2021-2022學(xué)年天津市南開區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，則A∩UB=（       ）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}【答案】B【分析】利用補集的意義求出，再由交集的意義求解即得.【詳解】因全集U=R，且B={x|x＞1}，則，又A={x|x＞0}，于是有A∩UB＝{x|0＜x≤1}.故選：B2．設(shè)全集U=R，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】先化簡集合A，B，再根據(jù)ven圖求解.【詳解】解：全集U=R，集合 ，，由ven圖知：圖中表示集合為，故選：D3．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（       ）①與；       ②與；③與；       ④與A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】C【分析】利用兩函數(shù)為同一函數(shù)則定義域和對應(yīng)法則要相同，逐項分析即得.【詳解】①與的定義域是，而，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，，這兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則不同，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；③與的定義域是，并且，對應(yīng)法則也相同，故這兩個函數(shù)是同一函數(shù)；④與是同一函數(shù)；所以是同一函數(shù)的是③④.故選：C.4．已知函數(shù)，則A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：.故選D.【解析】分段函數(shù)求值.5．已知函數(shù)f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），則實數(shù)a的取值范圍是（　?。?/span>A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+）【答案】D【分析】利用零點存在定理求解.【詳解】解：因為函數(shù)f（x）=ax-3（a>0，且a≠1）單調(diào)，所以函數(shù)在區(qū)間（0，1）上至多有一個零點，因為f（x0）=0，且x0∈（0，1），所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是（3，+），故選：D6．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：設(shè)這兩年年平均增長率為，因此解得．【解析】函數(shù)模型的應(yīng)用． 7．某品牌電腦投放市場的第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好反映銷售量y與投放市場月數(shù)x之間的關(guān)系的是A．y=100x B．y=50x2–50x+100C．y=50×2x D．y=100log2x+100【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)的選項給定的函數(shù)，逐一進(jìn)行驗證，即可得到能較好反映銷售量和投放市場月數(shù)之間的關(guān)系，得到答案.【詳解】對于A中的函數(shù)，當(dāng)x=3或4時，誤差較大．對于B中的函數(shù)，當(dāng)x=3或4時誤差也較大．對于C中的函數(shù)，當(dāng)x=1，2，3時，誤差為0，x=4時，誤差為10，誤差很小．對于D中的函數(shù)，當(dāng)x=4時，據(jù)函數(shù)式得到的結(jié)果為300，與實際值790相差很遠(yuǎn)．綜上，只有C中的函數(shù)誤差最小，故選C．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的解析式應(yīng)用問題，其中熟記指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.8．定義運算為： 如，則函數(shù)的值域為（       ）A．R B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意將函數(shù)解析式寫出即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意知表示取和中較小者，即，∴在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，∴．故選：B．9．已知函數(shù)f（x）=m+log2x2的定義域是[1，2]，且f（x）≤4，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。?/span>A．（-，2] B．（-，2）C．[2，+） D．（2，+）【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域，得到函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得其值域求解.【詳解】解：因為函數(shù)f（x）=m+log2x2的定義域是[1，2]，所以函數(shù)f（x）=m+log2x2，且函數(shù)f（x）在上遞增，所以函數(shù)f（x）的值域為，因為f（x）≤4，所以，解得，故選：A10．已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且f（x+1）=，若f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，那么f（x）在[2，3]上是（　?。?/span>A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù)【答案】A【分析】先由f（x+1）=，得到是以2為周期的周期函數(shù)，再利用偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性求解.【詳解】解：因為函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=，所以，所以是以2為周期的周期函數(shù)，又因為是定義域為R的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是減函數(shù)，所以在[0，1]上是增函數(shù)，那么f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，故選：A11．已知函數(shù) 在上對任意的都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，利用增函數(shù)的性質(zhì)建立不等式，求出a的取值范圍即可．【詳解】因為在R上對任意的都有成立，可以知道函數(shù)是R上單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)滿足，解得.故選為B.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，及指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．12．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為在時，有解即可，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，可以數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】解：與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，等價為在時，有解即可，則，即，在上有解即可，設(shè)，，作出兩個函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)時，，當(dāng)，將的圖象向右平移，此時一定與有交點，滿足條件，當(dāng)時，則，得，綜上，即實數(shù)的取值范圍是故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化為在時，有解即可，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分類討論的思想. 二、填空題13．已知，則x的值為__________．【答案】0或2【分析】根據(jù)，由，，， 并利用集合的特性判斷求解.