2022年8月浙江省山水聯(lián)盟高三返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單項(xiàng)選擇題: 本題共 8 小題, 每小題 5 分, 共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若集合, 則(    )
A.      B.      C.      D. 2. 已知復(fù)數(shù), 則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是(    )
A. 1      B.       C.       D. 3.已知, 則“ "是“ ”的(    )
A. 充分不必要條件                B. 必要不充分條件
C. 既不充分也不必要條件          D. 充要條件4.已知向量, 則在方向上的投影向量為(    )
A.       B.        C.          D. 5. 四棱錐的外接球的半徑為 平面, 底面為矩形, , 則平面截球所得的截面面積為(    )
A.         B.         C.           D. 6.在平行四邊形中, 對角線與交于點(diǎn), 且, 則 的取值范圍是(    )
A.        B.       C.      D. 7.已知, 則(    )A.         B.
C.         D.
8. 已知函數(shù), 若存在, 使得, 則實(shí)數(shù) 的取值范圍是(    )
A.     B.     C.     D.
二、多項(xiàng)選擇題: 本題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中, 有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對的得 5 分, 部分選對的得 2 分, 有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 若, 則(    )
A. 若為互斥事件,
B. C. 若相互獨(dú)立,
D. 若, 則 相互獨(dú)立
10. 已知點(diǎn), 若過點(diǎn)的直線交圓 于兩點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn), 則(    )
A. 的最大值為
B. 點(diǎn)到直直線的距離的最大值為4
C. 的最小值為
D. 的最最小值為
11. 如圖, 正方體的棱長為1 , 點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn), 則(    )
 A. 與不垂直
B. 二面角的大小為定值
C. 三棱錐的體積為定值
D. 若是對角線上一動(dòng)點(diǎn), 則長度的最小值為
12. 對于函數(shù)和, 設(shè), 若存在, 使得 , 則稱 與 互為 “零點(diǎn)相鄰函數(shù)”. 若函數(shù) 與 互為 “零點(diǎn)相鄰函數(shù)”, 則實(shí)數(shù)的值可以是(    )A.      B.      C.         D.
三、填空題: 本題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分.
13. 已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20 , 則 __________.
14. 已知數(shù)列是等差數(shù)列, 是等比數(shù)列, 且. 則數(shù)列__________.
15. 拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到的距離最小值記為, 則滿足的所有實(shí)數(shù)的和為__________.
16. 如圖, 在直三棱柱中, , 點(diǎn)
在棱上運(yùn)動(dòng), 則過點(diǎn)且與垂直的平面截該三棱柱所得的截面面積的最大值為__________.
四、解答題: 本題共 6 小題, 共 70 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分 10 分)
已知.
(1) 若函數(shù) 的最小正周期為, 求 的值及 的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2) 若 時(shí), 方程 恰好有三個(gè)解, 求實(shí)數(shù) 的取值范圍 18.(本小題滿分 12 分)
2022 年 8 月 28 日 “山水聯(lián)盟” 高三開學(xué)考試, 據(jù)統(tǒng)計(jì)共有6000名學(xué)生參加了聯(lián)考, 其中男生共有3200名, 女生共有2800名。為了解考試情況, 對6000名學(xué)生采取分層抽樣的方式抽取60名學(xué)生調(diào)查數(shù)學(xué)成績, 其中有29名男生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀, 有21名女生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀。
(1) 是否有的把握認(rèn)為 “數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
(2) 在本次考試抽樣調(diào)查中從數(shù)學(xué)成績沒有達(dá)到優(yōu)秀的10人中隨機(jī)抽取兩人做進(jìn)一步追蹤調(diào)查, 設(shè)抽到的女生人數(shù)為, 求的概率分布列.參考公式: 獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 , 其中 .
臨界值表: 19. (本小題滿分 12 分)如圖, 四棱錐中, 為正方形, 為等腰直角三角形, 且 , 平面 平面分別為中點(diǎn).
(1) 證明: 平面;
(2) 求直線與平面所成角的正弦值.
 20. (本小題滿分 12 分)
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式:
(2) 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和, 如果對于任意的 恒有, 求 的最小值. 21.(本小題滿分 12 分)
如圖, 已知橢圓 的離心率為, 以該橢圓上的點(diǎn)和左、右焦點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形的周長為. 一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn), 設(shè) 為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn), 直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和
(1) 求粗圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 設(shè)直線的斜率分別為, 證明;
(3) 是否存在常數(shù), 使得 恒成立? 若存在, 求的值; 若不存在, 請說明理由. 22.(本小題滿分 12 分)
已知函數(shù).
(1) 當(dāng) 時(shí), 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2) 當(dāng), 求函數(shù)的最大值;
(3) 若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn), 證明: .   
 

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