第4節(jié)　復(fù)數(shù)一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的定義一般地，當(dāng)a與b都是實數(shù)時，稱a＋bi為復(fù)數(shù)，其中實部為a，虛部為b，i稱為虛數(shù)單位a＋bi為實數(shù)?b＝0；a＋bi為虛數(shù)?b≠0；a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共軛復(fù)數(shù)z＝a＋bi，＝a－bi(a，b∈R)復(fù)數(shù)a(a∈R)的共軛復(fù)數(shù)是a復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)向量＝(a，b)的長度稱為復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或絕對值)，記作|z|或|a＋bi||z|＝|a＋bi|＝(1)復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記為C.(2)in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期為4，其性質(zhì)如下：①i4n＝1(n∈N*)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)；②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.2．復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量，不共線，則復(fù)數(shù)z1＋z2是以，為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1－z2是－＝所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．3．復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．4．常用結(jié)論(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i，z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　×　)(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　×　)(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?　×　)(4)原點是實軸與虛軸的交點．(　√　)(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．(　√　)2．若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為(　　)A．－1 B．0C．1 D．－1或1A　解析：因為z為純虛數(shù)，所以所以x＝－1.3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋iC　解析：因為A(6,5)，B(－2,3)，所以線段AB的中點C(2,4)，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝2＋4i.4．若復(fù)數(shù)z滿足iz＝2－2i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限是(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B　解析：由題意，因為z＝＝＝－2－2i，所以＝－2＋2i，則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限．5．設(shè)z＝＋2i，則|z|＝________.1　解析：因為z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.考點1　復(fù)數(shù)的有關(guān)概念——基礎(chǔ)性1．(多選題)下面關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題中，真命題是(　　)A．若復(fù)數(shù)z∈R，則∈RB．若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈RC．若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈RD．若復(fù)數(shù)z1，z2的滿足z1z2∈R，則z1＝AC　解析：設(shè)z＝a＋bi，對于A項，若z∈R，則b＝0，此時＝a∈R，所以A正確；對于B項，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，則ab＝0，所以a＝0或b＝0，則z不一定為實數(shù)，所以B錯誤；對于C項，＝＝∈R，則b＝0，所以z∈R，所以C正確；對于D項，設(shè)z1＝－1＋i，z2＝2＋2i，則z1z2＝－4∈R，但z1≠，D錯誤．故選AC.2．(2020·濰坊一模)已知z為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則|z|＝(　　)A．2　　　 B.　　　C．1　　　 D.C　解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，所以復(fù)數(shù)＝＝＝.因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以a2＋b2＝1，a≠0.所以|z|＝＝1.3．(2020·青島二模)若復(fù)數(shù)z滿足(－i)z＝|＋i|(其中i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(　　)A．   B．i  C．－ D．－i C　解析：由(－i)z＝|＋i|得(－i)z＝＝2，所以z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，所以的虛部為－.解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．考點2　復(fù)數(shù)的幾何意義——應(yīng)用性(2020·嘉祥模擬)歐拉公式eix＝cos x＋isin x(i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，ei表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A　解析：根據(jù)題意eix＝cos x＋isin x，故ei＝cos＋isin＝＋i，表示的復(fù)數(shù)在第一象限．1．本例若把條件改為“已知復(fù)數(shù)z滿足z(1＋2i)＝4＋3i(i為虛數(shù)單位)”，求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限．解：因為z(1＋2i)＝4＋3i，則z＝＝＝＝2－i，故＝2＋i，對應(yīng)的點在第一象限．2．本例若把條件改為“設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)”，求x，y滿足的關(guān)系式．解：由題意可得：z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝＝1，故x2＋(y－1)2＝1.3．本例若把條件改為“△ABC的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|”，z對應(yīng)的點是否為△ABC的外心？解：是．由復(fù)數(shù)的幾何意義知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到△ABC三個頂點距離都相等，故z對應(yīng)的點是△ABC的外心．與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法第一步，進行簡單的復(fù)數(shù)運算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；第二步，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a＋bi與復(fù)平面上的點(a，b)一一對應(yīng)．若復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)m的取值范圍．解：z＝＝＝＋i，所以所以－1<m<1，故m的取值范圍為(－1，1)．考點3　復(fù)數(shù)的運算——綜合性考向1　復(fù)數(shù)的乘法運算(1)(2020·山東省實驗高考預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，則實數(shù)a＝(　　)A． B．－C．2 D．－2D　解析：因為z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(a＋2)i，又因為z∈R，所以a＋2＝0，解得a＝－2.(2)(2020·柳州一模)若復(fù)數(shù)z滿足＝i，其中i為虛數(shù)為單位，則z＝(　　)A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA　解析：因為＝i，所以＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.復(fù)數(shù)乘法運算的要點復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i2換成－1.考向2　復(fù)數(shù)的除法運算(1)(2020·畢節(jié)一診)已知i為虛數(shù)單位，若z(1＋i)2＝2＋i，則z＝(　　)A．－i B．－＋iC．－－i   D．＋iA　解析：由z(1＋i)2＝2＋i得z＝＝＝＝＝－i.(2)已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝∈R，則復(fù)數(shù)z＝________.　解析：因為復(fù)數(shù)z＝＝＝＝＋i∈R，所以＝0，即a＝3.則復(fù)數(shù)z＝＝＝.求解復(fù)數(shù)除數(shù)問題的注意點除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．考向3　復(fù)數(shù)運算的綜合應(yīng)用(1)(2020·銀川三模)若復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)滿足z－2＝1＋3i，則|z|＝(　　)A.   B.C．2   D.A　解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－2＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝.(2)已知復(fù)數(shù)z＝－1＋i(i是虛數(shù)單位)，則＝(　　)A．－1 B．1  C．－i D．iA　解析：因為z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，則z2＋z＝－1－i，所以＝＝＝＝－1.故選A.(1)先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合相關(guān)知識解答．(2)運用復(fù)數(shù)的法則進行運算時，要注意運算順序，先算乘除，后算加減，有括號的要先算括號里面的．1.等于(　　)A．－－i B．－＋iC．－－i D．－＋iD　解析：＝＝＝＝－＋i.2．已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝＋ai，z·＝4，則a為(　　)A．1或－1 B．1C．－1 D．不存在的實數(shù)A　解析：由題意得＝－ai，故z·＝3＋a2＝4?a＝±1.3．若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，則|z|等于(　　)A． B．3  C．5 D．25C　解析：由題意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，則z＝＝＝5，所以|z|＝5.    

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