【詳解】因為，所以當(dāng)時，集合為 不成立；當(dāng) 時，集合為 ，成立；當(dāng) 時，解得 （舍去）或，若，則集合為，成立.所以x的值為0或2故答案為：0或214．函數(shù)f（x）=log2（2-x2）的單調(diào)減區(qū)間是________.【答案】（0，）【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：令，解得，又t在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)f（x）=log2（2-x2）的單調(diào)減區(qū)間是（0，），故答案為：（0，）15．函數(shù)的圖象恒過定點，在冪函數(shù)的圖象上，則_________.【答案】【分析】先求出點P的坐標(biāo)，再代入冪函數(shù)的解析式求得，即可得（9）．【詳解】令，所以，即；設(shè)，則，；所以，故答案為．【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于容易題．主要方法是待定系數(shù)法．16．有下列四個命題：①函數(shù)f（x）=為偶函數(shù)；②函數(shù)y=的值域為|y|y≥0|；③已知集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，則實數(shù)a的取值集合為；④函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）與函數(shù)y=logaax（a>0，且a≠1）的定義域相同.其中正確命題的序號是________.【答案】②④【分析】①由奇偶性的定義判斷；②由函數(shù)的值域求解判斷；③由A∪B=A，即A?B求解判斷；④根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域和值域判斷.【詳解】因為，所以 f（x）不是偶函數(shù)，故錯誤；由，得，則函數(shù)定義域為，所以函數(shù)y=的值域為|y|y≥0|，故錯誤；因為集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，且A∪B=A，即A?B，當(dāng)a=0時，成立，當(dāng)時，，則或，即或，所以實數(shù)a的取值集合為，故錯誤；函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的定義域為R，又函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的值域為 ，則函數(shù)y=logaax（a>0，且a≠1）的定義域為R，故相同，故錯誤.故答案為：②④ 三、解答題17．已知集合，集合，集合.(1)求，；(2)若，求m的取值范圍.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，可得，利用交集和并集的定義，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與集合的包含關(guān)系，可得，即可得答案.【詳解】(1)根據(jù)題意，可得，，.(2)令，由題意可得解得.18．已知函數(shù).(1)求該函數(shù)的定義域；(2)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；值域為 【分析】（1）令，解不等式即可求得定義域；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可確定的單調(diào)區(qū)間；利用二次函數(shù)最值的求法可求得，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可求得值域.【詳解】(1)由得：，的定義域為.(2)令，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；又在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，，，的值域為.19．已知函數(shù)是奇函數(shù)，并且函數(shù)的圖像經(jīng)過點.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)在時的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義列出方程，即可求得.（2）將函數(shù)分離常數(shù)，即可求得其值域.【詳解】(1)是奇函數(shù)，則，即，化簡可得所以，解得或.又，所以，即，所以.(2)，且，可得的值域為.20．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．（1）當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x?v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．【答案】（1）（2）3333輛/小時【詳解】（1）由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v（x）=60；當(dāng)20＜x≤200時，設(shè)v（x）=ax+b再由已知得，解得故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為（2）依題并由（1）可得當(dāng)0≤x＜20時，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，其最大值為60×20=1200當(dāng)20≤x≤200時，當(dāng)且僅當(dāng)x=200﹣x，即x=100時，等號成立．所以，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間（20，200]上取得最大值．綜上所述，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間[0，200]上取得最大值為，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．答：（1）函數(shù)v（x）的表達(dá)式（2）當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．21．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當(dāng)x>0時，f（x）<0恒成立.(1)求f（0）；(2)證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；(3)證明：函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù).【答案】(1)f（0）=0(2)證明見解析(3)證明見解析 【分析】（1）利用賦值法求解；（2）利用函數(shù)奇偶性定義證明；（3）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明.【詳解】(1)解：因為對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），所以令a=b=0，得f（0）=0.(2)由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（x-x）=f（x）+f（-x）.即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù).(3)設(shè)x1>x2，則x1-x2>0，f（x1-x2）<0而f（a+b）=f（a）+f（b），∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）<f（x2），∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù).22．已知，函數(shù)(1)求f（1）的值；(2)求函數(shù)f（x）的零點.【答案】(1)0(2)答案見解析 【分析】（1）利用分段函數(shù)求解；（2）利用零點的定義求解.【詳解】(1)當(dāng)時，，所以（1）(2)（ⅰ）當(dāng)時，令，即，解得．所以1是函數(shù)的一個零點．所以1是函數(shù)f（x）的一個零點.（ⅱ）當(dāng)時，令，即．當(dāng)時，由得，所以是函數(shù)的一個零點；當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，由得（不合題意，舍去）．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的零點是1和；當(dāng)時，函數(shù)的零點是1. 

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