長郡中學(xué)2022年高二暑假作業(yè)檢測試卷數(shù)  學(xué)得分：            本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁。時量120分鐘。滿分150分。第 Ⅰ 卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（       ）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】由題意，利用純虛數(shù)的定義，求得實數(shù)的值．【解析】解：是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，，故選：．2．若，則下列不等式成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用不等式的性質(zhì)推出結(jié)果即可．【解析】解：，可得，可得，并且，可得，．，可得：．故選：．3．在平面四邊形中，滿足，，則四邊形ABCD是（       ）A．矩形 В．正方形 C．菱形 D．梯形【答案】C【分析】由向量的運算性質(zhì)進行判斷．【解析】平面四邊形中，由，得，可知共線，由，可知，因此可得四邊形是菱形，故選C．4．《九章算術(shù)》是中國古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形狀的建筑物，下底面周長為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側(cè)面積（單位：平方丈）為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，由已知周長求出和，然后由圓臺的側(cè)面積公式求解即可．【解析】解：設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則有，，解得，又圓臺的高為1丈，所以圓臺的母線長為，所以圓臺的側(cè)面積為．故選：．5．已知a，b是兩條不重合直線，，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（       ）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】C【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系逐項分析即得．【解析】解：若，，則或，故錯誤；若，，則或或與相交，故錯誤；若，，則或，又，故，故正確；若，，則，又，則或，故錯誤．故選：．6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則△ABC的形狀為（       ）A．等腰三角形  B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，從而可求，或，進而可得為直角，或，即可判斷得解三角形的形狀．【解析】解：，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，可得：，，或，為直角，或，的形狀為等腰三角形或直角三角形．故選：．7．設(shè)，若是的最小值，則a的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式，先求出當(dāng)時的函數(shù)最值，然后結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行討論即可．【解析】解：當(dāng)時，，此時函數(shù)的最小值為，若，則函數(shù)的最小值為（a），此時不是的最小值，此時不滿足條件，若，則要使是的最小值，則滿足，即解得，，，故選：．8．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球的表面上有四個點A，B，C，P，且球心O在PC上，AC=BC=4，AC⊥BC，，則該鞠（球）的表面積為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，作出輔助線，求出，進而得到，利用勾股定理求出球的半徑，求出球的表面積．【解析】解：如圖，取的中點，連接，由，得：，由，得：，連接并延長，交球于點，連接，因為球的直徑，設(shè)球的半徑為，則，則，所以，解得：，球的表面積為，故選：． 二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9．下列選項中，與sin30°的值相等的有（       ）A．  B．C． D．【答案】BC【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡各個選項即可計算得解．【解析】解：對于，，故錯誤；對于，，故正確；對于，，故正確；對于，，故錯誤．故選：．10．某同學(xué)在研究函數(shù)，（）時，分別得出下面幾個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（       ）A．等式在時恒成立B．函數(shù)的值域為C．若，則一定有D．方程在R上有三個根【答案】ABC【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，對各項逐一分析即可．【解析】解：因為，所以，所以正確；因為 的圖象如下圖所示：由圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，且在上為單調(diào)增函數(shù)，值域為，所以正確；因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，在 上只有一個零點，即的圖象與只有一個交點所以不正確；故選：．11．已知，，，，且的圖象的對稱中心與對稱軸的最小距離為，則下列說法正確的是（       ）A．B．的圖象關(guān)于直線對稱C．把圖象向左平移單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱D．保持圖象上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，然后把圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【分析】由題意，利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【解析】解：，，，，的圖象的對稱中心與對稱軸的最小距離為，，，故正確；令，可得，是最小值，故的圖象關(guān)于直線對稱，故正確；把圖象向左平移單位，可得的圖象，由所得函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故所得函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，故錯誤；保持圖象上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，可得的圖象，然后把圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，故正確，故選：．12．已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，如圖，點F，G，M分別為CC1，BB1，B1C1的中點，則下列說法正確的是（       ）A．平面AD1F∥平面A1MGB．直線AD1與直線A1G所成角的余弦值為C．平面AFD1截正方體ABCD?A1B1C1D1所得截面的面積為D．點C1與點G到平面AFD1的距離相等【答案】ABC【分析】利用幾何題的特征，結(jié)合線面的位置關(guān)系，逐個判斷即可得出答案．【解析】解：對于：因為，分別為，的中點，所以，又，所以，又為的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，，所以平面平面，故正確；對于：因為正方的棱長為1，所以，，，所以，故正確；對于：取的中點，連接，，因為，又，所以，所以在平面內(nèi)，所以平面截正方體所得截面為等腰梯形，過點作，垂足為，，，，，，所以，故正確；對于：因為平面，所以不會平行于平面，且線段不與平面相交，所以點與點到平面的距離不相等，故不正確；故選：． 第 Ⅱ 卷三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為________．