第3課時(shí)　圓錐曲線中的證明、探索性問題技法闡釋1.圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時(shí)也會(huì)用到反證法.2.“肯定順推法”解決探索性問題，即先假設(shè)結(jié)論成立，用待定系數(shù)法列出相應(yīng)參數(shù)的方程，倘若相應(yīng)方程有解，則探索的元素存在(或命題成立)，否則不存在(或不成立).高考示例思維過程(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m>0).(1)證明：k<－；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差. 技法一　直接轉(zhuǎn)化法證明幾何圖形問題[典例1]　(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)橢圓C：＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB．[思維流程]　[解]　(1)由已知得F(1,0)，l的方程為x＝1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.又M(2,0)，所以AM的方程為y＝－x＋或y＝x－.(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA＝∠OMB＝0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB．當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＜，x2＜，直線MA，MB的斜率之和為kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝.將y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝，x1x2＝.則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)．所以∠OMA＝∠OMB．綜上，∠OMA＝∠OMB．點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是把圖形中“角相等”關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)直線的斜率之和為零；類似的還有圓過定點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為在該點(diǎn)的圓周角為直角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為斜率之積為－1；線段長度的比問題轉(zhuǎn)化為線段端點(diǎn)的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)之比．技法二　直接法證明數(shù)量關(guān)系式[典例2]　已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線Γ的焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，圓心在直線y＝x上的圓E與x軸相切，且點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)M(－1,0)對稱．(1)求E和Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M的直線l與圓E交于A，B兩點(diǎn)，與Γ交于C，D兩點(diǎn)，求證：|CD|＞|AB|.[思維流程]　[解]　(1)設(shè)Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py，p＞0，則F.已知點(diǎn)E在直線y＝x上，故可設(shè)E(2a，a)．因?yàn)镋，F(xiàn)關(guān)于M(－1,0)對稱，所以解得所以拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.因?yàn)閳AE與x軸相切，故半徑r＝|a|＝1，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.(2)證明：由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)l的斜率為k，那么其方程為y＝k(x＋1)(k≠0)．則E(－2，－1)到l的距離d＝，因?yàn)閘與E交于A，B兩點(diǎn)，所以d2＜r2，即＜1，解得k＞0，所以|AB|＝2＝2.由消去y并整理得，x2－4kx－4k＝0.Δ＝16k2＋16k＞0恒成立，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k，那么|CD|＝|x1－x2|＝·＝4·.所以＝＝＞＝2.所以|CD|2＞2|AB|2，即|CD|＞|AB|.點(diǎn)評：本例是拋物線與圓的交匯問題，涉及弦長的求解，應(yīng)各選最優(yōu)方法，圓的弦長為勾股定理的求解，拋物線的弦長，則需借助弦長公式．技法三　“肯定順推法”解決探索性問題[典例3]　已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由．[思維流程]　[解]　(1)證明：設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直線OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．(2)四邊形OAPB能為平行四邊形．因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以l不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0，k≠3.由(1)得OM的方程為y＝－x.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP.由得x＝，即xP＝.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程得b＝，因此xM＝.四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM.于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.因?yàn)閗i>0，ki≠3，i＝1,2，所以當(dāng)直線l的斜率為4－或4＋時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形．點(diǎn)評：本例題干信息中涉及幾何圖形：平行四邊形，把幾何關(guān)系用數(shù)量關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解此類問題的關(guān)鍵．幾種常見幾何條件的轉(zhuǎn)化如下：(1)平行四邊形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)①對邊平行斜率相等，或向量平行②對邊相等長度相等，橫(縱)坐標(biāo)差相等③對角線互相平分中點(diǎn)重合(2)圓條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)①點(diǎn)在圓上點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為零②點(diǎn)在圓外點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為正數(shù)③點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)(3)角條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)①銳角、直角、鈍角角的余弦(向量數(shù)量積)的符號②倍角、半角、平分角角平分線性質(zhì)、定理③等角(相等或相似)比例線段或斜率  

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