雞苗的單價，該工作隊最少花費多少元？如圖，在?中，，，，點沿邊從點開始以秒的速度向點移動，同時點沿邊從點開始以秒的速度向點移動，用表示移動的時間．
當(dāng)為何值時，是等邊三角形？
當(dāng)為何值時，為直角三角形？
實踐發(fā)現(xiàn)：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平：再一次折疊紙片，使點落在上的點處，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，把紙片展平，連接，如圖．
折痕 ______填“是”或“不是”線段的垂直平分線；請判斷圖中是什么特殊三角形？答______；進一步計算出______；
繼續(xù)折疊紙片，使點落在邊上的點處，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，把紙片展平，如圖，則______；
拓展延伸：
如圖，折疊矩形紙片，使點落在邊上的點處，并且折痕交邊于點，交邊于點，把紙片展平，連接交于點，連接、求證：四邊形是菱形．
解決問題：
如圖，矩形紙片中，，，折疊紙片，使點落在邊上的點處，并且折痕交邊于點，交邊于點，把紙片展平．同學(xué)們小組討論后，得出線段的長度有，，，．
請寫出以上個數(shù)值中你認為正確的數(shù)值______．
 
中，，，點是線段的中點，，與線段相交于點與線段或的延長線相交于點．


如圖，若，垂足為，，求的長；
如圖，將中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，仍與線段相交于點求證：；
如圖，將中的繼續(xù)繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使與線段的延長線相交于點，作于點，若，求證：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不符合題意；
D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故本選項符合題意．
故選：．
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
 2.【答案】 【解析】解：是一元一次不等式的有：，，共有個．
故選：．
根據(jù)一元一次不等式的定義，只要含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式就可以．
本題考查一元一次不等式的定義中的未知數(shù)的最高次數(shù)為次，還要注意未知數(shù)的系數(shù)不能是．
 3.【答案】 【解析】解：如圖，
六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，
六邊形花環(huán)為正六邊形，
，
而，
．
故選：．
利用全等三角形的性質(zhì)和正六邊形的定義可判斷六邊形花環(huán)為正六邊形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可計算出，然后把減去得到的度數(shù)．
本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：多邊形內(nèi)角和定理：且為整數(shù)；多邊形的外角和等于．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本題考查解分式方程，分式方程的解以及不等式的解法，正確解分式方程是解題關(guān)鍵．直接解分式方程，再利用解為正數(shù)列不等式，解不等式得出的取值范圍．
【解答】
解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
關(guān)于的方程的解為正數(shù)，
，
解得：，
，即，
解得，
故的取值范圍是：且．
故選B．  5.【答案】 【解析】解：設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)萬份疫苗，則更新技術(shù)后每天生產(chǎn)萬份疫苗，
依題意得：，
故選：．
更新技術(shù)后每天生產(chǎn)萬份疫苗，根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)萬份疫苗所需時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)萬份疫苗所需時間相同，即可得出關(guān)于的分式方程．
此題主要考查了列分式方程應(yīng)用，利用本題中“現(xiàn)在生產(chǎn)萬份疫苗所需的時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)萬份疫苗所需時間相同”這一個隱含條件得出方程是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：由折疊可得，，，
又平行四邊形中，，，
，，
在和中，
，
≌，故正確；
，
，
，即，故正確；
，
又，
，
，故正確；
不一定是的中點，
不一定成立，故錯誤；
故選：．
根據(jù)即可判定≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等式性質(zhì)，即可得到，根據(jù)，即可得出根據(jù)不一定是的中點，可得不一定成立．
本題主要考查了折疊問題，全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定的運用，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
 7.【答案】 【解析】解：原式，
故答案為：．
先提公因式，再利用平方差公式可進行因式分解．
本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．
 8.【答案】 【解析】解：點與點關(guān)于原點對稱，
，，
則．
故答案為：．
直接利用兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點關(guān)于原點的對稱點是，進而得出答案．
此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：直線和軸的交點的坐標(biāo)為，
不等式的解集是，
故答案為：．
不等式的解集為函數(shù)圖象在軸的上方自變量的取值．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，能根據(jù)圖形和的坐標(biāo)得出答案是解此題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：、分別是、的平分線，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，，
，，，
，，，
，
，
故答案為：．
利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出，，進而利用勾股定理得出的長，利用勾股定理求得答案．
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，得出，的長是解題關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了平移的性質(zhì)，熟記性質(zhì)得到相等的線段是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平移的性質(zhì)可得，，，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得解．
【解答】
解：沿射線方向平移個單位后得到，
，，，
是等邊三角形，
，
故答案為．  12.【答案】或或 【解析】解：如圖中，當(dāng)時，

