高中數(shù)學(xué)選擇性必修二 北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）

這是一份高中數(shù)學(xué)選擇性必修二 北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題（含答案），共15頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
臨川學(xué)校2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)理科試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 在等差數(shù)列中，若，，則＝（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，.故選：C.2. 在等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出的值，利用等比中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，與的等比中項(xiàng)是.故選：A.3. 若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為(　　)A. ＋1 B. 2＋1C. 2 D. 2＋2【答案】C【解析】【分析】由A與B的度數(shù)求出sinA與sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．【詳解】由正弦定理可知：，b2，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，要求熟練掌握正弦定理的公式．4. 在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于(　　)A.  B. 3C.  D. 5【答案】A【解析】【分析】直接應(yīng)用余弦定理可求得．【詳解】由余弦定理得，∴，故選A.【點(diǎn)睛】解三角形的問題中，一般已知兩邊及其夾角或已知三邊求三角形的其他元素時可考慮用余弦定理．5. 過點(diǎn)P(－1，m)和Q(m，8)的直線斜率等于2，那么m的值等于（    ）A. -17 B. 2 C. 5 D. 10【答案】B【解析】【分析】由斜率公式可求.【詳解】因?yàn)橹本€斜率為2，則，解得.故選：B.6. 直線被圓截得的弦長為A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)?/span>化為，可知圓的圓心為,半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得直線被圓截得的弦長為，故選C. 7. 已知兩圓分別為圓C1：x2＋y2＝49和圓C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，這兩圓的位置關(guān)系是（    ）A. 相離 B. 外切 C. 內(nèi)含 D. 相交【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩圓圓心之間的距離大于兩圓半徑之差，小于兩圓半徑之和，那么兩圓相交.【詳解】圓C1：x2＋y2＝49，圓心為 ，半徑 ，圓C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，圓心為 ，半徑 ，兩圓圓心之間距離為5， ，故兩圓相交，故選：D8. 已知以原點(diǎn)為中心的橢圓C的左焦點(diǎn)為F，離心率等于，則C的方程是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】用待定系數(shù)法求橢圓方程.【詳解】由題意可設(shè)所求的橢圓為：，因?yàn)闄E圓C的左焦點(diǎn)為F，離心率等于，所以，解得：，所以C的方程是.故選：D9. 已知雙曲線的離心率是，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解出即可.【詳解】由題意可知，該雙曲線的離心率為，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的離心率求參數(shù)的值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10. 已知拋物線()的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程為：，令即可求得的值，即可求解.【詳解】拋物線()的準(zhǔn)線為：，因?yàn)闇?zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，所以拋物線為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.11. 橢圓內(nèi)有一點(diǎn)過點(diǎn)的弦恰好以為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)差法得到直線斜率和中點(diǎn)之間的關(guān)系，即可得解.【詳解】設(shè)弦的兩個端點(diǎn)為，有，，作差可得，，所以，解得，又直線過，故直線方程為.故選：B.12. 數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是（    ）A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由曲線C的方程分析可得曲線C關(guān)于y軸對稱，據(jù)此分析3個命題，逐項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】根據(jù)題意，曲線C：x2+y2＝1+|x|y，用（﹣x，y）替換曲線方程中的（x，y），方程不變，所以曲線C關(guān)于y軸對稱，對于①，當(dāng)x≥0時，x2+y2＝1+|x|y，即為，x2+y2＝1+xy≤1+ ，可得x2+y2≤2，所以曲線經(jīng)過點(diǎn)（0，1），（0，﹣1），（1，0），（1，1），再根據(jù)對稱性可知，曲線還經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（﹣1，1）故曲線恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)，①正確；對于②，由上可知，當(dāng)x≥0時，x2+y2≤2，即曲線C右側(cè)部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，再根據(jù)對稱性可知，曲線C上的所有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，②正確；對于③，因?yàn)樵?/span>x軸上方，圖形面積大于四點(diǎn)（﹣1，0），（1，0），（1，1），（﹣1，1）圍成的矩形面積1×2＝2，在x軸下方，圖形面積大于三點(diǎn)（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）圍成的等腰直角三角形的面積×2×1＝1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，③錯誤．故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 直線在軸上的截距為________.【答案】【解析】【分析】令求出值即可.【詳解】令，則，可得，所以直線在軸上的截距為，故答案為：.14. 已知雙曲線，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_________．【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離.【詳解】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)到漸近線的距離，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15. 已知圓的圓心位于第二象限且在直線上，若圓與兩個坐標(biāo)軸都相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ______.【答案】【解析】【詳解】試題分析： 設(shè)圓心坐標(biāo)為（a,2a+1）,圓與兩坐標(biāo)軸相切，所以a=-(2a+1),，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,考點(diǎn)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)評：圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為一個未知數(shù)，又因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸相切，所以圓心互為相反數(shù)，半徑為圓心坐標(biāo)的絕對值16. 已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且，則面積的最大值為____________.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理將條件中的角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理求解出角A的值，再利用邊a的余弦定理和均值不等式求出bc的最大值后即可求解出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以根據(jù)正弦定理得:，化簡可得:，即，(A為三角形內(nèi)角)解得:，又，(b=c時等號成立)故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題目，解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，首先是利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角之間的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形邊的乘積的最大值. 三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17題10分，第18~21題每題12分.17. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）；（2），最小值為.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由前項(xiàng)和公式求的值，即可得的通項(xiàng)公式；（2）求出，再利用對應(yīng)的二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?/span>，所以，解得：，所以；（2）由，，，可得， 所以當(dāng)或時，前項(xiàng)的和取得最小值為.所以，的最小值為.18. 已知是遞增等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依題意求得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，方程兩根為2，3，由題得，，在，故，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，由（1）知，，則，①，②①-②得∴.19. 在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，結(jié)合正弦定理可得：，很明顯角C為銳角，故，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20. 已知過點(diǎn)且斜率為的直線與圓：交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）求取值范圍；（Ⅱ）若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離小于半徑求得斜率的范圍；（Ⅱ）將直線方程代入圓的方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合平面向量數(shù)量積求得斜率，代入直線方程即可.【詳解】（Ⅰ）由題設(shè)，可知直線的方程為.因?yàn)?/span>與交于兩點(diǎn)，所以.解得.所以的取值范圍是.（Ⅱ）設(shè)，.將代入方程，整理得，，所以，，∴，解得，（舍去），所以的方程為.∴.21. 已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.【答案】（1） （2） 【解析】【詳解】試題分析：設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，. 又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時.所以點(diǎn)到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 22. 已知橢圓：的過點(diǎn)，又離心率為，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上異于，任意一點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件和之間的關(guān)系，代入求值即可；（2）方法（一）從點(diǎn)入手，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得直線的直線方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離代入求值，化簡即可得解；方法（二）是從直線入手，設(shè)出直線方程，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再和橢圓聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入求值即可得解.【詳解】（1）∵橢圓過點(diǎn)，∴，∵離心率為，∴，∴，∴，∴橢圓的方程為：；（2）方法（一）設(shè)點(diǎn)，則，，，即. 當(dāng)時，，則，，∴，∵點(diǎn)異于點(diǎn)，∴，當(dāng)且時，設(shè)直線方程為：，它與軸交于點(diǎn)，直線方程為：，它與軸交于點(diǎn).∴，，∴為定值.                方法（二）若直線斜率不存在，則直線方程為：，此時，則，.∴.若直線斜率存在，設(shè)直線方程為：，且，∴且，則聯(lián)立方程：，消去得：，解得：或，即點(diǎn)，∵點(diǎn)異于點(diǎn)，∴，∴，∴直線的方程為：，則且，∴為定值.