第三課時(shí)　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式★方法一　移項(xiàng)作差構(gòu)造法證明不等式【例1】　(2020屆貴陽摸底)已知f(x)＝ex，g(x)＝x＋1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)求證：f(x)≥g(x)恒成立；(2)設(shè)m是正整數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)n，…<m，求m的最小值．[解]　(1)證明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，h′(x)<0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，故h(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(0)＝0，即h(x)≥0恒成立，所以f(x)≥g(x)恒成立．(2)由(1)可知0<1＋<e，由不等式的性質(zhì)得所以正整數(shù)m的最小值為2.?名師點(diǎn)津若證明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，如果能證明h(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可證明f(x)<g(x)，x∈(a，b)．★方法二　轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)最值法證明不等式【例2】　(2019屆長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex2－xln x．求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<xex＋.[證明]　要證f(x)<xex＋，只需證ex－ln x<ex＋，即ex－ex<ln x＋.令h(x)＝ln x＋(x>0)，則h′(x)＝，易知h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則h(x)min＝h＝0，所以ln x＋≥0.再令φ(x)＝ex－ex，則φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.因?yàn)閔(x)與φ(x)不同時(shí)為0，所以ex－ex<ln x＋，故原不等式成立．?名師點(diǎn)津在證明的不等式中，若對(duì)不等式的變形無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可以借助兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行證明．★方法三　放縮法證明不等式【例3】　已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x－1.(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；(2)求證：＋x＋ln x－1≥0；(3)已知k(e－x＋x2)≥x－xln x恒成立，求k的取值范圍．[解]　(1)f(x)≥0?a≥，令g(x)＝(x>0)，則g′(x)＝－，∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)<0.則g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)max＝g(1)＝1，則a≥1，∴a的最小值為1.(2)證明：當(dāng)a＝1時(shí)，由(1)得，x≥ln x＋1，即t≥ln t＋1(t>0)．令＝t，則－x－ln x＝ln t，∴≥－x－ln x＋1，即＋x＋ln x－1≥0.(3)∵k(e－x＋x2)≥x－xln x恒成立，即k≥1－ln x恒成立，∴k≥.由(2)知，＋x＋ln x－1≥0恒成立，即1－ln x≤＋x恒成立．∴≤1，∴k≥1，故k的取值范圍為[1，＋∞)．?名師點(diǎn)津導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題中，最常見就是ex和ln x與其他代數(shù)式結(jié)合的難題，對(duì)于這類問題，可以先對(duì)ex和ln x進(jìn)行放縮，使問題簡(jiǎn)化，便于化簡(jiǎn)或判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)；(2)ex≥ex，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)；(3)當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥1＋x＋x2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)；(4)當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥x2＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)；(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)；(6)當(dāng)x≥1時(shí)，≤ln x≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．【例4】　已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；(2)若a＝－2，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求證：x1＋x2≥.[解]　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝ln x＋x，則f(1)＝1，所以切點(diǎn)為(1，1)．又因?yàn)閒′(x)＝＋1，所以切線斜率k＝f′(1)＝2，故切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)證明：當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝ln x＋x2＋x(x>0)．因?yàn)閒(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，即ln x1＋x＋x1＋ln x2＋x＋x2＋x1x2＝0，所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln(x1x2)，令t＝x1x2，設(shè)φ(t)＝t－ln t(t>0)，則φ′(t)＝1－＝，易知φ(t)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以φ(t)≥φ(1)＝1，所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1.因?yàn)閤1>0，x2>0，所以x1＋x2≥成立．?名師點(diǎn)津破解含雙參不等式的證明的關(guān)鍵一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．|跟蹤訓(xùn)練|已知函數(shù)f(x)＝ln x＋.(1)求f(x)的最小值；(2)若方程f(x)＝a有兩個(gè)根x1，x2(x1<x2)，求證：x1＋x2>2a.解：(1)因?yàn)閒′(x)＝－＝(x>0)，所以當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)無最小值．當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．所以函數(shù)f(x)在x＝a處取最小值f(a)＝ln a＋1.(2)證明：若方程f(x)＝a有兩個(gè)根x1，x2(x1<x2)，則ln x1＋＝ln x2＋，即＝ln.要證x1＋x2>2a，只需證(x1＋x2)·>2aln ，即證－>2ln (由(1)得，a>0)．設(shè)＝t(t>1)，則－>2ln 等價(jià)于t－>2ln t.令g(t)＝t－－2ln t，則g′(t)＝1＋－＝>0，所以g(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(t)>g(1)＝0，即t－>2ln t，故x1＋x2>2a.  

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