，，
，
，
如圖中，當(dāng)，

，，
，
，
，

如圖中，當(dāng)，

，，
，
，
，
綜上所述，滿足條件的等腰三角形的頂角的度數(shù)為或或．
故答案為：或或．
分三種情形：如圖中，當(dāng)時，如圖中，當(dāng)，如圖中，當(dāng)，分別利用等腰三角形的性質(zhì)求出頂角的度數(shù)即可．
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．
 13.【答案】解：原式；
兩邊都乘以得，，
即，
解得，
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，
因此是方程的增根，
所以原方程無實數(shù)解． 【解析】先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可；
根據(jù)分式方程的解法步驟進行解答即可．
本題考查提公因式法、公式法分解因式，解分式方程，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及解分式方程的解法步驟是正確解答的關(guān)鍵．
 14.【答案】解：如圖，連接，過作于，于，
、分別平分和，
，
的周長是，于，且，

， 【解析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點到、、的距離都相等即，從而可得到的面積等于周長的一半乘以，代入求出即可．
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，判斷出三角形的面積與周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】解：如圖所示，即為所求：
如圖所示，即為所求． 【解析】連接，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可；
連接，，，利用三角形重心的性質(zhì)解答即可．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．
 16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集是，
在數(shù)軸上表示為：． 【解析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．
本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能根據(jù)不等式的解集得出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，于點，
，，
又，
，
；

證明：，于點，
，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到；
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，等量代換得到，于是得到結(jié)論．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：原式


，
要使分式有意義，故且，
且，
時，原式． 【解析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算進行化簡，然后根據(jù)分式有意義的條件求出的值，將的值代入原式即可求出答案．
本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 19.【答案】解：原式；
原式． 【解析】原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
此題考查了因式分解配方法，以及分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：設(shè)烏雞苗的單價為元只，則土雞苗的單價為元只，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．
答：烏雞苗的單價為元只．
設(shè)購買土雞苗只，則購買烏雞苗只，
依題意得：，
解得：．
設(shè)該工作隊購買雞苗的總花費為元，則，
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時，取得最小值，最小值．
答：該工作隊最少花費元． 【解析】設(shè)烏雞苗的單價為元只，則土雞苗的單價為元只，利用數(shù)量總價單價，結(jié)合兩種雞苗購買的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
設(shè)購買土雞苗只，則購買烏雞苗只，根據(jù)“購買兩種雞苗的總費用不超過元，且土雞苗至少購買只”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，設(shè)該工作隊購買雞苗的總花費為元，利用總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
 21.【答案】解：，，
當(dāng)是等邊三角形時，，
即，
解得．
當(dāng)時，是等邊三角形；

是直角三角形，
，
當(dāng)時，有，，
即，
，
解得秒，
當(dāng)時，有，，
即
，解得秒．
當(dāng)或時，是直角三角形． 【解析】設(shè)，，根據(jù)當(dāng)是等邊三角形時，，列出方程求得值即可求得答案；
分當(dāng)時，有，和當(dāng)時，有，兩種情況分類討論確定值即可求得答案．
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和等腰直角三角形的知識點，解決動點移動問題時，關(guān)鍵是找到相等關(guān)系量，此題還考查了一元一次方程的性質(zhì)及其應(yīng)用．
 22.【答案】是  等邊三角形      ， 【解析】解：對折矩形紙片，使與重合，
垂直平分，
，，，
再一次折疊紙片，使點落在上的點處，
垂直平分，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
故答案為：是，等邊三角形，；
折疊紙片，使點落在邊上的點處，
，
，
故答案為：；
證明：折疊矩形紙片，使點落在邊上的點處，
垂直平分，
，，
，
，，
≌
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形；
折疊紙片，使點落在邊上的點處，
，
在中，，
，
，
點在上，
當(dāng)點與點重合時，有最大值為，
，
正確的數(shù)值為，，
故答案為：，．
由折疊的性質(zhì)可得，，，垂直平分，，可證是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；
由折疊的性質(zhì)可得，可求解；
由折疊的性質(zhì)可得，，由“”可證≌，可得，由菱形的判定可證四邊形是菱形；
先由折疊的性質(zhì)求出的范圍，即可求解．
本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：如圖，，，
是等邊三角形，
，．
點是線段的中點，
．
，即，
，
，
，
；
證明：過點作于，作于，如圖，
．
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
，．
在和中，
，
≌，
，
；
證明：過點作于，如圖．
同可得：．
同可得：，，．
，
，
，
．
，
，
． 【解析】如圖，易求得，，，由直角三角形的性質(zhì)可求出的值；
過點作于，作于，如圖，易證≌，則有，，進而可證到≌，則有，就可得到；
過點作于，如圖同可得：，同可得：，，由可得，從而可得，然后在中，由勾股定理可得結(jié)論．
本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
 

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