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式以及復(fù)數(shù)的除法化簡所求復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果．【解析】解：由已知可得，所以，因此，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．故答案為：．14．已知，則________．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式即可求解【解析】因為，則15．已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性與周期性及可求得答案．【解析】解：函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，且函數(shù)在，內(nèi)也是減函數(shù)，，，，又，．故答案為：，．16．已知三角形的三邊長，其面積是固定的，而已知平面凸四邊形的四邊長，其面積是不確定的．現(xiàn)有一平面凸四邊形ABCD，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，則其面積最大值為________．【答案】【分析】設(shè)，，利用兩次余弦定理求得，的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積公式以及余弦的差角公式，即可求得結(jié)果．【解析】解：設(shè)，，連接，作圖如下：在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，故可得，即，又四邊形的面積，令，則，由，則，上述兩式相加可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值40，此時的最大值為，由，其最大值為． 四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17．（本小題滿分10分） 如圖所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，，，，CA=CB=CC1=1，，，N是AB中點．（1）用a，b，c表示向量；（2）在線段C1B1上是否存在點M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，說明理由． 【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算的幾何意義進行求解即可；（2）根據(jù)空間向量共線向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)進行求解即可．【解析】解：（1）；（2）假設(shè)存在點，使，設(shè)，，顯然，，因為，所以，即，，，，，，，即，解得，所以當(dāng)時，      18．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上有且僅有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)（）在上的值域為，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．【分析】（1）由題意可得關(guān)于的方程在，上有且僅有一個實根，作出函數(shù)在，上的圖像，由圖像可得所求范圍；（2）化簡可得，，由的單調(diào)性可得，是的兩個不等正根，由判別式大于0和韋達定理，解不等式可得所求取值范圍．【解析】解：（1）問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在，上有且僅有一個實根，作出函數(shù)在，上的圖像（如右圖），，，由題意，直線與該圖像有且僅有一個公共點，所以實數(shù)的取值范圍是；（2）記，其中，因為函數(shù)在，上單調(diào)遞增，若存在實數(shù)，使得的值域為，，則（a），（b），所以，即，是的兩個不等正根，所以△，，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．    19．（本小題滿分12分） 如圖所示，已知DOE是半徑為，中心角為的扇形，P為弧上一動點，四邊形PQMN是矩形，∠POD=x（）．（1）求矩形PQMN的面積的最大值及取得最大值時的x值；（2）在△ABC中，，，其面積，求△ABC的周長．【分析】（1）求出，，，，由此能求出矩形的面積的最大值．（2）求出，，由余弦定理得，由此能求出的周長．【解析】解：（1）由題意，，，，，矩形的面積為：，，，當(dāng)時，即時，的最大值為．（2）由（1）得，，，由余弦定理得，，即，，的周長為．    20．（本小題滿分12分） 如圖所示，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=，點E是PB的中點．（1）證明：AE⊥PC；（2）求二面角C?AE?D的大小．【分析】（1）由平面，知，結(jié)合，可證平面，從而得，再證，進而知平面，然后由線面垂直的性質(zhì)定理，得證；（2）先證平面平面，可知二面角與二面角是互余的，再根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角，并求之，即可得解．【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為底面為矩形，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，點是的中點，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以．（2）解：由（1）知，平面，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以二面角與二面角是互余的，問題可轉(zhuǎn)化為求二面角的大小，由（2）知，，，因為，所以，即，又，所以即為二面角的大小，因為，，所以，即二面角的大小為，故二面角的大小為．     21．（本小題滿分12分） 向量（2，2），向量b與向量a的夾角為，且（1）求向量b；（2）若（1，0），且，（，），其中A，B，C是△ABC的內(nèi)角，且，試求的取值范圍．【分析】（1）設(shè)出向量，由向量與向量的夾角為及得到關(guān)于、的二元方程組，求解后可得向量的坐標(biāo)；（2）由得（0，1），求出及其模的表達式，由得，化簡，求出它的取值范圍．【解析】解：（1）設(shè)，則，①；又，，，即②；由①②解得或，或；（2）（1，0）且，；，，，；；，，，，．      22．（本小題滿分12分） 如圖①所示，長方形ABCD中，AD=1，AB=2，點M是邊CD的中點，將△ADM沿AM翻折到△PAM，連結(jié)PB，PC，得到圖②的四棱錐P–ABCM．（1）若棱PB的中點為N，求CN的長；（2）設(shè)P?AM?D的大小為，若，求平面PAM和平面PBC夾角余弦值的最小值．【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，從而得到；（2）作出輔助線，得到為的平面角，即，建立空間直角坐標(biāo)系，用含的關(guān)系式表達出平面和平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式得到，結(jié)合的取值范圍求出余弦值的最小值． 【解析】解：（1）取中點，連接，，則因為為中點，所以為的中位線，所以且，因為為的中點，四邊形為矩形，所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以；（2）連接，因為，所以，所以為的平面角，即，過點作平面，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，2，，過作于點，由題意得平面，設(shè)，，，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，，，因為，則，令，可得：，設(shè)兩平面夾角為，則，令，所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為
 

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